专题04 正形的性质与判定（专项训练）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 专题4 正形的性质与判定 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型1 利用正形的性质求角度/边长/面积 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是E，F，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 5．（2025·河南平顶山·三模）如图，在正方形中，点在上，于点，于点G．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（）拼接而成，直线与分别交于点M，N，已知，则正方形与正方形的面积比为（    ） A． B． C． D． 题型2 与正方形有关的折叠问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·二模）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 6．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型3 添加一个条件使四边形是正方形 1．（2025·湖北咸宁·二模）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是________． 3．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________． 题型4 正方形的性质与判定综合 1．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)已知，当点恰为中点时，求的长度． 2.（2025·山东聊城·二模）如图，在直角三角形中，，的外角和的平分线，交于点O，过点O作，垂足分别是E和D． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）东汉数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽弦图”），以形证数，巧妙证明了勾股定理．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（      ）     A．2 B． C．3 D． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东临沂·二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（    ） A．1 B． C． D． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则_____ ． 10．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 11．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 12．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的值． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，，． (1)如图（1），求证：四边形是菱形； (2)如图（2），若，连接求证：是等边三角形； (3)如图（3），若，M是的中点，连接求的值． 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 2．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． (1)【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； (3)【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 专题4 正形的性质与判定 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型1 利用正形的性质求角度/边长/面积 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据正方形的性质，得到，等边对等角，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵是正方形的一条对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，根据题意得是的中位线，得出，根据正方形性质得出， ，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是E，F，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等．根据正方形的性质可得，，利用可证明，可得，根据，，，可证明四边形是矩形，利用勾股定理可求出的长，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 故选：D． 5．（2025·河南平顶山·三模）如图，在正方形中，点在上，于点，于点G．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，，，则，利用勾股定理构造方程，解方程得，再根据求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵于点F，于点G， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∴． 故选：C． 6．（2025·浙江杭州·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（）拼接而成，直线与分别交于点M，N，已知，则正方形与正方形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点M作于K，证明，可得，设，则，表示的长，由勾股定理计算，根据正方形的面积公式即可解答． 本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，过点M作于K， ∵， ∴ ∵， ∴（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴（正方形的对角线平分一个内角）， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型2 与正方形有关的折叠问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可得，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可． 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解直角三角形． 【详解】解：由折叠可得 正方形中，E是边的中点， ∴ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，设的长度为．利用正方形的性质推导出，，在中，，代入数据解答即可． 【详解】解：设的长度为． 四边形是正方形， ． 是的中点， ． ， ． 在中，， ． ． ． 故选：D． 3.（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， 设，则． 为中点，， ， 在中，根据勾股定理，得：， 解得． 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的翻折问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． 4．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握知识点是解题的关键．设正方形边长为，则，由折叠可知，设，则，再利用勾股定理算出，最后求角的正弦值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵是中点， ∴， 由折叠可知，设，则， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴， 故选：B． 5．（2025·河北唐山·二模）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质等知识点，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解题的关键． 如图：连接，设直线与边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：如图：连接，设直线与边的交点为P， 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴． 故选A． 6．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质及三角函数求得，从而求得求；再由折叠的性质及三角函数求得结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴； ∵垂直平分线段， ∴； ∴四边形是矩形， ∴，； 由折叠知，，； 在中，， ∴，； ∴； ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数；熟练掌握这些知识是解题的关键． 题型3 添加一个条件使四边形是正方形 1．（2025·湖北咸宁·二模）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定定理，解题关键是熟练掌握判定定理是解题的关键； 依据已知条件先确定四边形为矩形，再分析各选项添加条件能否满足正方形的判定。 【详解】∵四边形的两条对角线且互相平分． ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形， A．若 ，即矩形的对角线互相垂直．根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； B．若 ，即矩形的邻边相等．根据正方形的判定定理：邻边相等的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； C．因为四边形是矩形，所以，又，所以是矩形本身就具有的性质，仅这一条件不能判定该矩形是正方形，符合题意； D．因为四边形是矩形，所以，则 ，若 ，那么 ，所以 ，即矩形邻边相等，根据邻边相等的矩形是正方形，该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是________． 【答案】有一组邻边相等或对角线互相垂直 【分析】本题主要考查特殊平行四边形（矩形、正方形）的性质这一知识点．解题关键在于清晰掌握矩形和正方形的性质，通过对比两者性质上的差异，找出能使矩形满足正方形定义的条件．本题是在特殊平行四边形知识体系中，寻找能使矩形转化为正方形的条件．需要明确矩形和正方形的性质差异，从边、角、对角线等方面去思考补充条件． 【详解】解：矩形的性质是四个角都是直角，对角线相等且互相平分 ． 正方形具有四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直、平分且相等． 对比矩形和正方形的性质，发现当矩形满足 “有一组邻边相等” 时，就满足了正方形四条边都相等的性质；当矩形满足 “对角线互相垂直” 时，结合矩形本身对角线相等且平分的性质，就符合正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质． ∴ “有一组邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 这两个条件能使矩形成为正方形． 故答案为：有一组邻边相等或对角线互相垂直． 3．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 题型4 正方形的性质与判定综合 1．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)已知，当点恰为中点时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过旋转性质得到相等线段与角，利用证明三角形全等，结合角度关系推导垂直； （2）连接辅助线，结合正方形性质与平行四边形、菱形、正方形的判定定理，逐步证明四边形形状； （3）构造直角三角形，利用全等性质、勾股定理计算线段长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，，． 由旋转的性质得：，． ． ．即． 在和中， ， ． ， ． （2）解：四边形为正方形，理由如下： 连接． 在正方形中，，． ， ． 则点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆， ． ． ． ． ． ， ． 四边形为平行四边形． ，， 四边形为正方形． （3）解：过点作，交于点，设交于点，则． ， ． ． ． ， ． ． ． ． ∵四边形为正方形， ． ． 又， ． ， ． ． ． ． 为中点， ． ． ． ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊四边形的判定及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法、特殊图形的性质与判定定理是解题的关键． 2.（2025·山东聊城·二模）如图，在直角三角形中，，的外角和的平分线，交于点O，过点O作，垂足分别是E和D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点F，先证明四边形是矩形，再根据角平分线性质得出，证明矩形是正方形，即可得出结论； （2）延长到点G，使，连接，证明，得出，证明，得出，设，得出．根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点O作于点F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，平分， ∴， 同理可得， ∴， ∴矩形是正方形， ∴． （2）解：如图2，延长到点G，使，连接． 由（1）可知四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴． 在中，， ∴， 解得 （舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作出辅助线． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)＝ (2)的结论不变，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：当点在点的右下方时： 过点H作于点J，作，交的延长线于点K， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 当点在点的左下方时：如图：过点H作于点J，作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析； 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 2．（2025·湖南·模拟预测）东汉数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽弦图”），以形证数，巧妙证明了勾股定理．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（      ）     A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解答本题的关键．证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，根据旋转的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在正方形中，，为的中点， ∴，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2025·山东临沂·二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：C． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 6．（2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案． 【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16， ∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4， ∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为， ∴在一个直角三角形中应用勾股定理：， 解得或（舍去） ∴长直角长为10，短直角边长为6， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可． 【详解】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点， 在正方形中，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时，则， ，， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则_____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 11．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 12．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于点K，于点L，先证明四边形是矩形，再证明，则，则矩形是正方形； （2）先证明，则，过G作于I，由得，，可设，则．则，同理可得，，则，解得． 【详解】（1）证明：如图，作于点K，于点L，则， 四边形是正方形， ， ∴， ∵， ， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形， ， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ， ， ， 过G作于I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， 可设，则． ， 同理可得，， ， 解得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，，． (1)如图（1），求证：四边形是菱形； (2)如图（2），若，连接求证：是等边三角形； (3)如图（3），若，M是的中点，连接求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再证明四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）证明：如图2，连接 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）如图3中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． 设， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）如图，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图， 证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】解：；；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． (1)【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； (3)【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)画图见解析，90 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； （2）证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $