10.3～10.4 分式的加减、分式的乘除 同步讲义（知识点梳理+常见考点+巩固测试）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期

10.3～10.4 分式的加减、分式的乘除 同步讲义（苏科版） ⛳ 新课预习目标 ◆ 牢记分式乘除、加减的法则公式，理解分式基本性质的应用逻辑； ◆ 掌握分式运算标准步骤，会找最简公分母、会约分通分、会处理整式与分式混合运算 ◆ 养成先分解、再运算、后化简的解题习惯，能正确解决分式的相关计算问题. ☘ 重点知识梳理 【知识点一、分式的加减运算】 1.同分母分式加减 文字表述：分母不变，只把分子相加减，结果约分。 公式表示：． 2.异分母分式加减 文字表述：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算。 公式表示： 3.整式与分式的加减 文字表述：把整式看作分母为1的分式，再按照异分母分式加减运算. 例如：a+ = + = 【知识点二、分式的乘除运算】 1.分式乘法法则 文字表述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 字母表达：，其中是整式，． 2.分式除法法则 文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除以一个分式 = 乘以它的倒数）。 公式表达：，其中是整式， 3.分式的乘方 文字表述：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。 字母表示：（为正整数）． 4.分式乘除混合运算 运算顺序：从左到右依次计算，遇到除法先变倒数乘法； 技巧：统一化为乘法后，整体约分再计算，切忌分步相乘再约分. 重点提示：（1）运算结果要化为最简分式或整式； （2）要注意分母不能为0，在进行分式乘除运算前，确定每个分式的分母都不为0，； （3）当分子分母是多项式时，一般先进行因式分解，再约分. 【知识点三、分式运算通用解题技巧】 （1）先分解，再运算：所有多项式优先因式分解，简化约分、通分； （2）先定号，再计算：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正； （3）结果必最简：最终结果必须是最简分式或整式，分母不含括号； （4）验取值：结合题干限制条件，排除使分母为0的取值. 【知识点四、核心公式速记】 运算类型 核心公式 关键口诀 分式乘法 ，其中是整式， 分子乘分子，分母乘分母 分式除法 ，其中是整式，． 除变乘，倒除式 同分母加减 分母不变，分子加减 异分母加减 ． 先通分，再加减 ✏ 常考题型解析 题型1同分母分式加减法 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接合并分子后利用平方差公式化简即可． 【详解】解： ． 故选：D． 变式1．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 【答案】 【分析】先分别求出原计划和革新后的使用天数，再通过分式减法求出两者的差值，即为多用的天数． 【详解】解：据题可知，原计划使用原材料的天数为天， 技术革新后每天使用的原材料为吨， 现在使用原材料的天数为天， 多用的天数为天． 变式2．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型2异分母分式加减法 例2．如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 变式1．已知，，求_______ ． 【答案】 【分析】先对已知分式等式通分变形，结合求出的值，再将所求多项式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 变式2．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 题型3整式与分式相加减 例3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 根据分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母． 故选：B． 变式1．对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是_______．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故答案为：①②． 变式2．在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 题型4已知分式恒等式、确定分子或分母 例4．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 变式1．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 变式2．（1）已知，求的值． （2）已知为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）将等式的右边通分计算，化成左边的形式，左右对比列出关于A、B的二元一次方程组，求解方程组即可得到A、B的值，代入代数式求解即可； （2）将方程配成两个完全平方式之和，根据完全平方公式的非负性求出a、b、c关系即可判断三角形的形状． 本题考查了分式的加法计算、列二元一次方程组解决问题、完全平方公式的应用，等边三角形的判定等． 【详解】解：（1）， ， ， 解得， ； （2）是等边三角形，理由如下： 即， ∴是等边三角形． 题型5分式加减混合运算 例5．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 变式1．甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是______分米；这个盒子的表面积是______平方分米．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，熟记长方体体积公式、表面积求法是解决问题的关键． 由长方体体积公式得到盒子的高，再由表面积结构求解即可得到答案． 【详解】解：甲盒子底面是边长为分米的正方形， 盒子的底面积为平方分米， 则这个盒子的高是分米，这个盒子的表面积是平方分米， 故答案为：，． 变式2．观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 题型6分式加减的实际应用 例6．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 变式1．某公司组织活动，个人参加，公司拿出活动经费百元（为正整数），且．现在又有个人参加活动，公司决定增加经费百元，则增加经费后人均经费比原来__________（填“增加”或“减少”）了__________百元． 【答案】 增加 【分析】先将原来与增加后的人均经费分别表示出来，通过作差法比较两者大小，判断人均经费的变化趋势，再利用分式的运算法则计算出具体的变化金额，即可求解． 【详解】解：原来的人均经费为百元，增加经费后的人均经费为百元， 计算两者的差值， 由题意可知，，且均为正整数， ， ， 则增加经费后人均经费比原来增加了百元． 故答案为：①增加，②． 变式2．已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 题型7分式乘法 例7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 变式1．已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由已知条件出发，通过平方得到的值，再平方一次得到的值． 【详解】解：由，两边平方得：，整理得： 再对，两边平方得： ∴， 故答案为：． 变式2．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式… 小红：原式… (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，1，4”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)A，D (2)，选择，该分式的值（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律即可得； （2）小颖的解法：先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得；小红的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再计算分式的加法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：小颖解法是利用分式的基本性质，将异分母的分式化为同分母的分式，则其依据是分式的基本性质， 小红解法的依据是乘法分配律， 故选：A，D． （2）解：小颖的解法：原式 ， ∵，即， ∴选择代入得：原式． 小红的解法：原式 ， ∵，即， ∴选择代入得：原式． 题型8分式除法 例8．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将分式除法化为乘法并化简，再根据“结果为整式”的条件，判断“□”中的式子必须是含有因式的整式，从而选出正确选项．需要注意因式的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式，这几个相乘的整式就叫做这个整式的因式． 【详解】解：设“□”中的式子为， ， 原式， 原式， 运算结果为整式， 需要为含有因式的整式． 故选：． 变式1．，则____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除运算．根据题意得出，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 变式2．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 题型9分式乘除混合运算 例9．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ， ， ， ， 故选：B． 变式1．计算________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用分式的乘法法则进行运算，最后约分得到结果 ． 【详解】解： ＝÷·   ． 故答案为：． 变式2．已知，求的值．若把换成，你能迅速得出结果吗？为什么？ 【答案】结果为，理由见解析 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式除法的运算法则是解答关键． 首先将原式的除法转化为乘法，并通过提公因式法、完全平方公式、平方差公式将前后两个分式的分子与分母分解因式，进而即可得到答案； 化简的结果为1，故可得化简的结果与x值无关，x的取值只要能使原式有意义，原式都恒等于1，据此解答． 【详解】解： ， 当时，原式； 若把换成，能迅速得出结果，结果为 理由： 原式化简的结果中不含字母， 只要的取值能使原式有意义，结果都等于． 题型10分式乘方 例10．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对选项A： ∵， ∴选项A运算正确； 对选项B： ∵， ∴选项B运算错误； 对选项C： ∵同底数幂相乘，底数不变指数相加，， ∴选项C运算错误； 对选项D： ∵， ∴选项D运算错误． 变式1．已知，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算． 利用完全平方公式将化为，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 变式2．已知非零实数，满足求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，正确的计算是解题的关键． 先将分式约分，然后将变形后的式子代入求值即可． 【详解】解：，． 原式． 题型11含乘方的分式乘除混合运算 例11．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，计算正确，故不符合题意； D、，计算正确，故不符合题意； 故选B． 变式1．①函数中自变量的取值范围是________． ②计算的结果是________． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． ①根据二次根式和分式有意义的条件进行求解即可； ②根据分式除法和乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：①∵函数要有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． ② ． 故答案为：． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、零次幂的性质、有理数的除法及加减运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键．先分别计算乘方、零次幂和除法，再按照从左到右的顺序进行加减运算，得出最终结果． 【详解】解： ． 题型12分式加减乘除混合运算 例12．已知，那么的值为（    ） A．4 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 可利用平方差公式进行简便计算，将已知的、代入公式后化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选：B． 变式1．已知，则分式的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键． 先将括号内的表达式通分并利用完全平方公式化简，再将分式除法转化为乘法运算，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 当 时，原式， 故答案为：． 变式2．王老师在黑板上写了这样一道计算题：．莉莉和君君的解题步骤如下： 莉莉：原式； 君君：原式． (1)莉莉解题的依据是__________；君君解题的依据是__________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见解析 【分析】（1）根据分式的基本性质和乘法分配律求解； （2）根据分式的运算法则计算并注意运算顺序即可求解． 【详解】（1）解：莉莉解题的依据是分式的基本性质；君君解题的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； （2）解：选择莉莉，解法如下： 原式 ． 选择君君，解法如下： 原式 ． 题型13分式化简求值 例13．如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先通过分式运算法则化简所求代数式，再利用已知条件整体代入求值． 【详解】解：∵ ∴ ． 变式1．已知，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 变式2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子和分母分解因式，然后把除法变成乘法后进行约分，接着计算分式减法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型14.分式最值 例14．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 变式1．已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 变式2．阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算并化简． 【详解】解： =； ∵， ∴原式． 故选：C． 2．若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算，整体代入求值，对等式合理的变形是解题的关键；先计算分式的减法，再整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ， ∴ 原式 ， 故选：． 3．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确． 【详解】A: （分子从变为，分母从变为，未同时乘以或除以相同整式）． 变形不一定正确． B:（分子分母同乘，且）． 变形一定正确． C: （除非）． 变形不一定正确． D: （分子分母同乘得，，除非）． 变形不一定正确． 故选B． 4．化简的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．将除法运算转化为乘法运算，并利用平方差公式分解分母，然后约分简化表达式． 【详解】解： ， ， ． 故选：B． 5．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，可通过已知条件用含b的式子表示a，再代入所求分式计算，或利用分式的基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：方法一： ∵ ∴（） 将代入得： ． 方法二： ∵， ∴． 故选：C． 6．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 二、填空题 7．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除及化简．将除法运算转化为乘法运算，对分子和分母进行因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 通过作差法比较P和Q的大小，计算并化简，结合条件判断计算结果的符号，即可解答． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 【答案】3或1或7或-3 【分析】先将分式通过拆分变形为整式与真分式相加的形式，转化为；再根据分式的值为整数，得出必须为整数，进而确定是5的约数，最后通过枚举5的所有整数约数求出的整数值． 【详解】解：， 是整数， 应是整数， ， 或或或， 解得：或或或． 10．若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序是解决问题的关键． 先将原式化简，得到，再令，使结果为整数． 【详解】解： ， 要使结果为整数，取，则，为整数， 故“”代表的式子可以是． 三、解答题 11．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义计算即可； （2）根据分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．先化简，再求值：，其中 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 15．已知实数，，满足． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)若的最大值与最小值的差为6，求的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】本题考查了实数的性质、完全平方公式的应用、分式的加减、不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，得到，再利用完全平方公式计算即可； （2）代入，得到，则有，再利用求出的值，再根据平方根的定义即可求解； （3）将变形为和，利用完全平方的非负性分别求出的最大值和最小值，结合的最大值与最小值的差为6，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：当，时，， ， ． （2）解：当时，， ， ， ， ， 的值为． （3）解：， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为， 又的最大值与最小值的差为6， ， 解得：， 的值为． 16．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3～10.4 分式的加减、分式的乘除 同步讲义（苏科版） ⛳ 新课预习目标 ◆ 牢记分式乘除、加减的法则公式，理解分式基本性质的应用逻辑； ◆ 掌握分式运算标准步骤，会找最简公分母、会约分通分、会处理整式与分式混合运算 ◆ 养成先分解、再运算、后化简的解题习惯，能正确解决分式的相关计算问题. ☘ 重点知识梳理 【知识点一、分式的加减运算】 1.同分母分式加减 文字表述：分母不变，只把分子相加减，结果约分。 公式表示：． 2.异分母分式加减 文字表述：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算。 公式表示： 3.整式与分式的加减 文字表述：把整式看作分母为1的分式，再按照异分母分式加减运算. 例如：a+ = + = 【知识点二、分式的乘除运算】 1.分式乘法法则 文字表述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 字母表达：，其中是整式，． 2.分式除法法则 文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除以一个分式 = 乘以它的倒数）。 公式表达：，其中是整式， 3.分式的乘方 文字表述：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。 字母表示：（为正整数）． 4.分式乘除混合运算 运算顺序：从左到右依次计算，遇到除法先变倒数乘法； 技巧：统一化为乘法后，整体约分再计算，切忌分步相乘再约分. 重点提示：（1）运算结果要化为最简分式或整式； （2）要注意分母不能为0，在进行分式乘除运算前，确定每个分式的分母都不为0，； （3）当分子分母是多项式时，一般先进行因式分解，再约分. 【知识点三、分式运算通用解题技巧】 （1）先分解，再运算：所有多项式优先因式分解，简化约分、通分； （2）先定号，再计算：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正； （3）结果必最简：最终结果必须是最简分式或整式，分母不含括号； （4）验取值：结合题干限制条件，排除使分母为0的取值. 【知识点四、核心公式速记】 运算类型 核心公式 关键口诀 分式乘法 ，其中是整式， 分子乘分子，分母乘分母 分式除法 ，其中是整式，． 除变乘，倒除式 同分母加减 分母不变，分子加减 异分母加减 ． 先通分，再加减 ✏ 常考题型解析 题型1.同分母分式加减法 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 变式2．计算：． 题型2.异分母分式加减法 例2．如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，，求_______ ． 变式2．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型3.整式与分式相加减 例3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 变式1．对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是_______．（填序号） 变式2．在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 题型4.已知分式恒等式、确定分子或分母 例4．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 变式1．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 变式2．（1）已知，求的值． （2）已知为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 题型5.分式加减混合运算 例5．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 变式1．甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是______分米；这个盒子的表面积是______平方分米．（用含有的式子表示） 变式2．观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 题型6.分式加减的实际应用 例6．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 变式1．某公司组织活动，个人参加，公司拿出活动经费百元（为正整数），且．现在又有个人参加活动，公司决定增加经费百元，则增加经费后人均经费比原来__________（填“增加”或“减少”）了__________百元． 变式2．已知，试比较与的大小． 题型7.分式乘法 例7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，则__________． 变式2．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式… 小红：原式… (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，1，4”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 题型8.分式除法 例8．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 变式1．，则____________． 变式2．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 题型9.分式乘除混合运算 例9．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 变式1．计算________． 变式2．已知，求的值．若把换成，你能迅速得出结果吗？为什么？ 题型10.分式乘方 例10．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．已知，则的值是__________． 变式2．已知非零实数，满足求的值． 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 例11．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 变式1．①函数中自变量的取值范围是________． ②计算的结果是________． 变式2．计算： 题型12.分式加减乘除混合运算 例12．已知，那么的值为（    ） A．4 B． C． D．0 变式1．已知，则分式的值是______． 变式2．王老师在黑板上写了这样一道计算题：．莉莉和君君的解题步骤如下： 莉莉：原式； 君君：原式． (1)莉莉解题的依据是__________；君君解题的依据是__________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 题型13.分式化简求值 例13．如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 变式1．已知，则的值为_______ ． 变式2．先化简，再求值：，其中． 题型14.分式最值 例14．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 变式1．已知，则的最小值是__________． 变式2．阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 2．若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 3．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A．B． C． D． 4．化简的结果（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 6．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 7．化简：________． 8．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 9．已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 10．若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______． 三、解答题 11．化简： (1)； (2)； (3)． 12．计算： (1) (2) 13．先化简，再求值：，其中 14．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 15．已知实数，，满足． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)若的最大值与最小值的差为6，求的值． 16．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $