精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年九年级下学期数学3.15定时练习

3月15日定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生的节水意识 B. 调查一批电视机的使用寿命 C. 调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D. 调查全班同学入学体考成绩 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 5. 如图，分别与交于两点B，C，与交于点D，连接，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有3个圆点，第②个图形有6个圆点，第③个图形有10个圆点，…，按此规律，第⑨个图形中的圆点数量是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 7. 小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 9. 如图，正方形的边长为4，点E是边上的点，且，连接交对角线于点G，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得，延长交于点F，延长交的延长线于点N，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 小杜有五顶帽子，分别为2顶红色和3顶黑色，从中随机选取一顶帽子恰好是红色帽子的概率是________． 12. 将含30°角一个直角三角板和一把直尺（两边ab）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为_____． 13. 已知，则整数n的值为________． 14. 若实数m满足，且使得代数式有意义，则m的值为________． 15. 如图，四边形是平行四边形，以为直径且过点A，与对角线交于点M，连接并延长交于点N，且，当时，长度是________；连接，则弦的长度是________． 16. 如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，若十位数字与个位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令，若为整数，则称数M是“欢乐数”．例如：，，，，为整数，是“欢乐数”．若M为最小的“欢乐数”，则________；把一个“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，令，当为整数时，满足条件的M的最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了菱形后，小海想在平行线间作出一个菱形，他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，已知，用尺规完成以下基本作图：作的平分线与交于点C，过点B作交于点D，交于点O，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分， ， ， ， ________①， ， 又， ， 又∵， ， ________②， ， 又________③， 四边形是平行四边形， 又， 四边形菱形． 19. 为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 22. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动．动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为x秒，记的面积为，． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，A港在E港北偏西方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：，，） （1）求C，D两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式： （2）过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在已知中，，动点在的内部，连接，，． （1）如图1，若，，，求（用表示）： （2）如图2，若，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，此时、、三点共线，请猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿着所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3月15日定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，故符合题意； D．不是中心对称图形，故不符合题意； 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生的节水意识 B. 调查一批电视机的使用寿命 C. 调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D. 调查全班同学入学体考成绩 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查与抽样调查的适用范围判断，普查适合调查对象数量少，范围小，调查无破坏性，结果要求准确的情况，范围过大或调查有破坏性的情况适合抽样调查． 【详解】A．调查全国中学生节水意识，范围广，人数多，适合抽样调查，故不符合题意； B．调查一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故不符合题意； C．调查春晚收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查，故不符合题意； D．调查全班同学入学体考成绩，范围小，人数少，结果要求准确，适合全面调查（普查），故符合题意． 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式，依次验证各选项即可得到正确结论. 【详解】解：A选项：把代入解析式， 可得：， 反比例函数的图象不经过点， 故A选项错误； B选项：反比例函数中， 反比例函数图象位于第二、四象限， 故B选项错误； C选项：反比例函数中， 当时，随的增大而增大，不是减小， 故C选项错误； D选项：当时，， ， 又，可得：， 两边同乘，不等号方向改变， 可得：， 即， ， 故D选项正确． 5. 如图，分别与交于两点B，C，与交于点D，连接，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，可知，根据三角形外角的性质可求因为同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，则可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有3个圆点，第②个图形有6个圆点，第③个图形有10个圆点，…，按此规律，第⑨个图形中的圆点数量是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】观察可知，第个图形中有个圆点，即可得出结果. 【详解】解：第①个图形有个圆点， 第②个图形有个圆点， 第③个图形有个圆点， 依次类推， 第个图形中有个圆点， ∴第⑨个图形中的圆点数量是. 7. 小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设月平均增长率为x，根据初始盈利和两个月后的盈利关系列方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设每月盈利的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以每月盈利的月平均增长率为． 8. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 9. 如图，正方形的边长为4，点E是边上的点，且，连接交对角线于点G，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得，延长交于点F，延长交的延长线于点N，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，过点G作交于点K，证，求得，根据，求得．通过翻折的性质，设，在中运用勾股定理，求得，由，求得，最后求得的面积． 【详解】解：连接，过点G作交于点K， ∵正方形， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵将沿直线翻折到正方形所在平面内，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵将沿直线翻折到正方形所在平面内，得， ∴，， ∵正方形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，正方形的边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干给出的次数系数条件，按每个说法的要求分类枚举所有符合条件的整式，再逐一验证说法即可． 【详解】解：由题干条件可知，为正整数，，，，，为自然数，为正整数，满足，且． 验证说法①：， ， ，且． 当时，． ， ， 为正整数， 最小为，此时最小值为． 最小值不是，①错误； 验证说法②：， ， ，且 枚举所有符合条件的整式： ，得； ，得； ，得； 无其他符合条件的整式，求和得：，②正确； 验证说法③：二次整式即， ， ， ，且， 枚举所有整式并判断非负性： 时，，对任意实数都有，符合要求； 时，，当时，，不符合； 时，，当时，，不符合； 时，恒成立，符合要求； 满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个，③正确． 综上可知，② ③正确，正确的个数是2． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 小杜有五顶帽子，分别为2顶红色和3顶黑色，从中随机选取一顶帽子恰好是红色帽子概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】用红色帽子的数量除以帽子总数量即可得到所求概率． 【详解】解：由题意可得，所有等可能结果总数，即帽子的总数量为，选取红色帽子的结果数为． P（选取红色帽子）． 12. 将含30°角一个直角三角板和一把直尺（两边ab）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为_____． 【答案】110° 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴∠ABE＝∠1＝50°， 又∵∠2是△ABE的外角， ∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握并运用平行线的性质及三角形外角的性质． 13. 已知，则整数n的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据，对进行估值即可解答． 【详解】解： ∵，即， ∴， ∵， ∴． 14. 若实数m满足，且使得代数式有意义，则m的值为________． 【答案】 7 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再根据绝对值的性质分区间化简绝对值方程，求解得到符合条件的m的值． 【详解】解：若代数式有意义，根据二次根式有意义的条件，得，即． 对绝对值方程，根据绝对值的定义，分两种情况讨论： ①当时，， 即，等式不成立，此情况无解． ②当时，， 令， 移项得， 系数化为得． 满足，符合题意． 故答案为：． 15. 如图，四边形是平行四边形，以为直径且过点A，与对角线交于点M，连接并延长交于点N，且，当时，的长度是________；连接，则弦的长度是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，证明，求出得到的长度，根据勾股定理求出，过点D作，交的延长线于点E，则四边形是矩形，勾股定理求出的长，利用面积求出 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 过点D作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 16. 如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，若十位数字与个位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令，若为整数，则称数M是“欢乐数”．例如：，，，，为整数，是“欢乐数”．若M为最小的“欢乐数”，则________；把一个“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，令，当为整数时，满足条件的M的最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整数有关的新定义，设“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，则个位数字为，，，，根据为整数得到，，再根据的取值范围确定最大值和最小值． 【详解】解：设“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，则个位数字为，，， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ∵四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 若M为最小的“欢乐数”，则，，此时由四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，得到， ∴若M为最小的“欢乐数”，则； ∵， ∴， 当时，，，若M取得最小值，为整数，则，，此时，符合题意； 当时，，，若M取得最大值，为整数，则，，此时，符合题意； ∴满足条件的M的最大值与最小值的和为． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 其整数解为． 18. 学习了菱形后，小海想在平行线间作出一个菱形，他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，已知，用尺规完成以下基本作图：作的平分线与交于点C，过点B作交于点D，交于点O，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分， ， ， ， ________①， ， 又， ， 又∵， ， ________②， ， 又________③， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线及垂线的尺规作图即可； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：作平分线，过点作交于点，交于点，连接，作图如下： 【小问2详解】 证明：平分， ， ∵， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ∴ 又∵， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 19. 为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 【答案】（1）151，176，20 （2）八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由见解析 （3）245人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，求出B组所占的百分比，根据百分数之和为1，求出的值； （2）根据平均数和中位数进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：七年级的数据中出现次数最多的是151，故； 八年级A组的人数为，第10个和第11个数据分别为172和180， 故； ，故； 【小问2详解】 解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由如下： 七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有245人. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】掌握分式的化简求值、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值是解题的关键，先根据分式的运算法则 把分式化简，再把的值代入化简后的分式中计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21. 为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】（1）今年准备A道具件，B道具件． （2）第二组每小时摆件B道具． 【解析】 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． 【小问2详解】 解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 22. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动．动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为x秒，记的面积为，． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图象见解析，性质见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合； （1）先由矩形得到，，根据中点得到，再根据，，得到，即可求出；根据在线段或线段分情况讨论，再根据面积比等于底的比求出即可； （2）根据，的解析式画出图象，再根据图象写出性质即可； （3）由函数图象可以发现，当时，或，即可得到当时x的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 连接， ∵点E为线段的中点， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴； 当在线段上时，，，， ∴； 当在线段上时，，，， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴； 综上所述，，； 【小问2详解】 解：，的图象如图： 由函数图象可得，当时，为的最大值； 【小问3详解】 解：由函数图象可以发现，当时，或， ∴当时x的取值范围． 23. 如图，A港在E港北偏西方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：，，） （1）求C，D两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 【答案】（1）C，D两港之间的距离为海里 （2）当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里． 【解析】 【分析】（1）连接，过点A作交于点G，延长，交于点K，先求的长度，再求的长度，从而得到的长度，在中，求出长度，最后由长度求出C，D两港之间的距离； （2）设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即，连接，过点M作于点R，过点C作于点P，延长，交于点K，设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为海里，通过题意，计算出，以及的长度，运用勾股定理建立关于S的方程，解方程即可，注意舍去不符题意的解． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点A作交于点G，延长，交于点K， ∵A港在E港北偏西方向，E港在B港的东北方向， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，． ∵，， ∴在中，， ∴． ∵，，， ∴中，， ∵， ∴． ∵，， ∴在中，． 答：C，D两港之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：如图，设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即，连接，过点M作于点R，过点C作于点P，延长，交于点K， ∵甲船速度为乙船速度的1.5倍且两船均沿直线匀速运送， ∴甲船路程为乙船路程的1.5倍， 设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为海里， 即，， ∵，，， ∴， ∴在中，，． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）可知，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴不符题意，应舍去， ∴， ∴． 答：当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式： （2）过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）代入抛物线，结合抛物线的对称轴是直线，建立方程组求解即可； （2）过P作轴交于F，过点B作，使，连接,则四边形是平行四边形， ，求出，求出直线解析式，直线的解析式为，联立，解得，设，则，得，得，得当时，最大，由是定值，，得最大，得，当点M在直线上时，，最小，由点A与点B关于对称轴对称，得，得，最小，由，得，即得的最小值是；　 （3）设与交于点L，可知抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为，，得，由三角形外角性质得，得，求出解析式，得解析式为，当时，解得，得；设关于x轴对称点为，求出直线解析式，联立解得，得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． 【小问2详解】 解：如图，过P作轴，交于F，过点B作，使，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 对， 令，则， 解得； 令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴， 当点M在直线上时，，最小， ∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ，最小， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【小问3详解】 解：设与交于点L， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线， 为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 故点Q的坐标为或． 【点睛】第（2）小问添加辅助线构造将军饮马模型，第（3）小问，点Q在点B的左面，不合要求的点Q（在点B右面）舍去． 25. 在已知中，，动点在的内部，连接，，． （1）如图1，若，，，求（用表示）： （2）如图2，若，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，此时、、三点共线，请猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿着所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可； （2）容易判断是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，以点为圆心，为半径作圆，由可知，点、、都在圆上，则．利用等边三角形的性质和可推出，从而得到，因此是含的直角三角形，则； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接、，容易得到，当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值．由折叠的性质可知，则点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、共线时，取得最大值，此时点与点重合．作，垂足为，作，垂足为，容易证明，，．利用勾股定理和三角函数计算出．根据折叠的性质和外角的性质可证明，使用三角函数计算出，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 小问2详解】 解：猜想：，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，以点为圆心，为半径作圆， 由旋转的性质可知，，，，， ∴点、都在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接、， 由旋转的性质可知，，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值； 如图，作，垂足为，作，垂足为， ∵由沿着所在直线翻折得到， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当、、共线时，取得最大值，此时点与点重合， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ． 【点睛】本题考查“费马点”与隐圆，线段最值问题，利用旋转构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $