精品解析：上海市南汇中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

南汇中学2025学年高三3月月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知全集，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 详解】全集，，故. 故答案为：. 2. 的展开式中的常数项为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果. 【详解】， 令得，， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为： 3. 向量在向量方向上的数量投影为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量在方向上的投影公式求解即可. 【详解】向量在方向上的投影公式为. 又因为且 所以. 4. 已知数列满足，，则_______． 【答案】60 【解析】 【详解】因为数列满足，， 所以是一个首项为，公差为2的等差数列， 由等差数列前项和公式得：. 5. 已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆柱的高和底面直径求出球的半径，再利用球的体积公式计算球的体积. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则， 由，所以， 所以球的体积. 故答案为： 6. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知，根据题意有，解得. 故答案为：1 7. 为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件概率公式进行求解. 【详解】记“爱好乒乓球”为事件，“爱好羽毛球”为事件， 由题可知，，则. 故答案为： 8. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 9. 设函数，其中.若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 当时,,当时,,,,则,进而求解即可 【详解】由题,取零点时, ,即,则当时,,,,所以满足,解得 故答案为： 【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力 10. 如图，双曲线的左右焦点分别为，直线过与双曲线的两渐近线分别交于．若是的中点，且，则此双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，从而可得，进而可求渐近线的斜率与方程. 【详解】因为是的中点，是的中点，所以， 因为，所以， 因为两条渐近线关于轴对称，所以， 又，所以，渐近线的斜率为， 故渐近线方程为． 故答案为:. 11. 已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，可知O为中点， 又因为O为的外接圆圆心，则， 且，，则，则， 可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 则， 可知当时，取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，. 12. 整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立时，的值为______. 【答案】2024或1012 【解析】 【分析】当可得，不符合题意，当（），代入计算可得的周期为6，进而可得，对2024进行因数分解即可求得结果. 【详解】设，则，若，则由可得， 故对任意正整数，，这与矛盾，所以. 设（），则，，，，，， 因此整个数列是以6为周期的循环数列. 因此，设是整数（，都是正整数）， 则， 因此只可能是1或2，对应的也只有2个，即2024与1012. 故答案为：2024或1012. 二、选择题（本大题共有4题，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若是关于的实系数方程的一根，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将代入方程，根据复数为零可得出关于实数、的方程组，可解出、的值，由此可得出的值. 【详解】由题意可得，即， 所以，解得，因此，. 故选：A. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 15. 如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对称转换，由三点共线求得三角形周长的最小值. 【详解】在平面上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知， 关于B1C1的对称点为N，， 连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为时， 则MN是△PEQ周长的最小值， ，, ∴△PEQ周长的最小值为 故选：B 16. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知，若，则对任意，都有 C. 已知则存在实数a，使得 D. 已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数新定义，对于A，就分类讨论即得；对于B，利用具体函数验证法排除；对于C，运用反证法思路，结合二次函数图象排除；对于D，对于存在性命题，只需列举一种情况说明正确即得. 【详解】对于A，， 当时，，故得；当时，，故得， 即，故A错误； 对于B，取，则，满足，， 但对于任意，不能保证恒成立，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得， 若，则，矛盾； 若，即时，，矛盾； 若，则，矛盾； 若，则，矛盾, 若，则，矛盾.故C错误； 对于D，对任意的实数，只要满足是的子集，就有, 于是，,故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数新定义的应用，属于难题. 对于函数新定义选择题型，必须准确把握定义要求，根据信息利用具体函数排除法，反证法，分类讨论法以及数形结合法一一判断选项即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转至． （1）求旋转所得旋转体的体积和表面积； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的，利用公式计算即可； 表面由两个直角三角形，一个底面圆和侧面组成，分别计算相加即可； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角即可. 【小问1详解】 由题意旋转体的体积为圆锥体积的， 所以； 表面由两个直角三角形，一个底面圆和侧面组成， ； 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系则： ，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为． 18. 已知复数，（，为虚数单位）. （1）若，且，求与的值； （2）设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【答案】（1）或，； （2），严格减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据复数运算法则和复数相等概念结合特殊角的三角函数值即可计算求解； （2）先根据复数的向量表示结合向量垂直的坐标表示求出函数，再结合三角恒等变换公式化简函数解析式，并结合三角函数性质即可计算求解. 【小问1详解】 若，且， 则， ，解得或. 【小问2详解】 由题得， 若，且，则， 即， 所以函数的最小正周期为； 令， 所以函数的严格减区间为. 19. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表. 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由： （2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中． ②,,,． 【答案】（1）有的把握认为购买手机与顾客的性别有关. （2） 【解析】 【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可. (2)先列出随机变量的分布列，再由分布列求出期望值. 【小问1详解】 假设:购买手机与顾客性别无关. 根据公式， 因为，所以假设不成立， 即我们有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01. 【小问2详解】 可能取的值为0，100，200，300，400， 每次抽奖不中的奖的概率为，中元概率为，中元概率为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 100 200 300 400 所以期望为. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点． （1）若直线过左焦点，求的周长； （2）若直线过点，求的取值范围；． （3）若点是椭圆与抛物线在第一象限的交点．是否存在点，使得线段的中点在拋物线上？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由标准方程知，然后写出的周长； （2）设两点坐标，分直线斜率不存在或存在（为0或不为0）进行讨论. （3）假存在，联立与即可求出点，然后根据中点公式以及点所在的位置，联立出方程组，解出即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以， 的周长为； 【小问2详解】 设， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入中， 得：，， 当直线斜率为0时，，所以； 当直线斜率不为0时，设， 由得， 所以，又， 所以 ， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 假设存在满足条件的点的坐标满足题意， 由，得， 所以或1， 因为在第一象限， 所以， 由中点在拋物线上， 故设中点， 则利用中点公式得： 且在上， 所以， 所以， 即， 所以或（舍去）， 故中点， 所以存在点． 21. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在上的最小值，进而利用恒成立可得，可求实数a的取值范围. （2）分离变量得，构造函数，求导可求得的值域，可得实数k的取值范围. （3）利用函数有两个极值点，可得，不等式等价于，令，求导，分类讨论可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上的最小值为. 又，所以由对任意不等式恒成立， 即. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 令，因为，则，故， 令，则， 故当单调递减；当单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即取值范围为. 【小问3详解】 因， 因为有两个极值点，故可得， 所以，且. 因为，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当时，，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应时，即时，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南汇中学2025学年高三3月月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知全集，，则______. 2. 的展开式中的常数项为________． 3. 向量在向量方向上的数量投影为_______． 4 已知数列满足，，则_______． 5. 已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为________. 6. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 7. 为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______. 8. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 9. 设函数，其中.若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________． 10. 如图，双曲线的左右焦点分别为，直线过与双曲线的两渐近线分别交于．若是的中点，且，则此双曲线的渐近线方程为______． 11. 已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________. 12. 整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立时，的值为______. 二、选择题（本大题共有4题，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若是关于的实系数方程的一根，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 15. 如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 16. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知，若，则对任意，都有 C. 已知则存在实数a，使得 D. 已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转至． （1）求旋转所得旋转体的体积和表面积； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知复数，（，为虚数单位）. （1）若，且，求与的值； （2）设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 19. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表. 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由： （2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中． ②,,． 20. 已知椭圆左、右焦点分别为，点为椭圆上两点． （1）若直线过左焦点，求的周长； （2）若直线过点，求的取值范围；． （3）若点是椭圆与抛物线在第一象限的交点．是否存在点，使得线段的中点在拋物线上？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $