浙江省杭州第十四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

杭十四中二〇二三学年第一学期期中测试 高二年级数学学科试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. 5 C. D. 3 3. 幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ） A. B. 0或2 C. 0 D. 2 4. 过定点M的直线与过定点N的直线交于点A（A与M，N不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 16 5. 2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 36 D. 48 6. 若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，若关于x方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C. 已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20 D. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为15 10. 已知函数是定义域为R的偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是以4为周期的函数 D. 的图象关于对称 11. （多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 12. 已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离是点到平面的距离的 C. 若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 D. 异面直线与所成角的正切值的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知，则______. 14. 已知点满足方程，点，，若直线的斜率为，斜率为，则的值为______. 15. 设圆：，圆：，点A、分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为______. 16. 已知函数，对任意在区间上总存在两个实数，，使成立，则的取值范围是______. 四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组 [70，75)，第三组[75，80)，第四组 [80，85)，第五组 [85，90)．得到频率分布直方图如图. (1)求测试成绩在[80，85)内的频率； (2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率． 18. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 19. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积的取值范围． 20 已知圆O：，直线l：． （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当为锐角时，求k的取值范围； （3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点，若过定点，则求出该定点． 21. 椭圆（）离心率为，是椭圆上的任意一点，、分别是椭圆的左右焦点，且的周长为6. （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆的左顶点，过的两条直线，分别与交于异于点的、两点，若直线，的斜率之和为，则直线是否经过定点？如果是，求出定点，如果不是，说明理由. 22.