第三单元因数与倍数解决问题专项训练拔高版二（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（苏教版）

第三单元因数与倍数解决问题专项训练拔高版二 一、解答题 1．同学们手工课制作香囊，每个香囊需要用一块正方形的布料。如果将下面这块大布料全部用完，最少可以制作多少个香囊？ 2．先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之。”围棋起源于中国，相传为尧帝发明，至今已有4000多年的历史。现代围棋棋盘由19条横线和19条竖线组成，共有361个交叉点，每个交叉点可以放置一个棋子。棋子分为黑、白两色，一副围棋中黑子数量大于170，小于200，且无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，一副围棋中有多少枚黑子？ 3．五（1）班组织一些同学参加“六一”队列操表演，正好可以站成每列6人，或者每列8人。五（1）班至少组织多少名同学参加队列操表演？ 4．学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 5．端午节前，欣欣和乐乐一共做了18个香囊和30个粽子，准备送给敬老院的爷爷、奶奶。如果每人分得的香囊同样多，每人分得的粽子也同样多，且都没有剩余，最多可以分给多少人？ 6．为了验证“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，小丽以465为例，把465进行拆分。（如下图） 从图中可以发现，4个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以465就是3的倍数。请你用小丽的方法分一分并说一说564是不是3的倍数？比较两次验证过程，你有什么发现？ 7．张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 8．万老师在体育用品店买了一些普通跳绳和计数跳绳。他付给售货员60元，找回3元。售货员找回的钱对吗？为什么？ 普通跳绳：5元/根 计数跳绳：10元/根 9．同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 10．一个长方形的周长是16米，它的长和宽都是质数，你知道这个长方形的面积是多少平方米吗？ 11．2路和6路公交车都从公交总站发车，2路公交车每隔15分钟发车一次，6路公交车每隔20分钟发车一次。若2路和6路公交车5：30同时从公交总站发车，下次两车同时发车是什么时候？ 12．每年农历五月初五的端午节，是中国传统节日之一，自古以来便有赛龙舟和吃粽子等节日习俗。2025年5月31日，鄂城区樊口街道月河村举行延续百年的龙舟比赛，赛事举办方为参加比赛的龙舟队的每位队员准备了一盒粽子礼品。这盒粽子3颗3颗地数多1颗，4颗4颗地数多1颗，5颗5颗地数多1颗，这盒粽子至少有多少颗？ 13．重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 14．红红到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付34元，你认为售货员阿姨说的对吗？你能帮红红解释这是为什么吗？ 15．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 16．我市某购物中心商品齐全，服务周到，吸引了大量顾客。该购物中心的甜品店制作了115个面包，选择哪种包装盒正好能把它们装完？为什么？ 17．为了上好劳动课，学校在教学楼后面划出一块长方形地作为劳动实践基地——植物种植角，这块长方形地的长和宽都是质数，周长是36米，这块长方形地的面积最大是多少呢？（要写出推导过程） 18．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：每人从下面3张卡片中任选2张，如果积是2的倍数，甲获胜；如果积是3的倍数，乙获胜；如果积既是2的倍数又是3的倍数就重来。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 19．关于年龄，介休的习俗是春节过后每个人都增长一岁。今年聪聪和明明年龄的和是奇数，几年后聪聪和明明年龄的和是奇数还是偶数？说说你的理由。 20．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 21．五年级64名学生参加植树活动，平均分成若干组（至少分2组），要使每组的人数都是偶数，有几种分法？请你填一填。 平均分的组数 每组的人数 22．乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？ 23．杭州亚运会运动员报名人数是一个五位数，这个数的万位和十位上数字相同，它既不是质数也不是合数；千位上的数字是最小质数；百位上的数字是最小合数；个位上数字是这个五位数的十位、百位、千位上数字之和。请问具体有多少名运动员报名参赛？ 24．先阅读理解，再解决问题。 这学期我们学习了如何求两个数的最大公因数与最小公倍数。比如，2和5的最大公因数是1，最小公倍数是10；再比如，4和6的最大公因数是2，最小公倍数是12。大家有没有思考，两个数和它们的最大公因数与最小公倍数之间的关系是什么？ 看看刚才的例子，2×5＝1×10，4×6＝2×12。显然有这样的规律：两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积正好等于这两个数的乘积。那么是不是任意两个非零自然数，都具有这一规律呢？ （1）仔细观察上面的示例，请你再举一个例子。 （    ）和（    ）的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ），则________________________。 （2）8和10是两个连续的偶数，它们的最大公因数是2，最小公倍数是多少？（请应用题中规律解答） （3）15与一个数的最大公因数是5，最小公倍数是60，这个数是（    ）。 25．阅读思考并填空。 （1）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数。8的因数有1、2、4、8，而1＋2＋4＝7，所以8不是完全数。28是完全数吗？把你的验证过程写出来。 （2）完全数还有一个有趣的性质，它们都能写成连续自然数的和。请你把28也写成几个连续自然数和的形式。 （3）4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，12＝7＋5……那么，是不是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的。所以被称为哥德巴赫猜想。 请写出：28＝（    ）＋（    ） 再举一个偶数试一试：（    ）＝（    ）＋（    ） 参考答案 1．28个 【分析】把一块长方形布料剪成同样的正方形且全部用完，说明正方形的边长是长、宽的公因数，求正方形最少可以制作香囊的个数，那么正方形的边长要最大，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以制作几个，最后相乘就是最少可以制作香囊的总个数。 【解答】42＝2×3×7 24＝2×2×2×3 42和24的最大公因数是：2×3＝6 即正方形的最大边长是6分米。 42÷6＝7（个） 24÷6＝4（个） 一共：7×4＝28（个） 答：最少可以制作28个香囊。 2．181枚 【分析】无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，说明黑子的数量比6和10的公倍数多1，先求出6和10的最小公倍数，再通过最小公倍数找到170至200之间的公倍数，加1即可。全部公有的质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】6＝2×3、10＝2×5 2×3×5＝30 200÷30＝6……20 30×6＝180 180＋1＝181（枚） 答：一副围棋中有181枚黑棋子。 3．24名 【分析】“正好可以站成每列6人，或者每列8人”，说明同学总人数是6和8的公倍数；要求“至少组织多少名同学”，即求6和8的最小公倍数。用“分解质因数法”求最小公倍数，6＝2×3；8＝2×2×2，所以6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24，即五（1）班至少组织24名同学参加队列操表演。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（名） 答：五（1）班至少组织24名同学参加队列操表演。 4． 42人或48人 【分析】整数中，能被2整除的数是偶数；每3人一组，全部分完，说明能被3整除，总数是3的倍数，3的倍数：各位数字之和是否能被3整除；列出40~50之间所有的偶数：40、42、44、46、48、50，再从中筛选出能被3整除的数。 【解答】40~50之间的偶数：40、42、44、46、48、50 再判断能否被3整除： （4＋0）÷3＝4÷3＝1……1 （4＋2）÷3＝6÷3＝2 （4＋4）÷3＝8÷3＝2……2 （4＋6）÷3＝10÷3＝3……1 （4＋8）÷3＝12÷3＝4 （5＋0）÷3＝5÷3＝1……2 符合条件的数是42和48。 答案：五年级参加的学生可能是42人或48人。 5．6人 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出香囊和粽子个数的最大公因数，就是最多分给的人数。 【解答】18＝2×3×3，30＝2×3×5 2×3＝6（人） 答：最多可以分给6人。 6．见详解 【分析】根据小丽的拆分方法，将564进行拆分，564＝500＋60＋4，5个100可以拆成5个99和5个1，6个10可以拆成6个9和6个1，4就是4个1，因为99是3的倍数，无论几个99都是3的倍数，只需要将1的个数相加，是3的倍数，这个数就是3的倍数。观察465和564，只是将百位和个位上的数字进行了交换，都是3的倍数，换成456、546、645、654，依然都是3的倍数，因此3的倍数只与各数字各位上数的和有关，与顺序无关。 【解答】 从图中可以发现，5个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以564就是3的倍数。 比较两次验证过程，我的发现：示例：判断一个数是否为3的倍数只与各数字各位上数的和有关，与顺序无关。 7．3个装；因为3是57的因数 【分析】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【解答】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 8．不对；理由见详解 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。由此可知，普通跳绳、计数跳绳的单价都是5的倍数，根据“单价×数量＝总价”可知，无论买多少根，总钱数都应该是5的倍数；用付的钱数－找回的钱数＝花钱数，判断花的钱数是否是5的倍数，即可得出找回的钱是否正确。 【解答】60－3＝57（元） 57不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 答：售货员找回的钱不对，因为花的总钱数不是5的倍数。 9．龙一鸣；49是合数 【分析】每行人数×行数＝总人数，方阵不能只有1行，因此总人数是合数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【解答】41、43、47都是质数，只有49是合数。 答：龙一鸣数对了，因为49是合数。 10．15平方米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，用16÷2＝8，求出长方形的长和宽的和；根据质数的意义：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；找出两个质数的和是8，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出长方形面积。 【解答】16÷2＝8（米） 5＋3＝8，所以长方形的长是5米，宽是3米。 5×3＝15（平方米） 答：这个长方形的面积是15平方米。 11．6：30 【分析】要求下次同时发车应是什么时候，先求出再一次发车时要隔多长时间，间隔时间即15和20的最小公倍数；根据求最小公倍数的方法：即两个数的公有质因数与每个数的独有质因数的连乘积，进行解答即可。 【解答】15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60 60分钟＝1时      5时30分＋1时＝6时30分，即下次两车同时发车的时间是6：30。 答：下次两车同时发车是6∶30。 12．61颗 【分析】根据题意，粽子总颗数减去1后能同时被3、4、5整除。因此，总颗数是3、4、5的最小公倍数加上1即可。 【解答】3、4、5两两互质，最小公倍数为3×4×5＝60。 60＋1＝61（颗） 答：这盒粽子至少有61颗。 13．3件装 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、或8。 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【解答】根据题意分析：153不是2和5的倍数。 1＋5＋3＝9，9是3的倍数，153是3的倍数。 答：用3件装的纸箱正好装完。 14．不对，因为34不能被3整除，所以34不是3的倍数 【分析】根据单价×数量＝总价，可知3本日记本的总价是3的倍数，据此判断34是否是3的倍数即可。 【解答】34÷3＝11……1 答：不对，因为34不能被3整除，所以34不是3的倍数。 15．77平方米 【分析】质数：是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数：是指在大于1的自然数中，除了1和其本身外还有其他因数的数。 分析题目，先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长除以2求出长和宽之和；再根据质数的概念推导出长和宽各是多少，再根据长方形的面积＝长×宽求出长方形的面积，最后比较大小即可得到最大的面积。 【解答】36÷2＝18（米） 18＝13＋5＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77 答：这个专用停车点的面积最大是77平方米。 16．选择第四种包装盒正好能把它们装完；因为115是5的倍数 【分析】面包的总个数是每个包装盒装面包的个数的倍数，就选择哪种包装盒，据此解答。 【解答】第一种：115÷2＝57（盒）……1（个），115不是2的倍数，不符合题意。 第二种：115÷3＝38（盒）……1（个），115不是3的倍数，不符合题意。 第三种：115÷4＝28（盒）……3（个），115不是4的倍数，不符合题意。 第四种：115÷5＝23（盒），115是5的倍数，符合题意。 选择第四种包装盒正好能把它们装完，因为115是5的倍数。 答：选择第四种包装盒正好能把它们装完，因为115是5的倍数。 17．77平方米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长与宽的和为36÷2＝18，先列举出18以内的所有质数，再找出和为18的质数，最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这块长方形地的最大面积，据此解答。 【解答】36÷2＝18（米） 18以内的质数有2、3、5、7、11、13、17。 5＋13＝18（米） 7＋11＝18（米） 5×13＝65（平方米） 7×11＝77（平方米） 答：这块长方形地的面积最大是77平方米。 18．公平；原因见详解 【分析】判断游戏规则是否公平，主要看双方获胜的概率是否相同，先把任意两个数的积列出来，看一共有几种情况，再看2的倍数的个数和3的倍数的个数，然后比较出现的概率，如果相同则公平，如果不相同则不公平，据此解答。 【解答】1×2＝2 1×3＝3 2×3＝6 由上可知，从3张卡片中任选2张积一共有3种情况，其中2的倍数有2、6，3的倍数有3、6，积既是2的倍数又是3的倍数有6，此时需要重来，若出现需要重来的情况就重新选，直到出现只满足“2的倍数”或“3的倍数”的结果，每次不重来时，甲和乙各有1种获胜的可能，概率相等，所以游戏是公平的。 19．奇数，理由见详解 【分析】分析题目，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，每过1年聪聪和明明的年龄和会增加2，2是偶数，所以几年后聪聪和明明的年龄和增加的都是偶数，据此解答。 【解答】每过一年，两人都增加1岁，即增加的年龄和是2岁，是偶数，所以无论过多少年，他们的年龄和都是奇数加上偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以几年后聪聪和明明年龄的和是奇数。 答：几年后聪聪和明明年龄的和是奇数，因为每年年龄和都增加2岁，奇数加上偶数结果是奇数。 20．256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 21．见详解 【分析】根据学生总人数＝平均分的组数×每组的人数，又因为至少分2组，64＝2×32，64＝4×16，64＝8×8，根据在自然数中，是2的倍数又叫做偶数，其中2、4、8、16、32都为偶数，所以可以分2组，每组32人；分4组，每组16人；分8组，每组8人；分16组，每组4人；分32组，每组2人；共有5中分法，据此解答。 【解答】由分析可知： 64＝2×32，64＝4×16，64＝8×8 2、4、8、16、32都为偶数，共有5种分法，如下： 平均分的组数 2 4 8 16 32 每组的人数 32 16 8 4 2 【点睛】本题考查找因数和偶数，学生需熟练掌握。 22．77或65平方分米 【分析】长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【解答】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。 23．12417名 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数即可。 【解答】1既不是质数也不是合数，万位和十位上的数是1；最小的质数是2，千位上的数字是2；最小的合数是4，百位上的数字是4；个位上数字是这个五位数的十位、百位、千位上数字之和，1＋4＋2＝7。这个数是12417。 答：具体有12417名运动员报名参赛。 24．（1）6；8；2；24；6×8＝2×24 （2）40 （3）20 【分析】（1）全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。据此选择两个数，求出最大公因数和最小公倍数，验证题干中的规律：两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积正好等于这两个数的乘积。 （2）根据以上规律，用这两个连续偶数的积÷最大公因数＝最小公倍数。 （3）根据以上规律，用最大公因数×最小公倍数÷15，即可求出这个数。 【解答】（1）6＝2×3、8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和8的最大公因数是2，最小公倍数是24，则6×8＝2×24。（答案不唯一） （2）8×10÷2＝40 答：8和10的最小公倍数是40。 （3）5×60÷15＝20 这个数是20。 25．（1）是；验证过程见详解 （2）28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 （3）5；23； 30；7；23（答案不唯一） 【分析】（1）先列举出28的所有因数，然后根据完全数的定义，把除28以外的其它因数相加，如果和等于28，就是完全数，否则就不是完全数。 （2）把28写成几个连续自然数和的形式，可以试着从1＋2＋3＋…开始加，加到和为28为止。 （3）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 根据哥德巴赫猜想，把28或其它偶数改写成两个质数相加的形式即可。 【解答】（1）28的因数：1，2，4，7，14，28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 答：28是完全数。 （2）28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 （3）28＝5＋23，或28＝11＋17。 30＝7＋23（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $