专题17.4.1 三角形全等的判定 优等生讲义 (12大考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

本初中数学讲义聚焦三角形全等的判定，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL等判定方法，结合全等三角形定义性质、尺规作图原理及倍长中线等辅助线技巧，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以思维导图总览知识体系，通过12大考点分类精讲与方法总结培养推理意识，创新压轴题如费马点问题发展创新意识，课后巩固助力查漏补缺，课中辅助教学，课后强化知识理解。

专题17.4.1 三角形全等的判定 优等生讲义 (12大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 掌握 三角形全等的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，能根据已知条件灵活选择判定方法。 · 理解 尺规作图的基本原理，能运用尺规作三角形、作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线。 · 熟练 运用全等三角形的性质进行线段相等、角相等的证明，能解决简单的几何计算问题。 · 掌握 构造全等三角形的常用技巧：倍长中线、截长补短、旋转、作平行线等。 · 能综合运用 全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形、等边三角形、平行线等知识解决复杂几何问题。 · 体会 从特殊到一般、数形结合、转化思想在几何证明中的应用。 ✨ 核心思想：判定方法的选择 · 辅助线构造 · 全等性质的灵活迁移 知识梳理·本讲概念梳理 ⭐ 全等三角形的定义与性质 · 定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 · 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、高线、角平分线相等；周长、面积相等。 ⭐ 全等三角形的判定方法 · SSS（边边边）： 三边分别相等的两个三角形全等。 · SAS（边角边）： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 · ASA（角边角）： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 · AAS（角角边）： 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 · HL（直角三角形的斜边、直角边）： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 ⭐ 尺规作图相关 · 作一个角等于已知角： 依据是“SSS”作全等三角形，从而得到对应角相等。 · 作三角形： 已知两边及夹角、两角及夹边、三边，可用尺规作出三角形。 · 过直线外一点作已知直线的平行线： 利用同位角相等（作一个角等于已知角）实现。 ⭐ 构造全等三角形的常用辅助线 · 倍长中线法： 延长中线至一倍，构造全等三角形，实现边的转移。 · 截长补短法： 在长线段上截取一段等于已知线段，或延长短线段等于长线段，构造全等。 · 旋转法： 将三角形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形（常用于等边三角形、等腰直角三角形背景）。 · 作平行线： 过一点作已知直线的平行线，构造相等角，从而获得全等条件。 ⭐ 全等三角形判定方法速查表 判定方法 条件 书写格式 适用场景 SSS 三边对应相等 已知三边长度 SAS 两边及其夹角对应相等 已知两边及夹角 ASA 两角及其夹边对应相等 已知两角及夹边 AAS 两角及其中一角的对边对应相等 已知两角及非夹边 *HL 斜边和一条直角边对应相等（Rt△） 直角三角形 核心考点 · 12类题型精讲 【考点1】尺规作图作三角形（1-3题） ❤ 方法总结 · 利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，通常依据SAS、SSS或ASA。 · 格点三角形中寻找全等三角形时，需分类讨论公共边，利用网格确定对应顶点。 · 作一个角等于已知角的本质是构造全等三角形（SSS）。 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、尺规作图——作三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 2．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，已知：线段a和． 求作：一个三角形，使一边，（不写作法，保留尺规作图痕迹）． 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了三角形的一些基本作法．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：根据作一个角等于已知角，先作，再作，、交于点C， 三角形即为所求． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 【考点2】用SSS证明三角形全等（4-7题） ❤ 方法总结 · 直接运用SSS判定三角形全等，需找出三组对应边相等。 · 常通过已知线段相等及线段的和差关系得到第三组边相等。 · 证明过程中注意书写格式：列出三个条件，指明判定定理。 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是___________．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【难度】0.85 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明得出，，根据等边对等角可得，进而得出，根据等角对等边，即可得证； （2）证明得出平分，根据三线合一的性质，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴，即平分 ∴ 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用SSS证明三角形全等（SSS）、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 【考点3】用SSS间接证明三角形全等（8-10题） ❤ 方法总结 · 当直接证明全等的条件不足时，可通过先证明另一对三角形全等，得到所需边或角相等。 · 常见于复杂图形中，需要多次使用全等传递边角关系。 · 注意识别图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 9．（23-24八年级上·上海宝山·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 C．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、三线合一、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题是假命题，符合题意； B、等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，是真命题，不符合题意； C、有两角和一边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意； D、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意； 故选：A． 10．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 【考点4】全等的性质和SSS综合（11-14题） ❤ 方法总结 · 利用SSS证明全等后，进一步应用全等三角形的性质（对应角相等、对应边相等）解决角度、线段问题。 · 常结合等腰三角形、等边三角形的性质进行推理。 · 证明两直线平行时，可通过同位角或内错角相等实现。 11．（11-12八年级上·安徽合肥·月考）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点D在边的延长线上，，以为一边作等边三角形，连接．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的判定，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据等边三角形的性质及邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【答案】见解答过程 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 由，根据“等边对等角”得，所以，则，由“等角对等边”证明，进而根据““证明≌，再根据全等三角形的对应角相等推导出，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明，于是得到问题的答案． 【详解】解： 已知， 所以等边对等角， 又 已知， 等式性质， 即， 等角对等边， 在与中， ， ≌， 全等三角形的对应角相等， 又 已知， 等腰三角形的“三线合一”． 14．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到，则可证明得到，进而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 【考点5】尺规作一个角等于已知角（15-16题） ❤ 方法总结 · 基本作图步骤：以角的顶点为圆心画弧，交两边于两点；再以相同半径画弧，连接对应点。 · 其理论依据是SSS，保证所作三角形与已知三角形全等，从而得到角相等。 · 常与平行线的判定结合，通过作等角构造平行线。 15．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和SAS综合（SAS）、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知， ． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明： ．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵ （已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴ （⑥________）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、尺规作一个角等于已知角、根据平行线判定与性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵ （已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴ （⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． 【考点6】过直线外一点作已知直线的平行线（17-18题） ❤ 方法总结 · 利用“同位角相等，两直线平行”，通过尺规作一个角等于已知角来实现。 · 也可通过构造平行四边形的方法作平行线。 · 在综合题中常与角平分线、三角形内角和结合求角度。 17．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，如图，点分别在的边上，按下列要求完成尺规作图并解答： (1)作直线； (2)过点作的平行线．（不写作法，保留作图痕迹） (3)若，，直接写出的度数为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.66 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】本题主要考查了直线的定义、尺规作平行线、三角形内角和定理及邻补角的性质，熟练掌握三角形内角和为邻补角互补是解题的关键． （1）根据直线的定义，连接点、并向两端无限延伸，即可得到直线． （2）利用尺规作一个角等于已知角的方法，过点作，从而得到． （3）利用平行线的性质求出，，进一步可得． 【详解】（1）解：连接并向两端无限延伸，直线即为所求； （2）解：如图即为所求；． （3）解：，，， ∴，， ， 故答案为：． 18．（25-26九年级下·广东清远·开学考试）如图，直线与直线相交于点O，点P是直线上一点． (1)请利用尺规作图：过点P作直线的平行线（点M在直线的左侧，点N在直线的右侧）． (2)在（1）条件下，平分平分与相交于点G，已知，，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、过直线外一点作已知直线的平行线、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）作，根据同位角相等，两直线平行，即可得解； （2）过点作，垂足为，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质结合三角形内角和定理可得，从而根据等面积公式列式计算即可； 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，，，， ． 【考点7】用SAS证明三角形全等（19-21题） ❤ 方法总结 · SAS是证明全等最常用的方法之一，注意“夹角”条件必须明确。 · 常结合平行线性质得到角相等，结合中点、公共边得到边相等。 · 证明后利用全等性质进行角度计算或线段关系推导。 19．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再根据即可证明； （2）先由三角形内角和定理求出，再由全等三角形对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴； （2）解：在中，， 由（1）知， ∴． 答：． 20．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【详解】（1）证明：在和中 ； （2）解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 21．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 【考点8】用SAS间接证明三角形全等（22-24题） ❤ 方法总结 · 当所需全等条件不直接满足时，先通过其他全等或已知条件导出SAS所需的两边及夹角。 · 常见模型：通过线段的和差、平行线性质、等腰三角形性质转化边角。 · 注意书写逻辑的严密性。 22．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】两直线平行内错角相等、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 先根据平行线的性质得出，再推出，即可根据得出． 【详解】解： 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即． 在与中， 所以． 23．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，．      (1)与是否全等？说明理由； (2)如果，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，然后由平行线的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； （2）由()可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点9】全等的性质和SAS综合（25-27题） ❤ 方法总结 · 利用SAS证明全等后，运用全等性质解决复杂问题，如角度关系、线段和差、中点证明等。 · 常涉及等腰三角形“三线合一”、等边三角形性质、三角形内角和等知识。 · 在动态问题中，通过构造全等转移线段。 25．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点H，使，连接、，则，因为，，得，，再证明得，，再推导出，进而证明，得，则． 【详解】解：延长到点H，使，连接、， 则， ∵，，， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·上海·月考）已知，如图：中为的中线，是的中线． (1)如果，求证． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形的等边对等角及全等三角形的对应边相等进行推导． （1）利用、得等腰三角形，结合三角形内角和证； （2）延长构造全等三角形，利用证全等得对应边相等． 【详解】（1）证明：， ； ， ； ， ， 即， . （2）证明：延长至，使，连接． 是的中线， ； 在和中， ， ， ，； 由，得；, ∴, ，， ； 在和中，， ， ． 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证，推出，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点10】用ASA(AAS)证明三角形全等（28-32题） ❤ 方法总结 · ASA与AAS本质上相同，都是通过两角及一边证明全等。 · 注意区分夹边与对边，证明时需指明对应关系。 · 常通过平行线、垂直、角平分线得到角相等，利用中点、公共边得到边相等。 28．（2025·上海浦东新·三模）下列命题中假命题是（   ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题真假、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题需要根据三角形全等的判定定理，对每个选项逐一分析，判断命题的真假．本题主要考查了三角形全等的判定定理（等）以及对不同条件下三角形全等的推理判断，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：和中，，，、分别是、边上的高，且．一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，两个三角形不全等．故A项错误，符合题意． 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故B项不符合题意． 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故C项不符合题意． 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，不是假命题．故D项不符合题意． 故选：A． 29．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 30．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【难度】0.65 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以 ． 故答案为：；；；；；；；；；． 31．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【难度】0.65 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）先由得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【考点11】全等的性质和ASA(AAS)综合（33-38题） ❤ 方法总结 · 综合运用全等性质解决角度计算、线段相等、线段和差、面积等问题。 · 常需添加辅助线构造全等三角形，如过一点作平行线、垂线，或倍长线段。 · 在等腰三角形、直角三角形背景下，往往隐藏着角的关系。 33．（24-25八年级上·上海·期末）如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交于点H，则，，由，得，则，所以，而，，即可根据“”证明，得，，由，得，可判断A选项；可推导出可判断B选项；假设成立，则，因为D、E都是动点，所以不总是成立的，可知不总是成立的，可判断C选项；因为，，所以，可判断D选项． 【详解】解：作交于点H，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故A结论不成立． ∵，， ∴，故B结论成立． 假设成立， ∵， ∴， ∵D、E分别是线段、线段延长线上的动点， ∴不总是成立的， ∴不总是成立的，即C结论不成立； ∵，， ∴，故D结论不成立． 故选：B． 34．（25-26八年级上·上海金山·月考）如图，在中，平分且于点D，与相交于E．，，则的周长________． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．先证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 35．（25-26八年级上·上海普陀·月考）如图，已知：，，G为线段的中点，平分，，，则________． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，构造全等三角形，将、、建立联系是解题关键． 延长，，利用G为中点，利用平行线的性质可证明，再根据全等三角形性质，通过线段和差求解即可． 【详解】解：如图，延长，，相交于点E， ∵， ∴，， 又G为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：5． 36．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）在中，高与高相交于点，且，求等于多少度？ 【答案】的度数为 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，找出两个全等三角形是解题关键． 先证明，然后得到，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意得 在和中， 是等腰直角三角形 即的度数为． 37．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，中，E、F为上两点，分别交于点D，G．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 过E作，证明，可证得，再证明四边形为平行四边形，得到，可得出结论． 【详解】证明：如图，过E点作交于H， 则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 38．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 【考点12】创新及压轴题（1-3题） ❤ 方法总结 · 涉及全等三角形的综合探究，常与旋转、等边三角形、最值问题结合。 · 需要灵活运用全等判定，构造辅助线（如旋转、倍长、作平行线）实现线段转移。 · 费马点问题通过旋转构造等边三角形，将三条线段和转化为折线段长。 · 解题关键是发现不变的全等关系，利用全等性质进行推理。 1．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【难度】0.65 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，点是边上一点，连接．过点作直线的垂线，垂足为点E．    (1)如图①，若于点，求证：； (2)如图②，在线段上截取，连接交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，再证，即可得出； （2）过点A作交的延长线于点F，同（1）可证，推出，，结合可得，进而证明，推出，即可得出； 【详解】（1）（1）证明： ， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，过点A作交的延长线于点F，    同（1）可证， ，， 又 ， ， 在和中， ， ， ， ， 又 ， ； 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． (1)探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． (2)探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 【答案】(1)点B，① (2)①同意，理由见解析②见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及等边三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键． （1）利用三角形任意两边之和大于第三边判断即可； （2）①利用旋转变换的性质判断出：点A、P、在同一直线上，的值最小，可得结论； ②在的下方作等边，在的右侧作等边，连接交于点P，与交于点，连接，根据，则，可得，则，再根据可得，则，故点P即为所求． 【详解】（1）解：当点A、B、C在同一直线上（如图1），点B在点A和点C之间，要使得最小，点P的位置为点B．依据是三角形任意两边之和大于第三边． 故答案为：点B，①； （2）解：①同意． 理由：由旋转变换的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点A、P、在同一直线上，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图5中，点P即为所求． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 倍长中线构造全等三角形，结合三角形三边关系求中线的取值范围。 · 练习2 利用SAS证明三角形全等，结合三角形外角性质求角度。 · 练习3 等边三角形的性质，SAS证明三角形全等，利用全等性质求角度。 1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 2．（20-21八年级上·河南信阳·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 【答案】58°/58度 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 3．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知点B、C、E在一直线上，都是等边三角形，连接，交点为F． (1)试说明与全等的理由； (2)求的度数； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）依据，则，由证得； （2）由得到，由解答即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：设的交点为G， ∵； ∴， 又∵， ∴ ． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质,证明是解题的关键． 课后巩固 · 核心作业 · 题1 确定直角三角形的条件（三角形全等判定定理的应用）。 · 题2 添加条件使三角形全等（SSS、SAS、HL等的识别）。 · 题3 等腰三角形、全等三角形的判定与性质，中点、平行线综合。 · 题4 等腰三角形、角平分线、截长补短构造全等求角度。 · 题5 全等三角形的判定SAS，平行线的判定（内错角相等）。 · 题6 添加条件使三角形全等（开放性问题）。 · 题7 直角三角形30°角性质的证明（构造全等或等边三角形）。 · 题8 等腰三角形、全等三角形的判定与性质，中点证明。 · 题9 倍长中线构造全等，等腰三角形性质，线段倍分关系。 · 题10 全等三角形的判定SAS，三角形内角和，外角性质。 · 题11 全等三角形的判定ASA，等腰三角形的判定与性质。 · 题12 费马点问题：旋转构造等边三角形，全等三角形的判定与性质。 ※复习建议 本专题重点在于全等三角形的四种判定方法及其综合应用。建议先熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS的基本证明格式，再逐步接触需要添加辅助线的复杂题目。对于尺规作图，要理解每一步的作图依据。对于压轴题，注意旋转、倍长中线等构造全等的方法，并善于从复杂图形中分离出基本全等模型。 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）下列条件中，不能确定一个直角三角形的是（   ） A．已知两条直角边 B．已知两个锐角 C．已知一条直角边和斜边 D．已知一个锐角和斜边 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查直角三角形全等的判定方法，需结合边长信息才能唯一确定．根据直角三角形的性质，选项B只已知两个锐角但无边长信息，只能确定形状而不能确定大小，因此不能唯一确定一个直角三角形． 【详解】解：对于选项B： ∵直角三角形中两个锐角互余， ∴已知两个锐角时，角度固定但边长未知， ∴三角形大小不唯一，只能得到形状相同的三角形， 故不能确定一个直角三角形． 其他选项均可通过三角形全等的判定定理确定唯一三角形． 2．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知点在同一直线上，，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，关键是结合已知条件，逐一分析每个选项是否满足全等判定条件． 【详解】解：∵， ∴，即． 已知，结合各选项分析： 选项A：，此时有，，，满足判定，可推出； 选项B：，此时有，，，为，不满足全等判定条件，不能推出； 选项C：，此时为直角三角形，有，，满足判定，可推出； 选项D：，此时有，，，满足判定，可推出； 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海普陀·月考）如图，在四边形中，，是边的中点，如果平分那么下列结论不一定成立的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等知识﹒延长，交延长线于点F﹒先证明得到﹒再证明，得到，﹒根据，，得到平分，，确定A选项，B选项正确；根据，，得到，确定D选项正确；根据原题只能证明，无法证明，故C选项不一定成立﹒ 【详解】解：如图，延长，交延长线于点F﹒ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴﹒ ∵是边的中点， ∴﹒ 在和中， ， ∴， ∴，﹒ ∵，， ∴平分，， ∴， 故A选项，B选项正确； ∵，， ∴， 故D选项正确； 根据原题只能证明，无法证明，故C选项不一定成立﹒ 故选：C 4．（25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 5．（25-26八年级上·上海·月考）线段、相交于点，且，，那么与的位置关系是________． 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了全等三角形，通过证明三角形全等，得出内错角相等，从而判定两直线平行． 【详解】∵， ， ， ∴， ∴． ∴． 故答案为：平行． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是___________． 【答案】（或）． 【难度】0.85 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加，根据“”可得； 添加，根据“”可得． 故答案为：（或）． 7．（25-26八年级上·上海·月考）证明：在直角三角形中，如果有一个角为，那么这个角对边的长度是斜边的一半． (1)根据图形写出已知、求证． 如图，已知：________ 求证：_________ (2)证明： 【答案】(1)，； (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】本题考查了写出命题的已知与求证、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意写出已知和求证即可； （2）延长至点，使得，则，先证明，得到，，进而证得是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图，已知：，， 求证：； 故答案为：，；； （2）证明：如图，延长至点，使得， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，中，，平分，求证：是的中点． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，则，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点． 9．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，中，，为的边的中线，在延长线上截取．求证：． 【答案】见详解 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；延长至点F，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】证明：延长至点F，使得，连接，如图所示： ∵为的边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． （1）根据可得，由定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ； （2）解：， ． ，， ． ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长，相交于点Q，根据证明，得到，再根据角平分线的定义以及证明从而得到进而得到结论． 【详解】证明：延长，相交于点Q，如图． ， ，， ． 在和中， , ， ， 平分，， ， ． 在和中， ， ． 12．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】(1)A (2)①，理由见解析；②见解析 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.4.1 三角形全等的判定 优等生讲义 (12大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 掌握 三角形全等的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，能根据已知条件灵活选择判定方法。 · 理解 尺规作图的基本原理，能运用尺规作三角形、作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线。 · 熟练 运用全等三角形的性质进行线段相等、角相等的证明，能解决简单的几何计算问题。 · 掌握 构造全等三角形的常用技巧：倍长中线、截长补短、旋转、作平行线等。 · 能综合运用 全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形、等边三角形、平行线等知识解决复杂几何问题。 · 体会 从特殊到一般、数形结合、转化思想在几何证明中的应用。 ✨ 核心思想：判定方法的选择 · 辅助线构造 · 全等性质的灵活迁移 知识梳理·本讲概念梳理 ⭐ 全等三角形的定义与性质 · 定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 · 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、高线、角平分线相等；周长、面积相等。 ⭐ 全等三角形的判定方法 · SSS（边边边）： 三边分别相等的两个三角形全等。 · SAS（边角边）： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 · ASA（角边角）： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 · AAS（角角边）： 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 · HL（直角三角形的斜边、直角边）： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 ⭐ 尺规作图相关 · 作一个角等于已知角： 依据是“SSS”作全等三角形，从而得到对应角相等。 · 作三角形： 已知两边及夹角、两角及夹边、三边，可用尺规作出三角形。 · 过直线外一点作已知直线的平行线： 利用同位角相等（作一个角等于已知角）实现。 ⭐ 构造全等三角形的常用辅助线 · 倍长中线法： 延长中线至一倍，构造全等三角形，实现边的转移。 · 截长补短法： 在长线段上截取一段等于已知线段，或延长短线段等于长线段，构造全等。 · 旋转法： 将三角形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形（常用于等边三角形、等腰直角三角形背景）。 · 作平行线： 过一点作已知直线的平行线，构造相等角，从而获得全等条件。 ⭐ 全等三角形判定方法速查表 判定方法 条件 书写格式 适用场景 SSS 三边对应相等 已知三边长度 SAS 两边及其夹角对应相等 已知两边及夹角 ASA 两角及其夹边对应相等 已知两角及夹边 AAS 两角及其中一角的对边对应相等 已知两角及非夹边 HL 斜边和一条直角边对应相等（Rt△） 直角三角形 核心考点 · 12类题型精讲 【考点1】尺规作图作三角形（1-3题） ❤ 方法总结 · 利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，通常依据SAS、SSS或ASA。 · 格点三角形中寻找全等三角形时，需分类讨论公共边，利用网格确定对应顶点。 · 作一个角等于已知角的本质是构造全等三角形（SSS）。 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，已知：线段a和． 求作：一个三角形，使一边，（不写作法，保留尺规作图痕迹）． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【考点2】用SSS证明三角形全等（4-7题） ❤ 方法总结 · 直接运用SSS判定三角形全等，需找出三组对应边相等。 · 常通过已知线段相等及线段的和差关系得到第三组边相等。 · 证明过程中注意书写格式：列出三个条件，指明判定定理。 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是___________．（只需写出一种情况） 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 6．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【考点3】用SSS间接证明三角形全等（8-10题） ❤ 方法总结 · 当直接证明全等的条件不足时，可通过先证明另一对三角形全等，得到所需边或角相等。 · 常见于复杂图形中，需要多次使用全等传递边角关系。 · 注意识别图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 9．（23-24八年级上·上海宝山·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 C．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 10．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点4】全等的性质和SSS综合（11-14题） ❤ 方法总结 · 利用SSS证明全等后，进一步应用全等三角形的性质（对应角相等、对应边相等）解决角度、线段问题。 · 常结合等腰三角形、等边三角形的性质进行推理。 · 证明两直线平行时，可通过同位角或内错角相等实现。 11．（11-12八年级上·安徽合肥·月考）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点D在边的延长线上，，以为一边作等边三角形，连接．求证：． 13．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 14．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【考点5】尺规作一个角等于已知角（15-16题） ❤ 方法总结 · 基本作图步骤：以角的顶点为圆心画弧，交两边于两点；再以相同半径画弧，连接对应点。 · 其理论依据是SSS，保证所作三角形与已知三角形全等，从而得到角相等。 · 常与平行线的判定结合，通过作等角构造平行线。 15．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 16．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知， ． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明： ．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵ （已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴ （⑥________）． 【考点6】过直线外一点作已知直线的平行线（17-18题） ❤ 方法总结 · 利用“同位角相等，两直线平行”，通过尺规作一个角等于已知角来实现。 · 也可通过构造平行四边形的方法作平行线。 · 在综合题中常与角平分线、三角形内角和结合求角度。 17．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，如图，点分别在的边上，按下列要求完成尺规作图并解答： (1)作直线； (2)过点作的平行线．（不写作法，保留作图痕迹） (3)若，，直接写出的度数为_____． 18．（25-26九年级下·广东清远·开学考试）如图，直线与直线相交于点O，点P是直线上一点． (1)请利用尺规作图：过点P作直线的平行线（点M在直线的左侧，点N在直线的右侧）． (2)在（1）条件下，平分平分与相交于点G，已知，，求点到直线的距离． 【考点7】用SAS证明三角形全等（19-21题） ❤ 方法总结 · SAS是证明全等最常用的方法之一，注意“夹角”条件必须明确。 · 常结合平行线性质得到角相等，结合中点、公共边得到边相等。 · 证明后利用全等性质进行角度计算或线段关系推导。 19．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 21．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【考点8】用SAS间接证明三角形全等（22-24题） ❤ 方法总结 · 当所需全等条件不直接满足时，先通过其他全等或已知条件导出SAS所需的两边及夹角。 · 常见模型：通过线段的和差、平行线性质、等腰三角形性质转化边角。 · 注意书写逻辑的严密性。 22．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 23．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，．      (1)与是否全等？说明理由； (2)如果，，求的度数． 24．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点9】全等的性质和SAS综合（25-27题） ❤ 方法总结 · 利用SAS证明全等后，运用全等性质解决复杂问题，如角度关系、线段和差、中点证明等。 · 常涉及等腰三角形“三线合一”、等边三角形性质、三角形内角和等知识。 · 在动态问题中，通过构造全等转移线段。 25．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则______． 26．（25-26八年级上·上海·月考）已知，如图：中为的中线，是的中线． (1)如果，求证． (2)如果，求证：． 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【考点10】用ASA(AAS)证明三角形全等（28-32题） ❤ 方法总结 · ASA与AAS本质上相同，都是通过两角及一边证明全等。 · 注意区分夹边与对边，证明时需指明对应关系。 · 常通过平行线、垂直、角平分线得到角相等，利用中点、公共边得到边相等。 28．（2025·上海浦东新·三模）下列命题中假命题是（   ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 29．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    30．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 31．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 32．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【考点11】全等的性质和ASA(AAS)综合（33-38题） ❤ 方法总结 · 综合运用全等性质解决角度计算、线段相等、线段和差、面积等问题。 · 常需添加辅助线构造全等三角形，如过一点作平行线、垂线，或倍长线段。 · 在等腰三角形、直角三角形背景下，往往隐藏着角的关系。 33．（24-25八年级上·上海·期末）如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·上海金山·月考）如图，在中，平分且于点D，与相交于E．，，则的周长________． 35．（25-26八年级上·上海普陀·月考）如图，已知：，，G为线段的中点，平分，，，则________． 36．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）在中，高与高相交于点，且，求等于多少度？ 37．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，中，E、F为上两点，分别交于点D，G．求证：． 38．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【考点12】创新及压轴题（1-3题） ❤ 方法总结 · 涉及全等三角形的综合探究，常与旋转、等边三角形、最值问题结合。 · 需要灵活运用全等判定，构造辅助线（如旋转、倍长、作平行线）实现线段转移。 · 费马点问题通过旋转构造等边三角形，将三条线段和转化为折线段长。 · 解题关键是发现不变的全等关系，利用全等性质进行推理。 1．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，点是边上一点，连接．过点作直线的垂线，垂足为点E．    (1)如图①，若于点，求证：； (2)如图②，在线段上截取，连接交于点，求证：． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． (1)探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． (2)探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 倍长中线构造全等三角形，结合三角形三边关系求中线的取值范围。 · 练习2 利用SAS证明三角形全等，结合三角形外角性质求角度。 · 练习3 等边三角形的性质，SAS证明三角形全等，利用全等性质求角度。 1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是______． 2．（20-21八年级上·河南信阳·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 3．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知点B、C、E在一直线上，都是等边三角形，连接，交点为F． (1)试说明与全等的理由； (2)求的度数； 课后巩固 · 核心作业 · 题1 确定直角三角形的条件（三角形全等判定定理的应用）。 · 题2 添加条件使三角形全等（SSS、SAS、HL等的识别）。 · 题3 等腰三角形、全等三角形的判定与性质，中点、平行线综合。 · 题4 等腰三角形、角平分线、截长补短构造全等求角度。 · 题5 全等三角形的判定SAS，平行线的判定（内错角相等）。 · 题6 添加条件使三角形全等（开放性问题）。 · 题7 直角三角形30°角性质的证明（构造全等或等边三角形）。 · 题8 等腰三角形、全等三角形的判定与性质，中点证明。 · 题9 倍长中线构造全等，等腰三角形性质，线段倍分关系。 · 题10 全等三角形的判定SAS，三角形内角和，外角性质。 · 题11 全等三角形的判定ASA，等腰三角形的判定与性质。 · 题12 费马点问题：旋转构造等边三角形，全等三角形的判定与性质。 ※复习建议 本专题重点在于全等三角形的四种判定方法及其综合应用。建议先熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS的基本证明格式，再逐步接触需要添加辅助线的复杂题目。对于尺规作图，要理解每一步的作图依据。对于压轴题，注意旋转、倍长中线等构造全等的方法，并善于从复杂图形中分离出基本全等模型。 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）下列条件中，不能确定一个直角三角形的是（   ） A．已知两条直角边 B．已知两个锐角 C．已知一条直角边和斜边 D．已知一个锐角和斜边 2．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知点在同一直线上，，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·月考）如图，在四边形中，，是边的中点，如果平分那么下列结论不一定成立的是（    ） A．平分 B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 5．（25-26八年级上·上海·月考）线段、相交于点，且，，那么与的位置关系是________． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是___________． 7．（25-26八年级上·上海·月考）证明：在直角三角形中，如果有一个角为，那么这个角对边的长度是斜边的一半． (1)根据图形写出已知、求证． 如图，已知：________ 求证：_________ (2)证明： 8．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，中，，平分，求证：是的中点． 9．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，中，，为的边的中线，在延长线上截取．求证：． 10．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 12．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 第 1 页 共 16 页 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