精品解析：浙江省杭州市浙江大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025学年第一学期浙大附中期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由， 而推不出， “”是“充分不必要条件 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 4. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值，可得的值． 【详解】因为角的终边经过点，，，， 所以， 则. 故选：C. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，由已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】因为在上单调递减， 根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值， 可得， 解得. 故选：C. 6. 若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式得的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象. 【详解】令，可得或， 对于，若，则的零点，A满足，B不满足； 对于，若，则的零点，C、D不满足. 故选：A 7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利用二次函数的单调性即可确定参数a的取值范围. 【详解】因幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得． 故选:C. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”， 故其值域为，而，则值域为； 当时，， 当时，，对称轴且开口向上， 则在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，若存在定义域之外的元素，则不符合条件；对其他选项可根据特殊函数的单调性得出. 【详解】由“对勾”函数的单调性可知，函数在单调递增，A正确； 由在单调递增，在单调递减，知在单调递增，B正确； 函数在处无定义，因此不可能在单调递增，C错误； 函数的定义域为，因此在上没有定义，故不可能在单调递增，D错误. 故选:AB. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，，，则的最小值是2 D. 若实数，满足，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案． 【详解】对于A，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确； 对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立）， 因为，所以，所以， 所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4，故C错误； 对于D，，设，， ∵，当且仅当，即时，取等号 ∴ 则的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（    ） A. B. 的最大值为 C. 在上单调递增 D. 给定常数，当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求函数的定义域，得判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求判断函数的最值判断BD选项． 【详解】由，得，，，A选项正确； 设，则， ，，，，在上是增函数， 同理可证，在上是减函数， 所以在上是增函数，在上是减函数，C选项错误； 为最大值，B选项正确； ，，，在上是增函数，在上是减函数， 的最小值为和中较小者， ． 的最小值为，D选项正确． 故选：． 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念计算即可. 【详解】与角终边相同的最小正角是，即， 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】依题意，， ，所以． 故答案为：. 14. 设为两两不同的实数，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解以及对等式性质的运用，解题的关键思路是通过对已知等式进行变形，构造出关于k的方程，进而求解k的值. 【详解】因为，所以 ① 同理可得 ②， ③； 由①得到 ④ 由②得到 ⑤ 由④、⑤得到，即；同理得 所以，化简得到 因为为两两不同的实数，所以 ，所以，得到 ； 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 设集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空集的定义求解； （2）根据、求解. 【小问1详解】 因，则，即， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由题意得，且，则，得， 故实数的取值范围. 16. 杭州塘栖，位于京杭大运河畔，是闻名遐迩的“枇杷之乡”.这里出产的白沙枇杷，具有“塘栖枇杷甲天下”的美脊.白沙枇杷树单株的产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，白沙枇杷树单株肥料成本投入为20x元及其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知白沙枇杷的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求.记白沙枇杷树单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，种植该水果单株利润最大，最大利润为960元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1），当时，，对称轴为，在单调递增， ， 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，又 所以当施用肥料为4千克时，种植该水果树获得单株利润最大，最大利润是960元. 17. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由求出，再检验函数为奇函数即可得； （2）求出时的最小值，然后解不等式，同时使得对数有意义． 【详解】（1）由于为奇函数，且定义域为，∴，即，. 检验：当时，， ，∴为奇函数. （2）∵，∴， 又∵在区间上是增函数， ∴当时，， 由题意得，∴. 【点睛】方法点睛：本题考查由奇偶性求参数，考查不等式恒成立．由奇函数求参数的方法： （1）若时有意义，则由求得参数，然后代入进行检验函数确实是奇函数，检验的原因是是为奇函数的既不充分也不必要的条件． （2）根据奇函数的定义求解． 18. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且，. （1）证明：； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）当时，求不等式. 【答案】（1） 令，，则，即， 因为，所以； （2） 函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令，则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 19. 已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数. （1）已知为定义在上的函数，求最大的区间； （2）已知为定义在上的函数，求实数的取值范围； （3）已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意，令求解的范围即可. （2）结合题意令转化成二次函数在定区间上的恒成立问题求解. （3）结合题意，将题目转化成恒成立的问题求解即可. 【小问1详解】 即解得: 故最大的区间为： 【小问2详解】 恒成立，即且 即且令则且 则且 故 【小问3详解】 因为 为定义在 上的 函数, 所以对 恒成立, 分别取 , 得 , 则 . 所以 . ,, 当 时, , 解得: . 故答案为：. 【点睛】新结构题目读懂题目的含义结合所学知识求解是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙大附中期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，，，则的最小值是2 D. 若实数，满足，则的最大值是 11. 定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（    ） A. B. 的最大值为 C. 在上单调递增 D. 给定常数，当时，的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示） 13. 已知，则______． 14. 设为两两不同的实数，若，则___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 设集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 杭州塘栖，位于京杭大运河畔，是闻名遐迩的“枇杷之乡”.这里出产的白沙枇杷，具有“塘栖枇杷甲天下”的美脊.白沙枇杷树单株的产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，白沙枇杷树单株肥料成本投入为20x元及其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知白沙枇杷的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求.记白沙枇杷树单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且，. （1）证明：； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）当时，求不等式. 19. 已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数. （1）已知为定义在上的函数，求最大的区间； （2）已知为定义在上的函数，求实数的取值范围； （3）已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $