重难点专题02 四边形综合问题（专项训练，7大题型）数学新教材沪科版八年级下册

重难点专题02 四边形综合问题 重难点一 特殊四边形的性质综合判断 核心基础知识： 1. 平行四边形的性质理解：两组对边分别平行，是所有特殊四边形的“基础模板”。性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；中心对称。 记忆技巧：平行四边对边等，对角相等邻角补；对角线互相平分，中心对称记清楚。   2. 矩形（平行四边形 + 一个直角） 理解：角特殊，全是直角，对角线变得相等。 性质：对边平行相等；四角都是直角；对角线相等且平分；轴对称+中心对称。 记忆技巧：矩形四角都是直，对角线相等又平分；两条对称轴，中心对称也并存。   3. 菱形（平行四边形 + 四边相等） 理解：边特殊，四边相等，对角线互相垂直且平分对角。 性质：四边相等；对边平行；对角线垂直平分、平分内角；轴对称+中心对称。 记忆技巧：菱形四边都相等，对角线垂直又平分；对角相等轴两条，中心对称一样真。   4. 正方形（最特殊：矩形+菱形合体） 理解：既有矩形的直角，又有菱形的等边，性质最全。 性质：四边相等；四角直角；对角线相等、垂直、平分、平分对角；4条对称轴。 记忆技巧：正方形，最特殊，边等角直全都有；对角线等垂平分，四条对称轴最牛。   学习方法： 1. 边读口诀边画图：读一句口诀，画一个特征（直角、相等、垂直），做到口到、手到、眼到。 2. 继承式记忆：特殊平行四边形=平行四边形+额外性质，不重复记、不混淆。 3. 对角线优先：综合题先看对角线，用口诀一秒判断形状。 4. 对比纠错：只记“特殊点”，矩形记角、菱形记边、正方全记。 口诀+做题：每做一道判断，先记忆对应口诀，再写理由，形成条件反射。 1．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 2．下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 4．下列说法中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 5．下列说法不正确的是（　　） A．正方形的对角线相等且互相垂直平分 B．菱形的四条边都相等 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形 6．下列判断错误的是（   ） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 7．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等且互相平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 重难点二 折叠问题 1.本质突破：折叠 = 轴对称变换，折痕是对称轴 2.思想渗透：方程思想（设未知数+勾股定理）+数形结合思想（画图标记）+转化思想（折叠问题→直角三角形问题） 3.通用解题六步法：1. 画图：无图先画图，有图重描图 2. 标记：用相同符号标折叠相等边、相等角 3. 设元：设所求线段为x，表示相关线段 4. 找形：锁定直角三角形（特殊四边形自带直角） 5. 列方程：运用勾股定理建立方程 6. 求解检验：计算并验证边长合理性 4.常见的特殊四边形折叠： 矩形折叠，菱形折叠 ；正方形折叠 ； 解题记忆口诀：折叠本是轴对称，对应边角都相同； 画图标记是前提，设元表示各线段； 寻找直角三角形，勾股定理列方程； 特殊性质不能忘，求解检验才算完。 8．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 9．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 10．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 11．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 12．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 13．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 14．如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接. (1)____________； (2)如图2，若正方形边长为6，点为的中点，连接， ①求线段的长； ②求的面积； (3)当时，若令，则________(用含的式子表示).      15．综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 重难点三 直角三角形斜边上的中线性质的应用 1.核心定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。逆定理（拓展，中考常考）：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 2.学习与解题指导方法： 见直角，见中点，优先想斜边中线。 3.解题四步法：找直角：确认是否为直角三角形；找中点：找斜边中点；连中线：连接中点与直角顶点；用结论：中线 = 斜边一半，得相等线段、等腰三角形 4.综合题常用思路：和中位线一起考：双中点模型；和矩形折叠一起考：折叠后直角+中点；和特殊平行四边形一起考：对角线转化 记忆口诀：直角三角有中线，斜边一半记心间。一点分斜成两段，等距三顶点相连。 见直角，遇中点，斜边中线立刻现；线段等，角度等，等腰三角形出现。 16．如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 17．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 19．如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 20．如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 21．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 22．如图，在四边形中， (1)求证：四边形是矩形； (2)E是上一点，F是的中点，连接．若，求的长． 23．如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 重难点四 中点四边形问题 1.必备核心基础知识：定义 顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形，叫做中点四边形； 2.必备理论依据：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 这是所有中点四边形结论的根本，必须先让学生推导理解，而非死记。； 3.核心结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； 4.学习方法与步骤：画出任意四边形⇒连接各边中点⇒连接原四边形对角线⇒利用中位线定理证明对边平行且相等⇒得出是平行四边形，目的：理解本质，不混淆结论。 速记口诀： 中点四边形看对角，相等变菱垂直矩，等垂合一正方形。 24．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 25．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A．互相平分 B．相等且互相平分 C．互相垂直平分 D．互相垂直 26．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 27．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 28．如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 29．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，若四边形是菱形，则四边形的对角线和需要满足的条件是______． 30．已知如图，在四边形中，，分别是的中点，则______    31．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表： 四边形ABCD 菱形 矩形 正方形 平行四边形EFGH 32．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 重难点五 特殊四边形中的阴影面积问题 1. 必备核心解题思想：转化思想：不规则→规则，未知→已知；整体减空白：总面积 − 空白面积；割补法：割成几块求和，或补成大图形再减；对称/平移/旋转：利用特殊四边形对称性移动阴影； 2. 常用解题方法：方法1：整体减空白法（最常用），2：割补法（分割/拼接），方法3：利用对称性法（正方形、菱形、矩形必考），方法4：等积变形法（平行线间等高） ， 方法5：公式直接法 记忆口诀： 阴影面积不用慌，先看规则再思量。 整体减去空白面，割补拼接变简单。 对称平分是关键，等积变形等高算。 公式牢记心中装，步骤规范得分强。 33．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 34．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 35．如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_________. 36．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的_____． 37．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 38．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 39．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 40．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 重难点六 动点问题 1.核心解题思想：化动为静：把运动中的点，固定在某一位置来分析；分类讨论：位置不同、形状不同、角度不同分情况；方程思想：用含时间 t 的式子表示线段长度 4. 数形结合：画图→标线段→列等式；转化思想：动点问题→特殊四边形判定/等腰/直角问题； 2.解题方法：第一步：设未知数表示线段，通常设运动时间为 t，用t表示：表示出相关线段长度，确定 t 的取值范围；第二步：抓不变量 ，平行、垂直、角相等、对角线性质 、 图形固有对称性、边长、高；第三步：分类讨论定形状 根据要求（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰、直角）列出判定条件对应的等式；第四步：解方程+检验，解方程求，检验 t 是否在取值范围内。 速记口诀：动点问题并不难，化动为静是关键。设时表线找范围，分类讨论不重漏。平行对边等或平，矩形加直对角线。菱形邻边要相等，正方两者都具备。方程求解别忘验，规范作答得分全。 41．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 42．如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ） A． B．3 C．3或 D．或 43．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 44．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF，若四边形AEFD为菱形，则t的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 45．如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．不能确定 46．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 47．如图，、是直线上的两个定点，点、在直线上运动（点在点的左侧），．已知，连接、、，把沿折叠得．当、两点重合时，______；当、两点不重合时，若直线与距离为．若以、、、为顶点的四边形是矩形，______． 48．如图，在平行四边形中，点在上，，点是的中点，若点以1厘米/秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2厘米/秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到停止运动，点也同时停止运动，当点运动时间是_____秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 49．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 50．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 51．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 重难点七 最值问题 1.核心解题思想：对称思想：利用特殊四边形的轴对称/中心对称转化线段；化曲为直：折线段和 → 直线段（两点之间线段最短）；垂线段最短：点到直线的距离最短；三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2.四大核心模型：模型1：将军饮马（求线段和最小值），适用场景：在直线上找一点，使到两定点距离和最小；模型2：垂线段最短（求单线段最小值），适用：点在直线上运动，求该点到定点距离最小；模型3：三角形三边关系（线段差最大值）。 3.特殊四边形常用性质：中心对称：过对称中心直线平分周长与面积；轴对称：矩形2条、菱形2条、正方形4条对称轴；对角线性质：矩形对角线相等，菱形对角线垂直平分，平行线间距离处处相等（等积转化） 4.解题方法：定模型：识别是和最小、差最大、垂线段；找对称：利用四边形对称性作对称点；化直路：折线变直线，确定最短路径；算长度：勾股定理、相似、面积法求长度 速记口诀：最值问题找模型，对称转化最常用。 将军饮马作对称，两点之间直线定。 单段最短看垂线，三边关系差最大。 范围检验不能少，规范书写得分高。 52．如图，菱形ABCD的边长是4cm，且∠ABC＝60°，E是BC中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（　　）cm． A．2 B．2 C．3 D．4 53．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 54．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 55．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 56．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 57．如图，在中，，，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________． 58．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 59．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 四边形综合问题 重难点一 特殊四边形的性质综合判断 核心基础知识： 1. 平行四边形的性质理解：两组对边分别平行，是所有特殊四边形的“基础模板”。性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；中心对称。 记忆技巧：平行四边对边等，对角相等邻角补；对角线互相平分，中心对称记清楚。   2. 矩形（平行四边形 + 一个直角） 理解：角特殊，全是直角，对角线变得相等。 性质：对边平行相等；四角都是直角；对角线相等且平分；轴对称+中心对称。 记忆技巧：矩形四角都是直，对角线相等又平分；两条对称轴，中心对称也并存。   3. 菱形（平行四边形 + 四边相等） 理解：边特殊，四边相等，对角线互相垂直且平分对角。 性质：四边相等；对边平行；对角线垂直平分、平分内角；轴对称+中心对称。 记忆技巧：菱形四边都相等，对角线垂直又平分；对角相等轴两条，中心对称一样真。   4. 正方形（最特殊：矩形+菱形合体） 理解：既有矩形的直角，又有菱形的等边，性质最全。 性质：四边相等；四角直角；对角线相等、垂直、平分、平分对角；4条对称轴。 记忆技巧：正方形，最特殊，边等角直全都有；对角线等垂平分，四条对称轴最牛。   学习方法： 1. 边读口诀边画图：读一句口诀，画一个特征（直角、相等、垂直），做到口到、手到、眼到。 2. 继承式记忆：特殊平行四边形=平行四边形+额外性质，不重复记、不混淆。 3. 对角线优先：综合题先看对角线，用口诀一秒判断形状。 4. 对比纠错：只记“特殊点”，矩形记角、菱形记边、正方全记。 口诀+做题：每做一道判断，先记忆对应口诀，再写理由，形成条件反射。 1．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 2．下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【答案】B 【分析】本题考查正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质即可一一判断； 【详解】解：A、四条边都相等的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，故本选项符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论． 【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等）， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：B． 4．下列说法中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，理解相关性质是解题的关键． 根据矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故A错误，不符合题意； B．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），故B错误，不符合题意； C．平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角（只有菱形和正方形等特殊平行四边形才平分对角），故C错误，不符合题意； D．矩形的对角线相等且互相平分，故D正确，符合题意． 故选D． 5．下列说法不正确的是（　　） A．正方形的对角线相等且互相垂直平分 B．菱形的四条边都相等 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断． 【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，故该选项正确，不符合题意； B、菱形的四条边都相等，故该选项正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项正确，不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形都是轴对称图形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 6．下列判断错误的是（   ） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查的是特殊平行四边形的判定和性质，分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有两组邻边相等，一组对边相等的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，原说法正确，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 7．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等且互相平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质，根据菱形、矩形和正方形的性质，逐一判断各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故选项不符合题意； C、菱形的四个角不一定相等，只有正方形的四个角相等，故选项不符合题意； D、正方形的对角线具有菱形和矩形的所有性质，互相垂直平分且相等，故选项符合题意； 故选：D． 重难点二 折叠问题 1.本质突破：折叠 = 轴对称变换，折痕是对称轴 2.思想渗透：方程思想（设未知数+勾股定理）+数形结合思想（画图标记）+转化思想（折叠问题→直角三角形问题） 3.通用解题六步法：1. 画图：无图先画图，有图重描图 2. 标记：用相同符号标折叠相等边、相等角 3. 设元：设所求线段为x，表示相关线段 4. 找形：锁定直角三角形（特殊四边形自带直角） 5. 列方程：运用勾股定理建立方程 6. 求解检验：计算并验证边长合理性 4.常见的特殊四边形折叠： 矩形折叠，菱形折叠 ；正方形折叠 ； 解题记忆口诀：折叠本是轴对称，对应边角都相同； 画图标记是前提，设元表示各线段； 寻找直角三角形，勾股定理列方程； 特殊性质不能忘，求解检验才算完。 8．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 9．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 10．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 11．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 12．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 13．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 14．如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接. (1)____________； (2)如图2，若正方形边长为6，点为的中点，连接， ①求线段的长； ②求的面积； (3)当时，若令，则________(用含的式子表示).      【答案】（1）；（2）①线段的长为2；②；（3）a . 【分析】（1）根据正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE=3，DC=DF=AB=BC=6，利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，可得AG=GF，设AG=x，表示出GF、BG，再利用勾股定理列出方程求解即可； ②根据勾股定理求出EG=5，求出 ，再根据△GBE和△BEF等高求解即可； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CE=a，可得AG=CE=EF=GF=a，再求出BG=BE，然后根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：(1)如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°， ∵△DEC沿DE折叠得到△DEF， ∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2， ∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF， 在Rt△DGA和Rt△DGF中， ， ∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL）， ∴∠3=∠4， ∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC， =（∠ADF+∠FDC）， =×90°， =45°； (2)①解：∵将沿折叠得到，为的中点， ∴，，∵四边形是正方形， ∴，∴. 在和中， ， ∴(HL)，∴， ∵为中点，∴. 设，则，，∴， 在中，根据勾股定理得： ，即， 解得，即线段的长为2； ②在中，，，根据勾股定理得：. ∵BE•BG. ∵△BEF和△BEG等高， ∴； (3)∵DE=DG，∠DFE=∠C=90°， ∴点F是EG的中点，即GF=EF， 在Rt△ADG和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△CDE（HL）， ∴AG=CE， ∴AB-AG=BC-CE，AG=CE=EF=GF=a， 即BG=BE， ∴△BEG是等腰直角三角形， ∴ 即 解得BE=a . 故答案为（1）；（2）①线段的长为2；②；（3）a . 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键． 15．综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）四边形为菱形，理由见解析． 【分析】本题考查平行四边形，菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，即可． （1）根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出； （2）连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）猜测：， 证明：连接： ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）四边形为菱形，理由： ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 重难点三 直角三角形斜边上的中线性质的应用 1.核心定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。逆定理（拓展，中考常考）：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 2.学习与解题指导方法： 见直角，见中点，优先想斜边中线。 3.解题四步法：找直角：确认是否为直角三角形；找中点：找斜边中点；连中线：连接中点与直角顶点；用结论：中线 = 斜边一半，得相等线段、等腰三角形 4.综合题常用思路：和中位线一起考：双中点模型；和矩形折叠一起考：折叠后直角+中点；和特殊平行四边形一起考：对角线转化 记忆口诀：直角三角有中线，斜边一半记心间。 一点分斜成两段，等距三顶点相连。 见直角，遇中点，斜边中线立刻现； 线段等，角度等，等腰三角形出现。 16．如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质．关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再结合垂直的性质逐步计算角度． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵是边上的中线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在中，； ∴； 故选：A． 17．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 18．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，推出，然后利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 19．如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 20．如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，由等腰三角形的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 21．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 【答案】64 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 22．如图，在四边形中， (1)求证：四边形是矩形； (2)E是上一点，F是的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）直接根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴． 23．如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 重难点四 中点四边形问题 1.必备核心基础知识：定义 顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形，叫做中点四边形； 2.必备理论依据：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 这是所有中点四边形结论的根本，必须先让学生推导理解，而非死记。； 3.核心结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； 4.学习方法与步骤：画出任意四边形⇒连接各边中点⇒连接原四边形对角线⇒利用中位线定理证明对边平行且相等⇒得出是平行四边形，目的：理解本质，不混淆结论。 速记口诀： 中点四边形看对角，相等变菱垂直矩，等垂合一正方形。 24．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故选：A． 25．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A．互相平分 B．相等且互相平分 C．互相垂直平分 D．互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理结合，推出四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得出结果． 【详解】解：由题意和三角形的中位线定理可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的对角线互相垂直平分； 故选C． 26．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据菱形和矩形的判定定理，解答即可． 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 27．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 28．如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 29．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，若四边形是菱形，则四边形的对角线和需要满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查的是补充条件使四边形为菱形，考查了三角形中位线的性质，先证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，逆推． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当，则四边形是菱形， ∴， ∴当时，四边形是菱形． 故答案为： 30．已知如图，在四边形中，，分别是的中点，则______    【答案】 【分析】根据中位线的知识，可证四边形是菱形，，，，在中，根据勾股定理得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，谅解，与交于点，    ∵分别是的中点， ∴在中，，， 同理，在中，，， 在中，，， 在中，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查中位线，菱形的综合，掌握中位线的性质，菱形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 31．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表： 四边形ABCD 菱形 矩形 正方形 平行四边形EFGH 【答案】(1)见解析 (2)矩形，菱形，正方形 【分析】（1）连接BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH和FG为中位线，根据中位线的性质即可求证． （2）由（1），根据矩形，菱形，正方形的判定即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接BD， ∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH//BD，EH＝BD， 同理FG//BD，FG＝BD， ∴EH//FG，且EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． （2）连接AC，BD，如图所示： 当四边形ABCD是菱形时， ∴AC⊥BD， ∵FG//BD，EH//FG， ∴EH⊥EF， ∴平行四边形EFGH是矩形， 当四边形ABCD是矩形时， AC=BD，则EH=EF， ∴平行四边形ABCD是菱形， 当四边形ABCD是正方形时，AC=BD且AC⊥BD，则EH=EF且EH⊥EF， ∴平行四边形EFGH是正方形， 故答案为：矩形，菱形，正方形． 【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟练掌握其各判定定理是解题的关键． 32．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 重难点五 特殊四边形中的阴影面积问题 1. 必备核心解题思想：转化思想：不规则→规则，未知→已知；整体减空白：总面积 − 空白面积；割补法：割成几块求和，或补成大图形再减；对称/平移/旋转：利用特殊四边形对称性移动阴影； 2. 常用解题方法：方法1：整体减空白法（最常用），2：割补法（分割/拼接），方法3：利用对称性法（正方形、菱形、矩形必考），方法4：等积变形法（平行线间等高） ， 方法5：公式直接法 记忆口诀： 阴影面积不用慌，先看规则再思量。 整体减去空白面，割补拼接变简单。 对称平分是关键，等积变形等高算。 公式牢记心中装，步骤规范得分强。 33．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 34．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：矩形的对角线将矩形分割成面积相等的四部分，如图，因为△DOF和△EOB是全等三角形，将△DOF切割到△EOB与△AOE合并成△AOB，刚好占了该矩形面积的，所以P落在阴影部分的概率是. 考点：矩形的性质和事件概率 点评：该题主要考查学生对矩形相关性质的掌握，同时考查对事件发生的概率的计算． 35．如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_________. 【答案】4 【分析】根据平行四边形的性质求出AD=BC，DC=AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是4，求出AC×AE=8，即可求出阴影部分的面积． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，DC=AB， ∵在△ADC和△CBA中 ， ∴△ADC≌△CBA， ∵△ACD的面积为4， ∴△ABC的面积是4， 即AC×AE=4， AC×AE=8， ∴阴影部分的面积是8﹣4=4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用面积公式进行计算的能力，题型较好，难度适中． 36．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的_____． 【答案】 【详解】试题分析：将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，阴影部分恰是正方形B的，阴影部分面积是正方形A面积的，即；将正方形A与B按图2放置，则阴影部分正方形A的，所以阴影部分面积是正方形B面积的= 考点：正方形 点评：本题考查正方形，解答本题的关键是要求考生对正方形的性质要熟悉，然后找出阴影部分与正方形的关系 37．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 38．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】5 【分析】如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等，因此阴影部分就转化成了小正方形的一半，且阴影部分的面积已知，据此即可求出小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等． ∴ 【点睛】本题考查等底等高的三角形面积相等，解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于小正方形的面积的一半． 39．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 40．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是；不是；（2）是，理由详见解析；（2）81608 【分析】（1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用平方差公式计算，即可得到；两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3）利用阴影部分面积为，进而求得答案即可． 【详解】解：（1）∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； （2）结论：两个连续奇数构造的奇特数是的倍数 理由：∵ ∴两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3） 【点睛】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式：，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． 重难点六 动点问题 1.核心解题思想：化动为静：把运动中的点，固定在某一位置来分析；分类讨论：位置不同、形状不同、角度不同分情况；方程思想：用含时间 t 的式子表示线段长度 4. 数形结合：画图→标线段→列等式；转化思想：动点问题→特殊四边形判定/等腰/直角问题； 2.解题方法：第一步：设未知数表示线段，通常设运动时间为 t，用t表示：表示出相关线段长度，确定 t 的取值范围；第二步：抓不变量 ，平行、垂直、角相等、对角线性质 、 图形固有对称性、边长、高；第三步：分类讨论定形状 根据要求（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰、直角）列出判定条件对应的等式；第四步：解方程+检验 - 解方程求 t - 检验 t 是否在取值范围内。 速记口诀：动点问题并不难，化动为静是关键。 设时表线找范围，分类讨论不重漏。 平行对边等或平，矩形加直对角线。 菱形邻边要相等，正方两者都具备。 方程求解别忘验，规范作答得分全。 41．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 42．如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3t=t；当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3t-3=t；解方程即可． 【详解】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3-3t=t， 解得t=； 当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3t-3=t， 解得t=， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选择判定方法，合理分类是解题的关键． 43．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 44．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF，若四边形AEFD为菱形，则t的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】利用t分别表示出CD和AE的长，根据四边形AEFD为菱形可得AD=AE，列方程求出t值即可. 【详解】∵点D和点E的速度分别为4cm/s和2cm/s， ∴CD=4t，AE=2t， ∵四边形AEFD为菱形， ∴AD=AE，即60-4t=2t， 解得：t=10， 故选C. 【点睛】本题考查菱形的性质，用t分别表示出CD和AE的长并熟练掌握菱形的四条边都相等的性质是解题关键. 45．如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①BP为底边时；②BP为腰长时；③PC为底，B为顶点时；从而进一步得出答案即可. 【详解】①BP为腰长时，符合点E的位置有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P； ②BP为底边，C为顶点时，符合点E的位置有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P； ③PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点. 综上所述，点E位置共4个. 故选A. 【点睛】本题主要考查了四边形动点问题与等腰三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 46．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 47．如图，、是直线上的两个定点，点、在直线上运动（点在点的左侧），．已知，连接、、，把沿折叠得．当、两点重合时，______；当、两点不重合时，若直线与距离为．若以、、、为顶点的四边形是矩形，______． 【答案】 6 ，， 【分析】当A1与 D重合时， 由CD=AB，CD∥AB，可得四边形ABDC为平行四边形，由AD⊥BC，可证四边形ABDC为菱形即可；当、两点不重合时，过B作BE⊥CD与E，分三种情况，情况一：点A1在直线b上，利用勾股定理；情况二：点A1在直线的上方，在Rt△OBE中则，，情况三：点A1在直线的上方，在Rt△OBE中则，即可． 【详解】当A1与 D重合时， ∵CD=AB，CD∥AB， ∴四边形ABDC为平行四边形， 又∵点A与点A1关于BC对称（点A1与点D重合） ∴AD⊥BC， ∴四边形ABDC为菱形， 所以AC=AB=6cm; 当、两点不重合时，过B作BE⊥CD与E， 情况一：点A1在直线b上，矩形 ∴CB⊥AB， 在Rt△ABC中，， 则； 情况二：点A1在直线的上方，矩形， ，，在Rt△OBE中 则， ∴， 情况三：点A1在直线的上方，矩形， ，，在Rt△OBE中 则， ， ∴AC的长为或或． 故答案为或或． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，点到直线距离，轴对称性质，掌握菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，点到直线距离，轴对称性质是解题关键． 48．如图，在平行四边形中，点在上，，点是的中点，若点以1厘米/秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2厘米/秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到停止运动，点也同时停止运动，当点运动时间是_____秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】3或 【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠FBD=∠CBD， ∴∠FBD=∠FDB， ∴FB=FD=11cm， ∵AF=5cm， ∴AD=16cm， ∵点E是BC的中点， ∴CE=BC=AD=8cm， 要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可， 设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况：①当点Q在EC上时，根据PF=EQ可得: 5-t=8-2t， 解得：t=3； ②当Q在BE上时，根据PF=QE可得：5-t=2t-8， 解得：t=． 所以，t的值为：t=3或t=． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 49．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 50．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 51．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 重难点七 最值问题 1.核心解题思想：对称思想：利用特殊四边形的轴对称/中心对称转化线段；化曲为直：折线段和 → 直线段（两点之间线段最短）；垂线段最短：点到直线的距离最短；三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2.四大核心模型：模型1：将军饮马（求线段和最小值），适用场景：在直线上找一点，使到两定点距离和最小；模型2：垂线段最短（求单线段最小值），适用：点在直线上运动，求该点到定点距离最小；模型3：三角形三边关系（线段差最大值）。 3.特殊四边形常用性质：中心对称：过对称中心直线平分周长与面积；轴对称：矩形2条、菱形2条、正方形4条对称轴；对角线性质：矩形对角线相等，菱形对角线垂直平分，平行线间距离处处相等（等积转化） 4.解题方法：定模型：识别是和最小、差最大、垂线段；找对称：利用四边形对称性作对称点；化直路：折线变直线，确定最短路径；算长度：勾股定理、相似、面积法求长度 速记口诀：最值问题找模型，对称转化最常用。 将军饮马作对称，两点之间直线定。 单段最短看垂线，三边关系差最大。 范围检验不能少，规范书写得分高。 52．如图，菱形ABCD的边长是4cm，且∠ABC＝60°，E是BC中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（　　）cm． A．2 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作点E关于直线BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P，则CE1的长即为PE＋PC的最小值，由菱形的性质可知，E1为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得△BCE1是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE1的长，继而可得出结论． 【详解】解：如图所示：作点E关于直线BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P，则CE1的长即为PE＋PC的最小值 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD是∠ABC的平分线， ∴E1在AB上， 由图形对称的性质可知， BE＝BE1＝BC＝×4＝2， ∵BE＝BE1＝BC， ∴△BCE1是直角三角形， ∴CE1＝==， ∴PE＋PC的最小值是， 故选：B 【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称-最短路线问题，利用了角平分线的性质和直角三角形的判定及勾股定理，掌握确定最短路线的方法是解题的关键． 53．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 54．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，掌握通过中位线将线段长度转化，结合动点位置求最值是解题的关键． 利用三角形中位线定理将转化为，通过分析的最大值来确定的最大值，结合勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当最大时，最大． 当点与点重合时，最大，此时， 线段长度的最大值为3． 故选：C． 55．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：    由对称性可得， ， 当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小． ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线． 56．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 57．如图，在中，，，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________． 【答案】2 【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，根据直角三角形勾股定理即可求解． 【详解】解：如图 ∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，又AB=AC=4 ∴OC=OA=AC=2 当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小． ∵OD⊥BA，∠BAC=45°， ∴∠AOD=45° ∴△ADO为等腰直角三角形 在Rt△ADO由勾股定理可知 OD= AO= ∴DE=2OD=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE最小值的条件是关键． 58．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 59．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $