微专题04 动点问题与方程的应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

微专题04 动点问题与方程的应用 题型1 数轴上的动点问题​ 题型特征：动点在数轴上运动，涉及距离计算、相遇/追及、中点问题等，要求用含时间变量的代数式表示动点位置，通过方程求解特定条件下的时间或位置。 核心考点： 1. 数轴上两点间距离公式：（为点A、B对应的数）； 2. 动点位置表示：设运动时间为t秒，向右运动为“＋”，向左为“－”，则动点P的位置为（为初始位置，v为速度）； 3. 相遇条件：两动点位置相等（）；追及条件：两动点位置相等且速度满足“快追慢”。 1．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为秒．当线段的长为4个单位长度时，的值为_____． 【答案】6或10 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程的应用．根据题意可知当运动时间为t秒时，点M表示的数为，列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点M从点A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度， ∴当运动时间为t秒时，点M表示的数为， ∵， 则， 即或， 解得：或，即t的值为6或10． 故答案为：6或10． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，当运动时间为t秒时，点M与点B相距4个单位，则t的值为_________ ． 【答案】6或10 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程的应用． 根据题意可知当运动时间为t秒时，点M表示的数为，列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点M从点A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度， ∴当运动时间为t秒时，点M表示的数为， ∵点M与点B相距4个单位， ， 即或， 解得：或， 即t的值为6或10． 故答案为：6或10． 3．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 4．（25-26七年级上·山东滨州·期末）【知识关联】如图1，若数轴上点表示的数为，点表示的数为，则：①数轴上，两点的中点表示的数为；②，两点间的距离可表示为． 【问题呈现】如图2，已知数轴上点表示的数为1，点表示的数为4，点位于原点的左侧，且．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）． (1)【知识技能】数轴上点表示的数为______，点表示的数为______（用含的代数式表示）． (2)【数学理解】设点是的中点，点是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长度． (3)【深入探究】动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若，，三点同时出发，在运动过程中，当为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等？ 【答案】(1)； (2)线段的长度不发生变化，其值为5 (3)t的值为1或5 【分析】（1）设点C表示的数为x，根据，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出点C表示的数，根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，结合M是的中点，N是的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点C表示的数为x， 根据题意得：， 解得：， 数轴上点C表示的数为， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为． 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：t的值为1或． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点在数轴上表示的数分别是和，两动点同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿往返运动，回到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为． (1)当点到达点时，求点所表示的数是 _； (2)当时，求线段的长； (3)为何值时，两点重合； (4)当点从点向点运动时，用含的式子表示点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)或秒 (4)当时，距离为；当时，距离为． 【分析】（）根据两点之间的距离公式，两动点同时出发，根据时间路程速度，路程速度时间，列式计算即可求解； （）求出时，点的坐标，再根据两点间的距离公式可求线段的长； （）分两种情况讨论可求解； （）分两种情况讨论可求线段的长. 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵点在数轴上表示的数是， ∴， 故点所表示的数是； （2）解：时，的位置：，的位置：， ∴线段的长：； （3）解：分情况讨论：     ①从运动（）：位置，位置，     重合时，解得秒．         ②从运动（）：位置， 位置（到达的时间为秒，故）， 重合时，解得秒．   综上，或秒． （4）解：当从运动（），位置，位置， 距离．                当时，距离为；                 当时，距离为． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在数轴上点表示的数为20，点表示的数为，点是数轴原点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，向数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，向点运动，到达点后立即按原速返回向数轴的正方向匀速运动，设运动时间为秒，根据以上情景回答下列问题： (1)线段的长为__________，的长为__________，点所表示的数__________（用含的式子表示）； (2)当为何值时，点P，Q重合？ (3)当点P，Q之间的距离是3时，求出点表示的数？ 【答案】(1)；； (2)当或27时，点重合 (3)当点之间的距离是3时，点Q表示的数是4或0或14或26 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出点表示的数是解题关键． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）分两种情况：当到达点之前，当到达点之后，分别列出方程，求解即可； （3）分四种情况：当点Q到达点B之前，点P、Q相遇之前时；当点Q到达点B之前，点P、Q相遇之后时；当点Q到达点B之后，点Q追上点P之前时；当点Q到达点B之后，点Q追上点P之后时；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示的数为20，点表示的数为， ∴； ∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，向数轴的正方向匀速运动， ∴；点所表示的数为； （2）解：当到达点之前，， 解得：； 当到达点之后，， 解得：； 答：当或27时，点重合； （3）解：当点Q到达点B之前，点P、Q相遇之前时： ， 解得：， 此时点表示的数是4； 当点Q到达点B之前，点P、Q相遇之后时： ， 解得：， 此时Q表示的数是0； 当点Q到达点B之后，点Q追上点P之前时： ， 解得：， 此时Q表示的数是14； 当点Q到达点B之后，点Q追上点P之后时： ， 解得：， 此时Q表示的数是26； 答：当点之间的距离是3时，点Q表示的数是4或0或14或26． 题型2 几何图形中的动点问题​ 题型特征：动点在几何图形（如线段、矩形、三角形）上运动，涉及线段长度变化、面积计算、特殊图形判定（如平行四边形、等腰三角形）等，要求通过方程求解动点位置或时间。 核心考点： 1. 线段中点公式：若M为AB中点，则； 2. 面积计算：利用图形面积公式（如矩形面积＝长×宽、三角形面积＝×底×高），通过动点位置表示面积，建立方程； 3. 特殊图形判定：如平行四边形对边相等、等腰三角形两腰相等，通过动点位置满足的条件列方程。 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是长方形，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动．，两点同时出发，其中一点到达点后，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当点在上运动时， ①用含的代数式表示：________，________； ②当为何值时，？ (2)当点在上运动，为何值时，，两点间的距离是？ 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】本题考查涉及一元一次方程解决动点问题的应用，关键是根据动点的运动时间和速度表示出各线段的长度，再根据等量关系列方程求解． （1）①根据“路程速度时间”直接表示的长度，再用的长度减去的长度得到的长度；②先表示出的长度，再根据列一元一次方程求解； （2）当点在上时，先分别表示出、距离点的线段长度，分在左侧和在右侧两种情况，根据列方程求解，注意验证解是否在取值范围内． 【详解】（1）①解：∵动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴； ∵，动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴， ； 故答案为：，； ②解：当点在上时，， ，解得； （2）解：当点在上运动时，，，，分两种情况： 情况一：点在点左侧，此时， ，解得，符合题意； 情况二：点在点右侧，此时， ，解得，符合题意； 答：当或时，，两点间的距离是． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）【背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则A，B两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空： ①线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________；点表示的数为________． （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）当________秒时，P、Q两点相距5个单位长度． 【知识迁移】 （4）如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________． 【答案】（1）①；②，；（2）线段的长度不变，线段的长为5；（3）或；（4）5或23 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，用数轴上的点表示有理数，列代数式，角平分线的定义，动点问题（一元一次方程的应用）等知识点，应该认真审题并仔细观察图形是解题的关键． （1）①利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含t的代数式表示出点，表示的数； （2）当运动时间为t秒时，用t表示出点表示的数，用t表示出点表示的数，结合“点M为的中点，点为的中点”，可得出点M表示的数，点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）由（2）知点表示的数，点表示的数为，根据P、Q两点相距5个单位长度，建立方程求解即可； （4）分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到x的值． 【详解】解：（1）①线段的中点表示的数为， 故答案为：3； ②t秒后，点表示的数，点表示的数为， 故答案为：，； （2）当运动时间为t秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点M为的中点，点为的中点， ∴点M表示的数为， 点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． （3）由（2）知点表示的数，点表示的数为， 则，即， ∴或， 解得或； 故答案为：或； （4）∵， ∴， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ∴； ∴x的值为5或23． 故答案为：5或23． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）已知 M，N 两点在数轴上所表示的数分别为 m，n，且 m，n 满足． (1)______， ______； (2)有一个玩具火车如图1所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右平移，当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m． ①玩具火车的长为______个单位长度； ②将玩具火车沿数轴左右平移，当时，直接写出此时点A所表示的数：______； ③当玩具火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，设运动时间为t秒，是否存在常数k，使得的值与运动时间t无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；5 (2)①4；②或；③存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是24 【分析】本题考查数轴上的动点问题、整式的加减及一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示相关点所表示的数． （1）由绝对值，偶次方的非负性可得答案； （2）①求出，根据当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m，知，即玩具火车的长为4个单位长度； ②设A表示的数为x，则B表示的数为，可得，即可解得答案； ③求出A表示的数为，B表示的数1，根据已知可得，,故然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：；5； （2）由（1）可知：， 由题意可得：， 玩具火车的长为4个单位长度； 故答案为：4； ②设A表示的数为x，则B表示的数为， ， ， ， 解得：或； 表示的数为或； 故答案为：或； ③存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，理由如下： 由（2）①知A表示的数为，B表示的数为， 由题意可得：表示的数为，表示的数为, 点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， 表示的数为，Q表示的数为, ，, ， 若的值与它们的运动时间t无关，则， 解得，此时， 存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是24． 4．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______． (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止，设运动时间为秒，若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线同时出发，当到达后立即按原速度绕点顺时针旋转，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的4倍，请直接写出所有符合题意的的值． 【答案】(1)3 (2)或 (3)9或或18或或 【分析】本题考查了角的有关计算，非负数的性质，线段的有关计算． （1）根据非负数的性质得到的值，进而根据线段中点的定义作答即可； （2）运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，求出，，根据分情况列方程求解即可； （3）根据角平分线的定义得到，可知在到达时刚好返回到达，分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 即点表示的数是， 故答案为：； （2）解：运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为， 则，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或； （3）解：∵，平分 ∴ ∴运动时间为，到达时 ∵经过转过的角度为= ∴在到达时刚好返回到达 ①时，， 当时， 则或 解得：或； 当时， 则或 解得：或； ②时，， 当时， 解得：（舍） 当时， 解得：； 综上：t的值为9或或18或或． 5．（25-26七年级上·山东青岛·月考）已知：线段． (1)如图1，点沿线段自点向点以运动，同时点沿线段自点向点以运动，问经过几秒后、相遇？ (2)在（1）的条件下，几秒钟后，、相距？ (3)如图2，，，点绕点以度秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点运动，假若、两点能相遇，点的运动速度_______． (4)在（3）的条件下，同时点以的速度沿射线方向运动，此时点的运动速度为____． 【答案】(1)经过秒钟后、相遇 (2)经过秒钟或秒钟后，、相距 (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据相遇问题中的等量关系列方程求解即可； （2）分相遇前相距和相遇后相距，分别列方程求解即可； （3）由于点P，Q只能在直线上相遇，所以可先求出点P两次旋转到直线上的时间，然后分别列出方程求解即可； （4）设点的运动速度为，分相遇在点的右侧及相遇在点的左侧两种情况，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设经过t秒后P、Q相遇， 由题意得：， 解得， 答：经过秒钟后P、Q相遇； （2）解：设经过x秒P、Q相距， 当相遇前相距时， 由题意得， 解得：， 当相遇后相距时， 由题意得：， 解得：， 答：经过秒钟或秒钟后，P、Q相距； （3）解：设点Q运动的速度为， ∵点P，Q只能在直线上相遇， ∴点P第一次旋转到直线上的时间为：， 若此时相遇，则， 解得：， 点P第二次旋转到直线上的时间为：， 若此时相遇，则， 解得，              故答案为：或 （4）解：设点的运动速度为， 当相遇在点的右侧时， ， 解得： 当相遇在点O的左侧时， 解得： ∴点的运动速度为或． 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先理解题意，得出，，，，结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，故当时，点表示的数为数轴的原点；结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，当点到达点时，；依题意，，即当点到达点时，，再进行讨论，得出点M和点N相遇只可能在之间，再设未知数以及列方程，分别算出当时，点M表示的数为，当时，即点M表示的数为，当时， 即点M表示的数为27，然后算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点表示12，点表示24，点表示36，表示， ∴，，，， ∵ 点表示36，点的初始速度是6个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍， ∴， 即当时，点表示的数为数轴的原点； 故①符合题意； ∵点初始速度是3个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度． ∴ , 即当点到达点时，； 故②符合题意； 依题意， , 即当点到达点时，， 故③不符合题意； 依题意，点M到达点的时间是 点M到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 故点M和点N相遇只可能在之间， 设相遇时间为 点M在线段上的速度是， 则点M表示的数为， 点N在线段 上的速度是， 则， 故， 解得， 即运动过程中，点和点在线段上相遇，且相遇时间为， 故④符合题意； 依题意，当时，， 即点M表示的数为， 则， ∵， 由②得当点到达点时，； 依题意，， 即当时，点M表示的数为27， 则， 故⑤不符合题意；即结论正确的有3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的几何问题，数轴上两点的距离，在数轴上表示有理数，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型3 实际场景中的动点问题​ 题型特征：动点问题与实际生活场景结合（如行程问题、工程问题、销售问题），要求通过方程解决实际问题，注重“数形结合”与“实际应用”的融合。 核心考点： 1. 行程问题：路程＝速度×时间（相遇问题：；追及问题：）； 2. 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间（通常设总工作量为1）； 3. 销售问题：利润＝售价－进价（利润率＝利润÷进价×100%）。 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）我国“歼-20”战斗机最大速度可达2．8马赫（1马赫＝340米/秒），则“歼-20”战斗机飞行多少分钟能到达相距8000公里的目标区域？设飞行分钟能到达目标，可列方程为________． 【答案】 【分析】需要将速度、路程、时间的单位统一后，根据“路程速度时间”的基本公式列出方程． 【详解】解：根据“路程速度时间”的等量关系，可列方程： ． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）我国“型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫米／秒），则“型”导弹飞行多少分钟能打击到9000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可列方程为__________. 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，熟练掌握速度计算公式，是解题的关键．根据路程速度时间的关系，结合单位换算（1马赫米/秒，1分钟秒，1公里米）列方程． 【详解】解：导弹速度为26马赫，即米/秒； 设飞行时间为分钟，即秒；目标距离为9000公里，即米． 由路程速度时间，得：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）爱国和拥军登一座山．爱国平均每分钟登高15米，先出发，拥军平均每分钟登高20米，两人同时登上山顶．设爱国登山用了． (1)如何用的代数式表示拥军登山的时间？ (2)用方程求的值，由值能求出山高吗？如果能，山高是多少米？ 【答案】(1)或 (2)能求出，，山的高度为1200米 【分析】（1）根据山高除以登山速度得到拥军登山的时间，或者根据拥军登山时间比爱国登山时间少列出式子； （2）根据（1）中拥军登山的时间列出方程，求出x，即可求出山高． 【详解】（1）解：山高为， ∵拥军平均每分钟登高20米， ∴拥军登山的时间为． 或者∵爱国先出发，两人同时登上山顶， ∴拥军登山的时间为． （2）解：由（1）可得， 解得， ∴山高． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）以下是两张不同类型火车的车票： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向__________，出发时刻__________（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)相同，不同 (2)动车的平均速度为，高铁的平均速度为 【分析】本题考查的是一元一次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键； （1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同，但出发时间分别是与，所以出发时刻不同； （2）设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为，而两车同时到达终点，于是可列方程，解方程即可求出高铁和动车的平均速度． 【详解】（1）解：车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同； 两车出发时间分别是与，所以出发时刻不同； 故答案为：相同，不同． （2）解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为 由题意得： 解得，， ， 答：动车的平均速度为，高铁的平均速度为． 5．（25-26七年级上·山东济宁·期末）综合与实践 阅读下面素材 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽约1.2米，直道长约为85米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径约为36米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离内突沿外沿0.3米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.2米处计算．例如： 第一分道米； 第二分道米 第三分道米 第四分道米， …… 根据以上素材，解决问题（1）（2）（，计算结果精确到0.1） （1）甲同学计算的第五分道___________米； （2）乙同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，求第二道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸多少米？ 拓展应用 （3）暑假某一天，甲与乙两同学晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，甲同学以6米/秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步．乙同学沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，他的平均速度是甲同学平均速度的，求经过多长时间两人第一次相遇（第一分道实跑线长度取400米）． 【答案】（1）427.5；（2）第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸6.9米；（3）第一次相遇的时间为50秒 【分析】本题主要考查列代数式的实际应用，一元一次方程的实际应用， （1）根据前面得出的规律，第n分道的长度米，把代入计算即可； （2）分别计算出第2道和第1道的长度，再做差计算出第2道比第1道长的距离，再把代入计算即可； （3）设他们从开始到第一次相遇用时为t秒，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据前面得出的规律，第n分道的长度， ∴第五分道； （2）第2道和第1道的长度分别为： 第1道米． 第2道米． ∴ ． ． 答：第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸6.9米； （3）由题意得，乙同学的平均速度是（米/秒）． 设他们从开始到第一次相遇用时为t秒． 从开始到第一次相遇，他们一共所跑路程为400米， 所以， 解得． 答：第一次相遇的时间为50秒． 6．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图1，数轴上有两个点，表示的数分别是， （1）点到两点的距离相等，点表示的数为_____； （2）若动点分别从点，点出发，以每秒5个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向右匀速运动，设运动时间为秒．当点重合时，求的值； [方法迁移]如图2，平分．现有射线分别从同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，经过几秒后，射线的夹角首次为？ [生活运用]如图3，周末的下午，小明看到钟面显示3点整，经过_____分钟时，分针与时针的夹角为（时间不超过4点）． 【答案】（1） （2） [方法迁移]经过后，射线的夹角首次为 [生活运用]经过10分钟或分钟时，分针与时针的夹角为 【分析】本题主要考查数轴、角度、钟面角中速度与路程的关系，理解题意，找出数量关系是关键． （1）根据中点的计算方法求解即可； （2）用含t的式子表示出点P，Q的数，结合点重合，列式求解即可； [方法迁移]根据数量关系列方程求解即可； [生活运用]根据题意，分针每分钟走，时针每分钟走，结合分针、时针的速度，分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， ∴， ， 解得， 所以，t的值为3； [方法迁移]夹角首次为，即与在相遇之前， 平分， ， 设经过秒后，射线的夹角为， ， 解得： 所以，经过后，射线的夹角首次为． [生活运用]分针每分钟走，时针每分钟走， ∴小明看到钟面显示3点整时，时针与分针的夹角为， 设经过分钟后，分针与时针的夹角为， 当分针与时针相遇前，， 解得，； 当分针与时针相遇后，， 解得，，此时，时针走了，即时间不超过4点，符合题意； 综上所述，经过10分钟或分钟时，分针与时针的夹角为． 题型4 动点与方程的综合应用​ 题型特征：动点问题与方程的其他知识点结合，要求通过方程解决动点问题中的参数或解的问题，注重“综合应用”与“思维拓展”。 核心考点： 1. 已知方程的解求参数：将解代入含参数的方程，求参数； 2. 新定义问题：根据题目定义的新运算或概念，转化为方程求解； 3. 参数求解：通过动点问题的条件，建立关于参数的方程，求解参数。 1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）定义：在数轴上，若点到定点，的距离之和恰好等于（为常数，），即，则称点是点和点的级平衡点．例如，数轴上点表示的数为，点表示的数为2，若点表示的数为1时，则有，即点是点和点的4级平衡点． 【概念学习】 （1）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点是点和点的级平衡点； ①若点表示的数为1，则______； ②若，则在，，三个数中，可以表示点的数是______； 【初步认知】 （2）在数轴上，点表示的数为4，点表示的数为，若点是点和点的8级平衡点，求点表示的数； 【综合运用】 （3）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为5，点表示的数为10，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动的时间为秒．在运动过程中，当点是点和点的9级平衡点，且点是点和点的7级平衡点时，求运动时间的值． 【答案】（1）①；② （2）点表示的数为或 （3）运动时间的值为或 【分析】（1）①直接根据“级平衡点”的定义，计算两点距离之和即可得到的值； ②设点的坐标为，根据定义列出绝对值方程，将，，三个数依次代入验证即可． （2）设点的坐标为，根据定义列出绝对值方程，分区间讨论求解绝对值方程，得到点的坐标． （3）先表示出运动时间秒后点、的坐标，再根据“级平衡点”的定义分别列出点、满足的方程，先分析点的方程得到的取值范围，再结合该范围对的方程分区间讨论求解，得到运动时间的值． 【详解】解：（1）①∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵点是点和点的级平衡点， ∴． ②设点表示的数为， ∵点是点和点的级平衡点， ∴． 将，，三个数依次代入， 当时，=，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件． 因此，在、、三个数中，只有满足方程，即可以表示点的数是． （2）设点表示的数为， ∵点是点和点的级平衡点，点表示的数为，点表示的数为， ∴． 当时，方程化为， 即，解得，符合的条件； 当时，方程化为， ∵，∴此区间无解； 当时，方程化为， 即，解得，符合的条件． ∴点表示的数为或； （3）∵点从点出发，速度为每秒个单位长度向右运动， ∴点表示的数为； ∵点从点出发，速度为每秒个单位长度向左运动， ∴点表示的数为， ∴()，， ∵点是点和点的级平衡点，∴． 当时，，则，等式恒成立； 当时，，则，解得，与矛盾，舍去． ∴． ∵点是点和点的级平衡点，，， ∴． 当时，，，方程化为， 即，解得，符合的条件； 当时，，，方程化为， 即，解得，不符合的条件，舍去； 当时，，，方程化为， 即，解得，符合的条件． ∴运动时间的值为或． 【点睛】本题整体考查数轴上两点间距离的计算(绝对值的几何意义)、绝对值方程的求解、动点问题的坐标表示，以及分类讨论思想的应用． 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． (2)①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． (3)已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）根据“k倍对称点”的定义，先确定点A的“1倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公式计算其与点B的距离． （2）①根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M表示的数；②先求出点M的“2倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6列方程求解． （3）先根据定义分别表示出点、点表示的数，再根据点到原点的距离等于到点的距离列方程，分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，根据“1倍对称点”的定义，点A的“1倍对称点”到原点的距离是，且与点A在原点的两侧， ∴点的“1倍对称点”表示的数是． ∵点B表示的数为， ∴点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是． （2）解：①∵点M从点A（表示的数为）出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒， ∴点M表示的数是． ②设点M的“2倍对称点”为点． 点M表示的数是，则点M到原点的距离为． ∵点是点M的“2倍对称点”，且、在原点两侧， ∴点表示的数为． ∵点到点A的距离是， ∴，即． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． ∴当为或时，点的“2倍对称点”到点的距离是6个单位长度； （3）解：由题意可得点表示的数为． ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为； ∵与在原点两侧，的绝对值为， ∴的绝对值为， ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为， ∴点到原点的距离为，点到点的距离为． 由， 分情况讨论： 当时，两边同时除以，得． （无解）或，解得． 当时，即，解得，此时点在原点，点也在原点，点也在原点，点到原点的距离为，到点的距离也为，符合条件． 综上，或． 3．（25-26七年级上·重庆万州·月考）我们规定将数轴上某一点P表示的数记为x，对于数轴上不同的四个点A，B，C，D，若有，其中k为有理数，则称A、C两点是B、D两点的“k倍搭档点”．如图，已知在数轴上，原点为O，点M，点N表示的数分别为，．    (1)若点，N是O、E两点的“3倍搭档点”，则是_； (2)若点A表示数，点B表示数是6，点N、M是A、B两点的“k倍搭档点”，试求k的值； (3)点O、K是点M、N的“倍搭档点”，动点Q从点K出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点L从点N出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当Q、L、M、N四点中其中两点是另外两点的“1倍搭档点”时，请求出点Q、点L表示的数． 【答案】(1)2 (2) (3)①Q表示的数为，L表示的数为；②Q表示的数为，L表示的数为；③Q表示的数为，L表示的数为 【分析】（1）按照题目中公式列方程求解即可． （2）将两点和两点代入公式求解即可． （3）先求出K的值，“1倍搭档点”即代表线段相等，分类讨论列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意可列方程：， ， 解得． （2）根据题意可列方程：， ， 解得：． （3）根据题意可列方程：， ， 解得：， 设运动时长为t， ，， 当其中两点为另外两点的1倍搭档点时，两条线段长度相等， ①当Q在M左侧，且时， ， 解得， 此时Q表示的数为，L表示的数为； ②当Q在M左侧，且时， ， 解得， 此时Q表示的数为，L表示的数为； ③当Q在M右侧，且时， ， 解得， 此时Q表示的数为，L表示的数为； ④当Q在M右侧，且时， ， 解得或， 此时Q表示的数为，L表示的数为或Q表示的数为，L表示的数为； 综上所述：①Q表示的数为，L表示的数为；②Q表示的数为，L表示的数为；③Q表示的数为，L表示的数为． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的新定义问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程，根据题意正确分类讨论思考动点的不同位置是解决问题的关键． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． (2)①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． (3)已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②或； (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴上的点的运动、两点间距离公式以及新定义“k倍对称点”的理解与应用，熟练掌握新定义的内涵、数轴上点的表示方法和方程的求解是解题的关键． （1）根据“k倍对称点”的定义，先确定点A的“1倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公式计算其与点B的距离． （2）①根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M表示的数；②先求出点M的“2倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6列方程求解． （3）先根据定义分别表示出点、点表示的数，再根据点到原点的距离等于到点的距离列方程，分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，根据“1倍对称点”的定义，点A的“1倍对称点”到原点的距离是，且与点A在原点的两侧， ∴点的“1倍对称点”表示的数是． ∵点B表示的数为， ∴点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是． （2）解：①∵点M从点A（表示的数为）出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒， ∴点M表示的数是． ②设点M的“2倍对称点”为点． 点M表示的数是，则点M到原点的距离为． ∵点是点M的“2倍对称点”，且、在原点两侧， ∴点表示的数为． ∵点到点A的距离是， ∴，即． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． ∴当为或时，点的“2倍对称点”到点的距离是6个单位长度； （3）解：由题意可得点表示的数为． ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为； ∵与在原点两侧，的绝对值为， ∴的绝对值为， ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为， ∴点到原点的距离为，点到点的距离为． 由， 分情况讨论： 当时，两边同时除以，得． （无解）或，解得． 当时，即，解得，此时点在原点，点也在原点，点也在原点，点到原点的距离为，到点的距离也为，符合条件． 综上，或． 5．（24-25七年级上·江西赣州·期中）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是有序点对的好点． 【问题解决】 （1）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．因为点到点的距离是2，点到点的距离是1，所以点是有序点对的好点，但点不是有序点对的好点，同理可以判断：点______有序点对的好点，点______有序点对的好点（填“是”或“不是”）． 【学以致用】 （2）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为5，若点是有序点对的好点，写出点在数轴上所表示的数并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到点停止运动．假设运动时间为秒，当点，中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求出此时的值． 【答案】（1）不是，是；（2）3或11，理由见解析；（3）为5秒，10秒，7.5秒 【分析】（）根据定义发现：好点表示的数到中，到前面的点的距离是到后面的数的距离的倍，从而得到结论； （）点到点的距离为，分类讨论即可； （）由好点的定义可知：点在点，之间，点在点，之间分情况讨论即可； 本题主要考查了数轴和数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想的应用是解题的关键． 【详解】解：（1）因为数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 所以，， 所以点不是有序点对的好点，点是有序点对的好点， 故答案为：不是，是； （2）设点在数轴上代表的数为； 当点在点和点之间时，有，， 因为点是有序点对的好点，所以， 即解得； 当点在点的右边时，，， 因为点是有序点对的好点，所以， 即解得； 综上所述：当点代表的数为3或11时，点是有序点对的好点； （3）因为点的速度为秒个单位，时间为， 所以，，， 当点为有序点对的好点时，则有， 所以解得秒； 当点为有序点对的好点时，则有， 所以解得； 当点为有序点对的好点时，则有， 所以解得； 当点为有序点对的好点时，则有， 所以解得； 答：当为秒或秒或秒时，，，中恰有一个点为其余两有序点对的好点． 6．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为，则称点为点的“倍位移点”（）．例如，当时，若点表示的数为1，则它的“2倍位移点”对应点表示的数为6． (1)若点表示的数为，则它的“3倍位移点”对应点表示的数为　　　； (2)若点的“4倍位移点”表示的数是8，则点表示的数为　　　； (3)若点的“倍位移点”为点，数轴上点一定在点的右侧，这种说法一定成立吗？请说出你的想法． (4)已知数轴上点表示的数为5，点表示的数为．若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动．点的“倍位移点”，若在任何一个时刻，与两点之间的距离均为定值，请直接写出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)不一定，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了在数轴上表示数及数轴上动点之间的距离，关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题． （1）根据“3倍位移点”的定义进行解答即可； （2）设B表示的数为x，利用“倍位移点”的定义列出方程即可解决问题； （3）利用“倍位移点”的定义举例说明即可； （4）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“倍位移点”的定义列出P，Q的距离，再根据k的取值与t无关即可确定对应的k的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴它的“3倍位移点”对应点表示的数为， 故答案为：； （2）解：设B表示的数为x， 根据题意得，， 解得，， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）解：若点的“倍位移点”为点，数轴上点一定在点的右侧，此说法不一定成立， 比如，当点C都应的数为时，则对应的数为， 所以，点在点的左侧， 因此，点的“倍位移点”为点，数轴上点不一定在点的右侧． （4）解：设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∴点的“倍位移点”为， ∴， ∵与两点之间的距离均为定值， ∴， 解得：， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题04动点问题与方程的应用 数轴上的动点问题 几何图形中的动点问题 动点问题与方程的应用 实际场景中的动点问题 动点与方程的综合应用 常点型功 题型1数轴上的动点问题 妹方法 题型特征：动点在数轴上运动，涉及距离计算、相遇/追及、中点问题等，要求用含时间变量的代数式表示 动点位置，通过方程求解特定条件下的时间或位置。 核心考点： 1.数轴上两点间距离公式：AB=x4-xa(xAxa为点A、B对应的数)： 2.动点位置表示：设运动时间为t秒，向右运动为“十”，向左为“一”，则动点P的位置为xp=x,+ (x为初始位置，v为速度)； 3.相遇条件：两动点位置相等（x=x)；追及条件：两动点位置相等且速度满足“快追慢”。 1.(25-26七年级上山东德州期末)如图，在数轴上点A表示的数为-6，点B表示的数为10，点M从点 A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒.当线段BM的长为4个 单位长度时，t的值为 0 B 2.(25-26七年级上山东德州期末)如图，在数轴上点A表示的数为-6，点B表示的数为10，点M从点 A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，当运动时间为t秒时，点M与点B相距4 个单位，则t的值为 A B 3.(25-26七年级下山东青岛开学考试)如图，已知数轴上点A表示的数为30，点B表示的数为-10，点 P从点B出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点？从点A出发，以每秒5个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为t秒(1≥0). 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中 A -10 0 30 (1)A,B两点间的距离为 ,点P表示的数是，点Q表示的数是 ；(用含t的代数式表 示) (2)当点P和Q相距5个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若点M为AP的中点，BP=3AP,求此时点M表示的数. 4.(25-26七年级上·山东滨州期末)【知识关联】如图1，若数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b, 则：①数轴上A,B两点的中点M表示的数为+也， 2 ;②A,B两点间的距离AB可表示为 AB=b-a=a-b. a b 图1 【问题呈现】如图2，己知数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为4，点C位于原点O的左侧，且 AC=7.动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为s (t>0). C 图2 (I)【知识技能】数轴上点C表示的数为，点P表示的数为 (用含t的代数式表示). (2)【数学理解】设点M是BP的中点，点N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MW的长度是否发 生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长度. (3)【深入探究】动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点C出 发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若P,Q,R三点同时出发，在运动过程中，当 t为何值时，点P到点R的距离与点P到点Q的距离相等？ 5.(25-26七年级上山东临沂·期末)如图，点A,B,C在数轴上表示的数分别是-3,3和1，两动点P,2同时 出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A→B→A往返运动，回到点A停止运动；动点Q 从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动，设点P的运动时间为(s). B -5-4-3-2-1012345 (1)当点P到达点B时，求点？所表示的数是； (2)当t=0.5时，求线段P0的长； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)t为何值时，PQ两点重合： (4)当点P从点A向点B运动时，用含t的式子表示点P,Q之间的距离. 6.(25-26七年级上山东青岛期末)如图，在数轴上点A表示的数为20，点B表示的数为-7，点0是数轴 原点.点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，向数轴的正方向匀速运动；同时点Q从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度，向点B运动，到达点B后立即按原速返回向数轴的正方向匀速运动，设运 动时间为t秒，根据以上情景回答下列问题： B A (1)线段AB的长为 ,BP的长为 ,点P所表示的数 (用含的式子表示)： (2)当t为何值时，点P,Q重合？ (3)当点P,Q之间的距离是3时，求出点Q表示的数？ 题型2几何图形中的动点问题 嫦方法 题型特征：动点在几何图形（如线段、矩形、三角形)上运动，涉及线段长度变化、面积计算、特殊图形 判定（如平行四边形、等腰三角形）等，要求通过方程求解动点位置或时间。 核心考点： 1. 线段中点公式：若M为AB中点，则xw=+; 2 2. 面积计算：利用图形面积公式（如矩形面积=长×宽、三角形面积=×底×高），通过动点位置表示 面积，建立方程； 3. 特殊图形判定：如平行四边形对边相等、等腰三角形两腰相等，通过动点位置满足的条件列方程。 1.(25-26七年级上·山东青岛期末)如图，四边形ABCD是长方形，AB=4cm,BC=8cm,动点P从点 A出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C向点C匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1cm的速度沿 BC向点C匀速运动.P,Q两点同时出发，其中一点到达点C后，另一点也随之停止运动，设运动时 间为t秒0<1<6). A D P B→0 备用图 (1)当点P在AB上运动时， ①用含t的代数式表示：AP= OC= 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当t为何值时，BP=BQ? (2)当点P在BC上运动，t为何值时，P,Q两点间的距离是1cm? 2.(25-26七年级上山东临沂期末)【背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美 地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为Q、b,则A,B两 息之间的距离AB=口-6.线段B的中点表示的数为；6， 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位 长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设 运动时间为t秒(t>0). A -2 0 P -2 备用图 【综合运用】 (1)填空： ①线段AB的中点表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 (2)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长， (3)当t= 秒时，P、9两点相距5个单位长度. 【知识迁移】 (4)如图，点0在直线AB上，过0作射线0C，∠B0C=100°，一直角三角板的直角顶点与点0重合， 边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方.若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中，第x秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC,则x的值为 A A（ 3.(25-26七年级上山东青岛期末)已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足 m+7+(n-5)2=0. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M W M N m A BO n m A BO n 图1 备用图 (1)m=,n= (2)有一个玩具火车AB如图1所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右平移，当点A移动到点B时，点B 所对应的数为n,当点B移动到点A时，点A所对应的数为m. ①玩具火车的长为个单位长度； ②将玩具火车沿数轴左右平移，当MA:BN=1:3时，直接写出此时点A所表示的数： ③当玩具火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1 个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车AB运动后对应的位置为AB',设运动时间为t秒， 是否存在常数k,使得3PQ+k·AB的值与运动时间t无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在， 请说明理由. 4.(25-26七年级上·山东济南期末)如图1，数轴上的点A表示的数为a,点B表示的数为b,且 a+4+(b-10)=0.点C是线段AB的中点. B B 图1 图2 (1)点C表示的数是 (2)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M,N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止， 设运动时间为t秒，若在运动过程中，存在CM=3CN,请求出t的值. (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，∠A0B=60°，OC平分∠AOB.射线0M从OA出 发，以每秒2°的速度绕点O顺时针旋转，射线0ON从OB出发，以每秒3°的速度绕点0逆时针旋转，射 线0M,ON同时出发，当ON到达OA后立即按原速度绕点O顺时针旋转，当OM到达OB时，运动同时 停止.设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得∠C0M和∠CON两个角中，其中一个 角是另一个角的4倍，请直接写出所有符合题意的t的值， 5.(25-26七年级上山东青岛月考)已知：线段AB=60cm. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 备用图 图2 备用图 (1)如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cms运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以3cms运动， 问经过几秒后P、Q相遇？ (2)在(1)的条件下，几秒钟后，P、Q相距15cm? (3)如图2，A0=P0=7cm,∠P0B=40°，点P绕点0以10度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点 Q沿直线BA自点B向点A运动，假若P、Q两点能相遇，点Q的运动速度 _cm /s (4)在(3)的条件下，同时点0以1cm/s的速度沿射线OB方向运动，此时点Q的运动速度为cm/s. 6.(25-26七年级上山东济南期末)如图，将一条数轴在原点0，点B,点C处折一下，得到一条“折线数 轴”.图中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好 距离”为45个单位长度，并表示为AD=45.点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点D,点N从点D 出发沿着“折线数轴”运动至点A,两点同时出发.点M，N的初始速度分别是3个单位长度/秒和6个 单位长度/秒，点M和点N运动到折线时速度发生变化，“上坡时速度为初始速度的号下坡时速度为 初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度.一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间 为tt>0)秒，有下列结论： B 12 A→MO C 9 N←D→ 0 24 36 ①当t=9时，点N表示的数为数轴的原点； ②当点M到达点D时，1=21； ③当点N到达点A时，1=11； ④运动过程中，点M和点N在线段OB上相遇： ⑤当1=11或18时，MB+MC=16· 以上结论正确的有() 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型3实际场景中的动点问题 煤方法 题型特征：动点问题与实际生活场景结合（如行程问题、工程问题、销售问题），要求通过方程解决实际问 题，注重“数形结合”与“实际应用”的融合。 核心考点： 1. 行程问题：路程=速度×时间（相遇问题：S+S,=总路程；追及问题：s-S2=追及路程）； 2. 工程问题：工作量=工作效率×工作时间（通常设总工作量为1）： 3. 销售问题：利润=售价一进价（利润率=利润÷进价×100%）。 1.(25-26七年级上·山东临沂·期末)我国“歼-20”战斗机最大速度可达2.8马赫(1马赫=340米/秒)，则“歼 -20”战斗机飞行多少分钟能到达相距8000公里的目标区域？设飞行t分钟能到达目标，可列方程为 2.(25-26七年级上山东临沂·期末)我国“DF-41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫(1马赫 =340米/秒)，则“DF-41型”导弹飞行多少分钟能打击到9000公里处的月标？设飞行t分钟能打击到 目标，可列方程为 3.(25-26七年级上·山东滨州期末)爱国和拥军登一座山.爱国平均每分钟登高15米，先出发20mi,拥 军平均每分钟登高20米，两人同时登上山顶.设爱国登山用了· (1)如何用x的代数式表示拥军登山的时间？ (②)用方程求x的值，由x值能求出山高吗？如果能，山高是多少米？ 4.(25-26七年级上山东青岛期末)以下是两张不同类型火车的车票： 国GXXXX 计划14天后出发) 国DXXXX 计划14天后出发〉 12:00 12月26日（周四）】 16:00 回回 10:00 12月26日（周四） 16:00 部 A地 历时4小时 B地 A地 历时6小时 B地 检票口：11A、11B 检票口：11A、11B 座位号：06车02B二等座 座位号：06车02B二等座 合租车·约车 (且订酒店》 色订餐 局租车·约车 (B订酒店 色订餐 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向 ，出发时刻 (填“相同”或“不同”)； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快100kmh，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达 终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级上山东济宁期末)综合与实践 阅读下面素材 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯 道组成，有8条跑道，每条跑道宽约1.2米，直道长约为85米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最 内圈边线)弯道半径为35.0米到38.0米之间. 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径约为36米的标 准跑道（如图).按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离内突沿外沿0.3 米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.2米处计算.例如： 第一分道C,=[2π(36+0.3)+85×2]米 第二分道C2=2π(36+1.2+0.2)+85×2米 第三分道C,=[2π(36+2×1.2+0.2)+85x2]米 第四分道C4=「2π(36+3×1.2+0.2)+85×2米， … 根据以上素材，解决问题(1)(2)（π≈3.14，计算结果精确到0.1） 85米 起跑线 (1)甲同学计算的第五分道C≈ 米： (2)乙同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，求第二道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向 前延伸多少米？ 拓展应用 (3)暑假某一天，甲与乙两同学晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，甲同学以6米/ 秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步.乙同学沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，他的平均速度 是甲同学平均速度的号求经过多长时何两人第一次相通（第一分道实线长度取400米）。 6.(25-26七年级上山东聊城期末)如图1，数轴上有两个点A,B,表示的数分别是-7，-1， 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 1098765432101234 图1 ○ 6 图2 图3 (1)点C到A,B两点的距离相等，点C表示的数为 (2)若动点P,Q分别从点A,点B出发，以每秒5个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向右匀 速运动，设运动时间为t秒.当点P,Q重合时，求t的值； [方法迁移]如图2，∠AOB=150°，OC平分∠A0B.现有射线0P,0Q分别从OC,OB同时出发，以每秒 15°和每秒10°的速度绕点0顺时针旋转，经过几秒后，射线0P,0Q的夹角首次为20°？ [生活运用]如图3，周末的下午，小明看到钟面显示3点整，经过分钟时，分针与时针的夹角为 35°（时间不超过4点）. 题型4动点与方程的综合应用 啸方法 题型特征：动点问题与方程的其他知识点结合，要求通过方程解决动点问题中的参数或解的问题，注重“综 合应用”与“思维拓展”。 核心考点： 1. 己知方程的解求参数：将解代入含参数的方程，求参数； 2. 新定义问题：根据题目定义的新运算或概念，转化为方程求解； 3.参数求解：通过动点问题的条件，建立关于参数的方程，求解参数。 1.(25-26七年级上·辽宁丹东·期末)定义：在数轴上，若点P到定点A,B的距离之和恰好等于k(k为常 数，k>0),即PA+PB=k,则称点P是点A和点B的k级平衡点.例如，数轴上点A表示的数为-2， 点B表示的数为2，若点P表示的数为1时，则有PA+PB1-(-2)川+|2-1=3+1=4，即点P是点A和 点B的4级平衡点. 【概念学习】 (1)在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为2，点P是点A和点B的k级平衡点； ①若点P表示的数为1，则k=; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若k=6,则在-3.5,0,3.5三个数中，可以表示点P的数是； 【初步认知】 (2)在数轴上，点A表示的数为4，点B表示的数为-2，若点P是点A和点B的8级平衡点，求点P表 示的数： 【综合运用】 (3)在数轴上，点A表示的数为-4，点B表示的数为5，点C表示的数为10，点P从点A出发，以每 秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点C出发，以每秒2单位长度的速度沿数轴向左运 动.设运动的时间为t秒(t>O).在运动过程中，当点P是点A和点B的9级平衡点，且点Q是点P和点 B的7级平衡点时，求运动时间t的值。 2.(25-26七年级上陕西渭南期末)定义：对于数轴上一点P和一个非零常数k,若存在点Q,使得点Q到 原点的距离是点P到原点距离的k倍，且P、Q两点在原点两侧，我们就称点Q是点P的“k倍对称点”.特 别地，我们规定原点的k倍对称点”为原点.例如，数轴上表示-1的点的“3倍对称点”为表示3的点，表 示2的点的“4倍对称点”为表示-8的点. 已知数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为6，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数 轴正方向运动，设运动时间为t秒1≥0). A O B (1)点A的1倍对称点”表示的数是 ；点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是 (2)①点M表示的数是 (用含t的代数式表示). ②当t为何值时，点M的“2倍对称点”到点A的距离是6个单位长度. (3)已知点Q为点M的“k倍对称点”，点N为点Q的1倍对称点”，那么在点M运动过程中，是否存在某 个t或k的值，使得点N到原点的距离恰好等于它到点M的距离？若存在，求t或k的值；若不存在，请 说明理由， 3.(25-26七年级上·重庆万州月考)我们规定将数轴上某一点P表示的数记为x,对于数轴上不同的四个 点A,B,C,D,若有x4-xc=k(xg-xo),其中k为有理数，则称A、C两点是B、D两点的“k倍搭档 点”.如图，已知在数轴上，原点为O,点M,点N表示的数分别为xw=-2,xw=4. M 上上 -7-6-5-4-3-2-101234567 (1)若点M,N是O、E两点的3倍搭档点”，则x是； (2)若点A表示数-6，点B表示数是6，点N、M是A、B两点的“k倍搭档点”，试求k的值；