精品解析：浙江省杭州市第十一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025学年第一学期高一年级期末考试数学学科问卷 时长：120分钟 满分：150分 命题人：徐苗 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可解得结果. 【详解】由函数有意义，得解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解. 【详解】的否定是，的否定是， 故“，”的否定是“，”， 故选：D 3. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 4. 已知函数，则该函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助零点的存在性定理计算即可得. 【详解】易知函数在上单调递增， 又， ， ， 故零点所在区间为. 故选：B. 5. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. －1 B. －1或3 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案. 【详解】由题意知：，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递减，不合题意; 当时，，则在上单调递增，符合题意, ∴, 故选：C 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，，故. 7. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴的性质，结合正弦型函数的周期公式、对称性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以该函数的最小正周期为， 又因为，所以有，即， 因为该函数关于点对称， 所以， 因为， 所以令， 故选：B 8. 已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值． 【详解】解：对任意，，，2，3，，， 都有， 要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点， 考虑，， 按下图取值即可满足条件， 的最小值为8． 故选：． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义可判断C选项；由终边角的概念即可判断D选项． 【详解】解：对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，角的终边在第二象限，即， 不妨取，则角不一定为钝角，D错． 10. 规定：．函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 的定义域为R B. 的最大值为 C. 的单调递增区间为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数定义，作出函数图象即可得出选项. 【详解】由得，， 作出函数大致图象如图所示： 所以的定义域为R，的单调递增区间为，的最大值为， . 故选：ABD 11. 已知函数定义域为R，则（ ） A. 若，，则在上单调递增 B. 若，，，则是偶函数 C. 若，，，则是周期函数 D. 若，，，，则函数在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，可判断A；用偶函数定义判断B；用周期函数的定义判断C；用单调性定义判断D. 【详解】A：令，满足， 但，在上不是增函数，A错误； B：令，则， 所以，所以是偶函数，B正确； C：若，，， 则， 即，则是周期函数，C正确； ，因为在上单调递减，所以， 所以， 则， ，即在上单调递减， D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数过定点求解. 【详解】解：由， 令，得， 所以函数（且）的图象恒过定点， 故答案为： 13. 已知，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意对分类讨论，并通过数形结合即可得解. 【详解】题分析：令，已知函数， 依题意与图象有2个不同的交点． 当时，与图象有1个交点，不符合题意． 当时，函数与的图象如图所示， 两个函数图象始终有2个交点，所以，符合题意． 当时，函数与的图象如图所示， 因为，， 所以，，解得， 所以，． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在讨论当时，通过画图得出，由此即可顺利得解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，，用a，b表示； （3）已知，求的值. 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及根式的运算法则计算； （2）将已知指数式化成对数式，再利用对数的运算性质计算； （3）利用，将已知式化成齐次式化简可得. 【详解】（1）因为，， ，， 所以. （2）因为，，所以. 所以. （3）因为，， 所以. 16. 已知集合，. （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据题意，， 或， 若，则，得， 此时或，满足； 【小问2详解】 因为， 又， 则，得， 所以实数m的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，代入求值即可； （2）结合三角函数的单调性进行求解即可； （3）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解． 【小问1详解】 化简得， . 【小问2详解】 令，解得， 故函数的单调增区间为. 【小问3详解】 函数的图象向右平移个单位的图象， 即， 令，得， 或，， 解得或，， ，故当时，或， 即方程在区间上所有根之和为. 18. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求的值. （2）存在，使成立. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意由求. （2）（ⅰ）利用函数的单调性和奇偶性，转化为求复合函数的值域. （ⅱ）利用参变分离法，求解恒成立问题. 【小问1详解】 因为为定义在上的奇函数， 则有，即，解得， 此时，则，所以为奇函数， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知， 而为上的增函数，所以为上的减函数. 由，且为奇函数， 可得， 则有，整理得. 因为，所以当时，， 当时，，所以. （ⅱ）由，整理得. 因为，则设，而函数 在时，， 而恒成立，即，所以. 19. 已知函数，. （1）当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） （2）若函数在为增函数，求实数t的取值范围； （3）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）上的增函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【小问1详解】 当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； 【小问2详解】 设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. 【小问3详解】 ∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一年级期末考试数学学科问卷 时长：120分钟 满分：150分 命题人：徐苗 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 6 D. 4. 已知函数，则该函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. －1 B. －1或3 C. 3 D. 2 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角的终边在第二象限，则角是钝角 10. 规定：．函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 的定义域为R B. 的最大值为 C. 的单调递增区间为 D. 11. 已知函数定义域为R，则（ ） A. 若，，则在上单调递增 B. 若，，，则是偶函数 C. 若，，，则是周期函数 D. 若，，，，则函数在上单调递减 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点______． 13. 已知，则___________ 14. 已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，，用a，b表示； （3）已知，求的值. 16. 已知集合，. （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 已知函数. （1）求； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 18. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求的值. （2）存在，使成立. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，. （1）当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） （2）若函数在为增函数，求实数t的取值范围； （3）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $