精品解析：浙江省杭州第二中学东河校2025-2026学年高一上学期期末数学试题

杭州二中2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试题B卷 命题 郑蓉蓉 陈诚 校对 朱俊杰 审核 傅海婷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，类试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A ， B. C. ， D. ， 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A B. C. D. 6. 幂函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有迭错的得0分. 9. 若实数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的最小正周期为 D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 11. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 13. ______. 14. 已知函数（e为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16 已知. （1）化简函数； （2）若，均为锐角，且，，求和的值. 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递减区间； （2）若图象向右平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的值域； （3）求方程的所有解的和. 19. 已知，分别为定义在R上的奇函数与偶函数，且满足. （1）求的值： （2）求和； （3）定义，，记其值域为. （ⅰ）若存在正整数n，使得对任意恒成立，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求n的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试题B卷 命题 郑蓉蓉 陈诚 校对 朱俊杰 审核 傅海婷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，类试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定为，. 故选：C. 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的终边的定义进行计算即可. 【详解】因为角的终边过点，则. 故选：B. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理计算即可. 【详解】由， 在 上均递减， 所以在上递减，又，，所以零点所在区间为. 故选：C． 4. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律即可得解. 【详解】由，可得. 因为二次函数在上单调递减， 在上单调递增， 故由复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D. 6. 幂函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出，再代入检验其是否为偶函数即可. 【详解】由题意可知，，得或， 若，则，是偶函数，符合题意， 若，则，是奇函数，不符合题意， 故. 故选：C 7. 函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的零点性质，确定的取值范围，进而求出结果. 【详解】因为，所以. 因为函数在上恰有两个零点，而零点为. 所以在这个区间内，的取值范围应该满足. 解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有迭错的得0分. 9. 若实数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的最小正周期为 D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，，解得， 函数的周期， 解得，则，由，得， 而，则，解得，A错误； 因此， 对于B，，B正确； 对于C，如下图：的最小正周期为，C正确； 对于D，，， 由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，D正确； 故选：BCD 11. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，所以扇形面积是. 13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 14. 已知函数（e为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数变形为，进而可判断奇偶性，并结合复合函数的性质可得函数的单调性，从而用函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】由 ， 所以，且函数的定义域为R，所以函数为偶函数. 令，则函数在R上单调递增且， 因对勾函数在单调递减，在上单调递增， 所以单调递减，在上单调递增， 所以在单调递减，在上单调递增. 又因为，且函数为偶函数，所以， 因为在上单调递增，所以，即，解得或. 所以实数取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入，分别化简集合，再求即可； （2）问题等价于：，可先分别化简集合，再根据列出端点值满足的不等式组，求解即可. 【小问1详解】 因为，所以或， 又因为， 所以或. 【小问2详解】 化简得，. 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以或，可解得或， 所以实数a的取值范围是. 16. 已知. （1）化简函数； （2）若，均为锐角，且，，求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由诱导公式即可直接化简； （2）可通过正弦二倍角公式及弦化切求解，由结合诱导公式及两角和的正弦公式可求解. 【小问1详解】 因为，，， ，， 所以 【小问2详解】 由（1）及得：，即 则 因为是锐角，由，解得：， 又是锐角，，故， 故， 则 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解． （2）根据函数单调性的定义进行证明即可． （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【小问1详解】 由为定义在上奇函数，可知，解得．则， ，故． 【小问2详解】 由单调递增可知在上为减函数，证明如下： 对于任意实数，，不妨设， 递增，且，，，， 故在上为减函数． 【小问3详解】 由为奇函数得：，等价于． 又由在上为减函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，取得最大值．，解得， 的取值范围是． 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递减区间； （2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的值域； （3）求方程的所有解的和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简，由周期求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）求出平移后的解析式，由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质求出函数的值域； （3）首先分析关于对称，也关于对称，画出函数图象，确定交点个数，即可求出方程的解的和. 【小问1详解】 因为， 又函数的最小正周期为且， 所以，解得，所以， 令，解得， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度得到， 又，则，所以， 所以，即在区间上的值域为； 【小问3详解】 因为，所以，所以关于对称； 又过点，即也关于对称； 令，解得，令，解得， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下： 方程解，即与的交点的横坐标， 由图可知与共有个交点，且一个交点横坐标为，另外三对交点分别关于点对称， 所以方程的所有解的和为. 19. 已知，分别为定义在R上的奇函数与偶函数，且满足. （1）求的值： （2）求和； （3）定义，，记其值域为. （ⅰ）若存在正整数n，使得对任意的恒成立，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求n的最小值. 【答案】（1）； （2）,； （3）(i)；(ii). 【解析】 【分析】（1）令，由是奇函数可知，即可得解； （2）由和差化积公式对原式进行化简，再利用与的奇偶性，即可得解； （3）（ⅰ）先取，求得的范围，再证明与，对任意正整数，不等式不成立即可； （ⅱ）由的连续性及周期性，可知其值域为闭区间，再计算最大值与最小值，由可知，解不等式得，再验证与时是否符合题意即可判断. 【小问1详解】 因为为定义在R上的奇函数，故. 令，则， 化简得，故. 【小问2详解】 由和差化积公式可得：， 所以 ①， 又因为， 即 ②， 由①式②式可得：， 即，解得； 由①式②式可：， 即，解得. 综上，，. 【小问3详解】 （i）不等式对任意恒成立，且存在正整数使之成立. 考虑，则， 不等式化为， 令，则需对任意恒成立. 当时，不等式成立， 当时，设，该一次函数恒成立， 需要两端恒成立即可：，即或， 结合，所以当时，的取值范围是. 下证若，则对任意正整数，不等式不成立. 若，取，此时， 则或， 当为偶数时，，代入不等式得，即，与矛盾； 当为奇数时，，代入不等式得，即，与矛盾. 若，取，此时，则，代入不等式得，即，与矛盾. 因此，只有当时，存在使不等式恒成立， 故实数的取值范围为. (ii)为的值域.由的连续性及周期性，可知值域为闭区间. 计算最大值与最小值： 令， 则. 最大值：由，且在约束下，当时，达到最大， 故. 最小值当为偶数时，，由均值不等式及得，当时取等， 故：当为奇数时，可取，得. 所以， 要求，即需.解不等式， 可得， 计算得：， 所以. 当时，，且为偶数，，故， 存在使，当时，，不满足. 因此，的最小值为22. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $