第20章勾股定理 同步基础达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》同步基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点坐标为，则线段的长为（    ） A． B． C．13 D．5 3．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 4．如图中字母所代表的正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在动画片《猫和老鼠》中，汤姆猫追逐杰瑞鼠，杰瑞鼠跑到了一个直角三角形的房间角落．已知两直角边分别为3米和4米，汤姆猫想直接斜穿过去截住杰瑞鼠，它需要跑多远？（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 7．如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 8．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若a，12，13是一组勾股数，则__________． 10．在中，，若，则______． 11．中，，，，则的面积为__________． 12．如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，，若跨度，上弦长，则中柱的长________m．    13．如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为______cm．    14．如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为____________． 15．如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是_______________．    16．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 三、解答题（满分72分） 17．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 18．如图，是等边三角形，，求高的长和的面积． 19．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    20．如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？    21．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 22．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 23．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 参考答案 1．B 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，符合题意； C、∵， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】根据勾股定理直接列式计算即可．本题考查的是已知两点坐标求解线段的长，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 【详解】解：∵点坐标为，，， ∴， 故选B 3．C 【分析】本题考查勾股定理，由直角三角形的周长和斜边长可得两直角边之和，结合勾股定理和完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理． 根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图：由勾股定理得， ∴， ∴字母所代表的正方形的面积为， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理，直接利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】解：， 汤姆猫想直接斜穿过去截住杰瑞鼠，它需要跑5米， 故选：C． 7．C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，米，米， ∴（米）， 故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 9．5 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 10． 【分析】利用勾股定理得，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键． 11． 【分析】由勾股定理解得的长，再结合直角三角形面积公式解题即可． 【详解】解：如图，    在中， ，，， 由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查用勾股定理解直角三角形，涉及三角形面积公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．6 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：6． 13． 【分析】由的直角三角形的特点可得，根据可得，进一步根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了的直角三角形、勾股定理等．推出是解题关键． 14．5 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理得出，再求出，再计算面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为 故答案为：5． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 故答案为：． 16． 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性． （1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， 18．，的面积是 【分析】利用等边三角形三线合一，进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是的高，， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形三线合一，是解题的关键． 19．够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 20．米． 【分析】先在中，利用勾股定理出的长，再根据线段的和差可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，    由题意得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：梯子的底端将向右滑动米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 21．（1）是，见解析；（2）千米 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 22．绳索的长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 设，则， 在中，，，，， 由勾股定理得， 即， 解得， 故绳索的长为． 23．（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 学科网（北京）股份有限公司 $