2026年中考数学一轮复习讲义 专题20解直角三角形及其应用 (全国通用)

专题20解直角三角形及其应用 【模块一 锐角三角函数】.................................................4 【题型01 锐角三角函数的定义及求值】.....................................4 【题型02 特殊角的三角函数】.............................................5 【题型03 由三角函数值求锐角】...........................................6 【题型04 利用三角函数求直角三角形边长】.................................6 【题型05 锐角三角函数与最值问题】.......................................7 【题型06 网格/坐标系中的三角函数求值】..................................8 【题型07 解直角三角形的相关计算】......................................10 【题型08 翻折问题中的三角函数应用】....................................11 【模块二 解直角三角形的应用】..........................................12 【题型09 根据三角函数解决仰角俯角问题】................................12 【题型10 根据三角函数解决方位角问题】..................................13 【题型11 根据三角函数解决坡度坡比问题】................................14 【题型12 根据三角函数解决实际场景抽象几何问题】........................15 【模块三 解直角三角形的中考高频模型】..................................17 【题型13 单直角三角形模型】............................................17 【题型14 双直角三角形模型】............................................18 【题型15 斜三角形化直角模型】..........................................19 【题型16 一线三等角模型】..............................................20 【题型17 母子型模型】..................................................21 【模块四 与锐角三角函数有关的综合应用】................................23 【题型18 锐角三角函数与四边形的综合应用】..............................23 【题型19 圆背景下的三角函数综合问题】..................................24 ● 分值占比：解直角三角形及其应用是中考核心必考板块，总分值约 8–12 分，覆盖选择、填空、解答（实际应用大题）三种题型，是区分度较高的得分关键板块。 ● 常考考点：聚焦锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形（已知两边 / 一边一角）、三大实际应用模型（仰角俯角、方位角、坡度坡角）、三大几何模型（背靠背型、子母型、拥抱型），以及与四边形、圆、二次函数的综合运用。 ● 命题趋势：基础题侧重三角函数定义与直接解直角三角形，中档题侧重实际场景抽象建模（测高、航海、堤坝等），难题多以几何综合、动点存在性、跨模块（与四边形 / 圆 / 函数）结合为主，且结合生活测量、航海、工程等实际情境的题型占比逐年提升，对建模与计算能力要求更高。 ★知识梳理★. 知识点01:核心概念与基础工具 1. 直角三角形三边关系 勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90∘，则a2+b2=c2（c为斜边，、为直角边） 2. 两锐角关系 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90∘ 3. 边角关系（锐角三角函数定义） 在Rt△ABC，∠C=90∘： 记忆口诀：正余对邻，正切对邻。 知识点02:特殊角三角函数值（必背） 知识点03:解直角三角形（核心定义 + 解题类型） 1. 定义 由直角三角形中除直角外的 2 个已知元素（至少 1 个是边），求出所有 3 个未知元素（2 个锐角、1 条边）的过程。 2、解直角三角形的三大依据 1）三边之间的关系（边→边） 勾股定理a2+b2=c2 作用：已知两条边，求第三条边。 2）两锐角之间的关系（角→角） 两锐角互余∠A+∠B=90∘作用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 3）边角之间的关系（边↔角） 锐角三角函数 sinA cosA tanA​ 作用：已知一边一角或两边，求其余边 / 角。 3.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 知识点04:实际应用模型 1. 仰角、俯角 仰角：视线向上与水平线夹角 俯角：视线向下与水平线夹角 常用：构造直角三角形，用tan求高度 / 距离。 2. 坡度、坡角, 坡度 i==tanα（h 铅直高度，l 水平宽度） 坡角 α：坡面与水平面夹角。 3. 方向角（方位角） 如：北偏东30∘、南偏西45∘ 方法：画坐标系，作垂线，构造直角三角形。 知识点05:解题通用步骤 1.画图：标出已知边、角、直角。 2.选函数： 已知 / 求：对边 + 斜边 → sin 邻边 + 斜边 → cos 对边 + 邻边 → tan 3.列方程求解。 4.检验：勾股定理、角度和验证。 知识点06:常用公式与结论 1.面积：S=ab=ch（h 斜边上的高） 2.斜边上中线：等于斜边一半 3.30∘对直角边：等于斜边一半 【模块一 锐角三角函数】 【题型1.锐角三角函数的定义及求值】 【典例】在中，，若，则_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【跟踪专练3】是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2.特殊角的三角函数】 【典例】若是锐角，，则 __________． 【跟踪专练1】下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，连接，，，．若，，则______． 【跟踪专练3】如图，点E，F分别为菱形ABCD的边AD，CD的中点，△BEF为等边三角形，BD交EF于点G，则下列结论正确的个数为（    ） ①△ABD是等边三角形；②∠ABE＝∠CBF；③AB＝BE；④△DEG∽△CBF． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3.由三角函数值求锐角】 【典例】在中，已知为锐角，，则的度数是______． 【跟踪专练1】在中，，，则（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知α为锐角，且，则α等于____． 【跟踪专练3】如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4.利用三角函数求直角三角形边长.】 【典例】在中，，则_______． 【跟踪专练1】已知，如图，中，，以为直径的交于D，的延长线交的延长线于E，，．则下列结论错误的是（   ） A． B．点C是的中点 C． D． 【跟踪专练2】如图中，，D在上，且，交于点E，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C． D． 【跟踪专练3】定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在等腰直角三角形中，，点为射线上一点，连接．若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【题型5.锐角三角函数与最值问题】 【典例】如图，在中，，点是线段上一点，满足，则的最小值为_____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，，，．以为边作等边，连接，则的最大值为 _______． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 【跟踪专练3】波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到） （参考数据：） 【题型6.网格/坐标系中的三角函数求值】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【跟踪专练1】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，则的值为________． 【跟踪专练2】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的正切值为（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练3】.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是格点，是网格线上一点（不是格点）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． (2)在图（2）中，在上画点，使． 【题型7.解直角三角形的相关计算】 【典例】如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【跟踪专练2】如图1，长、宽均为4，高为12的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为8，绕底面一棱向右旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于． (1)求证：． (2)如图2，连接，若恰好经过点． ①求的值． ②求的长． 【题型8.翻折问题中的三角函数应用】 【典例】如图，在中，．沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，连接交于点，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，D，E分别为上的点，将沿直线翻折，使得点B的对应点G恰好落在上，点C的对应点为点F，连接，若，则折痕的长为________． 【跟踪专练2】如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【模块三 解直角三角形的应用】 【题型9.根据三角函数解决仰角俯角问题】 【典例】深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为______米． 【跟踪专练1】下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【跟踪专练3】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点在同一平面内，参考数据：，，，） 【题型10.根据三角函数解决方位角问题】 【典例】如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【跟踪专练1】一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以的速度向正东航行，半小时到，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船距离是(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 【跟踪专练3】如图，，，，，分别是某公园同一平面内的五个打卡点，在的正东方向，在的正北方向，在的东北方向且在的北偏东方向，在的正南方向且在的北偏西方向．经测量，两打卡点相距200米．（参考数据：） (1)求，两打卡点之间的距离（结果保留整数） (2)若、相距100米，甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数） 【题型11.根据三角函数解决坡度坡比问题】 【典例】某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为___________米． 【跟踪专练1】为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，，在坡度（即）的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】数学活动小组欲测量山坡上一座信号塔的高度，如图，于点E．在A处测得信号塔顶端D的仰角为，沿水平地面前进47米到达B处，已知山坡坡角，米．（图中各点均在同一平面内，参考数据：，，，） (1)求的高度； (2)求信号塔的高度 【跟踪专练3】左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【题型12.根据三角函数解决实际场景抽象几何问题.】 【典例】如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车． （1）当车位宽为2.4米，车门与车身的夹角最大时，车门的外端___________车位内（填“在”或“不在”）： （2）若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，． 【跟踪专练1】某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】古希腊的埃拉托色尼发现塞恩城夏日正午地面上的石柱是没有影子的，而同一子午线上离塞恩城约h米（地表距离）的亚历山大城地面上高度为一米的石柱却有一段长度为s米的影子．如图所示，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与石柱形成的夹角．若一个锐角的正弦满足，则我们记，称为的反正弦．如．由此可以计算出地球的周长为_____米（结果用以及反正弦函数表示）． 【跟踪专练3】如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． (1)求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【模块三 解直角三角形的中考高频模型】 【题型13.单直角三角形模型】 【典例】如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ． 【跟踪专练1】某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的距离为（即），斜坡的坡度为（即），，则其上升的垂直高度为___________m． 【跟踪专练3】如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ）． A． B． C． D． 【题型14.双直角三角形模型】 【典例.】如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，D、E分别为AC、AB上的点，，连接BD，，垂足为F，则EF的长为______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ________； （2）的值为 ________． 【题型15.斜三角形化直角模型】 【典例】如图，在中、，，，则的长为_____． 【跟踪专练1】在中，，线段平分．已知，则线段的长为______． 【跟踪专练2】如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【跟踪专练3】如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【题型16.一线三等角模型】 【典例】如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 【跟踪专练1】如图，正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，于点，连接，若，则______． 【跟踪专练2】.如图，，，点D在边上（与B、C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是________． 【跟踪专练3】已知点P是正方形的边上的动点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，过点P作于P，与的延长线交于点Q，与交于点E． ①若点P恰好是的中点，则_________； ②当时，试求的大小． (2)如图2，过顶点D作于H，，点M在射线上．连接，，并取的中点N，连接，试问在点P的运动过程中，是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出其值． 【题型17.母子型模型】 【典例】如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则__________________． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的高．若，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练3】【问题背景】 如图1，在中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和三角形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于三角形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交于点F，如图3所示； ②延长交线段于点，如图4所示； 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图3，若是的中点，求证：是等边三角形； (3)如图4，若，求的值． 【模块四 与锐角三角函数有关的综合应用】 【题型18 锐角三角函数与四边形的综合应用】 【典例】如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是_____． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长是，，分别在，的延长线上，，连接，交于点，并分别与，交于点，，连接．下列结论： ；；；当时，； 其中正确结论的序号是______． 【跟踪专练3】如图，已知在四边形中，对角线和相交于点O，，，，，，． (1)求证：； (2)求的正弦值． 【题型19 圆背景下的三角函数综合问题】 【典例】如图，在中，，点D在边上，以为直径作，交的延长线于点E，连接，若切于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【跟踪专练1】如图，点，，，在上，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，以为直径的半圆O上有一点C，且，M为直径上一点，点N与点M关于对称，于点M，交的延长线于点P．已知，当与半圆O相切时，的长为______． 【跟踪专练3】综合探究 如图所示，为的直径， 为上的两点，且 为的中点，弦 相交于点． (1)求证: ； (2)若、 ，求的长 (结果用表示)； (3)过点作的切线，交的延长线于点 ，若 求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20解直角三角形及其应用 【模块一 锐角三角函数】.................................................4 【题型01 锐角三角函数的定义及求值】.....................................4 【题型02 特殊角的三角函数】.............................................7 【题型03 由三角函数值求锐角】..........................................12 【题型04 利用三角函数求直角三角形边长】................................15 【题型05 锐角三角函数与最值问题】......................................20 【题型06 网格/坐标系中的三角函数求值】.................................25 【题型07 解直角三角形的相关计算】......................................29 【题型08 翻折问题中的三角函数应用】....................................35 【模块二 解直角三角形的应用】..........................................40 【题型09 根据三角函数解决仰角俯角问题】................................40 【题型10 根据三角函数解决方位角问题】..................................44 【题型11 根据三角函数解决坡度坡比问题】................................49 【题型12 根据三角函数解决实际场景抽象几何问题】........................54 【模块三 解直角三角形的中考高频模型】..................................59 【题型13 单直角三角形模型】............................................59 【题型14 双直角三角形模型】............................................62 【题型15 斜三角形化直角模型】..........................................67 【题型16 一线三等角模型】..............................................71 【题型17 母子型模型】..................................................78 【模块四 与锐角三角函数有关的综合应用】................................84 【题型18 锐角三角函数与四边形的综合应用】..............................84 【题型19 圆背景下的三角函数综合问题】..................................90 ● 分值占比：解直角三角形及其应用是中考核心必考板块，总分值约 8–12 分，覆盖选择、填空、解答（实际应用大题）三种题型，是区分度较高的得分关键板块。 ● 常考考点：聚焦锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形（已知两边 / 一边一角）、三大实际应用模型（仰角俯角、方位角、坡度坡角）、三大几何模型（背靠背型、子母型、拥抱型），以及与四边形、圆、二次函数的综合运用。 ● 命题趋势：基础题侧重三角函数定义与直接解直角三角形，中档题侧重实际场景抽象建模（测高、航海、堤坝等），难题多以几何综合、动点存在性、跨模块（与四边形 / 圆 / 函数）结合为主，且结合生活测量、航海、工程等实际情境的题型占比逐年提升，对建模与计算能力要求更高。 ★知识梳理★. 知识点01:核心概念与基础工具 1. 直角三角形三边关系 勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90∘，则a2+b2=c2（c为斜边，、为直角边） 2. 两锐角关系 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90∘ 3. 边角关系（锐角三角函数定义） 在Rt△ABC，∠C=90∘： 记忆口诀：正余对邻，正切对邻。 知识点02:特殊角三角函数值（必背） 知识点03:解直角三角形（核心定义 + 解题类型） 1. 定义 由直角三角形中除直角外的 2 个已知元素（至少 1 个是边），求出所有 3 个未知元素（2 个锐角、1 条边）的过程。 2、解直角三角形的三大依据 1）三边之间的关系（边→边） 勾股定理a2+b2=c2 作用：已知两条边，求第三条边。 2）两锐角之间的关系（角→角） 两锐角互余∠A+∠B=90∘作用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 3）边角之间的关系（边↔角） 锐角三角函数 sinA cosA tanA​ 作用：已知一边一角或两边，求其余边 / 角。 3.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 知识点04:实际应用模型 1. 仰角、俯角 仰角：视线向上与水平线夹角 俯角：视线向下与水平线夹角 常用：构造直角三角形，用tan求高度 / 距离。 2. 坡度、坡角, 坡度 i==tanα（h 铅直高度，l 水平宽度） 坡角 α：坡面与水平面夹角。 3. 方向角（方位角） 如：北偏东30∘、南偏西45∘ 方法：画坐标系，作垂线，构造直角三角形。 知识点05:解题通用步骤 1.画图：标出已知边、角、直角。 2.选函数： 已知 / 求：对边 + 斜边 → sin 邻边 + 斜边 → cos 对边 + 邻边 → tan 3.列方程求解。 4.检验：勾股定理、角度和验证。 知识点06:常用公式与结论 1.面积：S=ab=ch（h 斜边上的高） 2.斜边上中线：等于斜边一半 3.30∘对直角边：等于斜边一半 【模块一 锐角三角函数】 【题型1.锐角三角函数的定义及求值】 【典例】在中，，若，则_____． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握余弦和正弦的定义． 先由余弦的定义得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，若， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦值，设，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ， ∴设，则：， ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 【跟踪专练3】是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明，再根据可得，设圆的半径为r，，则， ；然后由勾股定理可得，进而得到，，最后根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵点C在过点B的切线上 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 设圆的半径为r，，则， 在中， ,即，整理得： ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、正切、余弦的定义等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答本题的关键． 【题型2.特殊角的三角函数】 【典例】若是锐角，，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键． 根据 的值得出，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，连接，，，．若，，则______． 【答案】 【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据，可得为等腰直角三角形，以及可证，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程求出x、y的值，即可求得BD的值． 【详解】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E， 在中，， ， 设BE为x，DE为y， 则根据勾股定理可得：， 即：， ，， ， ， ， ，即； 根据， 解得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三角形性质以及勾股定理列出方程是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，点E，F分别为菱形ABCD的边AD，CD的中点，△BEF为等边三角形，BD交EF于点G，则下列结论正确的个数为（    ） ①△ABD是等边三角形；②∠ABE＝∠CBF；③AB＝BE；④△DEG∽△CBF． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，分别交、于点、，过点作于点；根据菱形性质，证得，从而得到、；根据三角形中位线性质，推导得；根据等边三角形和三角函数性质，计算得，从而证明△ABD是等边三角形；再根据等边三角形性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，连接，分别交、于点、，过点作于点 ∵菱形ABCD ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点E为AD的中点 ∴， ∴ ∵点E，F分别为AD，CD的中点 ∴   ∴， ∵△BEF为等边三角形 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴△ABD是等边三角形，即①正确； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴∠ABE＝∠CBF，即②正确； 又∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴，即③错误； ∵ ∴ ∴ ∵点F为CD的中点 ∴ ∵△ABD是等边三角形 ∴ 又∵ ∴，即④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形、等腰三角形、等边三角形、三角形中位线、相似三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、等边三角形、三角形中位线、相似三角形、三角函数的性质，从而完成求解． 【题型3.由三角函数值求锐角】 【典例】在中，已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】60 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，，且角A为锐角，因此角A等于． 【详解】解：∵，且在中，是锐角，， ∴． 故答案为：60． 【跟踪专练1】在中，，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据题意画出的草图，再结合，推出的度数，根据为特殊角即可求解其余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴为直角三角形，为斜边， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知α为锐角，且，则α等于____． 【答案】/40度 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点， ∵ 则四边形是正方形， ， ∴， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【题型4.利用三角函数求直角三角形边长.】 【典例】在中，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形及勾股定理的应用，关键是掌握余弦函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边与斜边的比值．先利用余弦的定义求出直角边的长度，再根据勾股定理计算出另一条直角边的长度． 【详解】解：在中，， ，， ； 根据勾股定理，； 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，如图，中，，以为直径的交于D，的延长线交的延长线于E，，．则下列结论错误的是（   ） A． B．点C是的中点 C． D． 【答案】B 【分析】根据余角的性质证明即可判断A；证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可判断B；根据，得出，证明，得出，即可判断C；根据正切函数定义求出即可判断D． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，故B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意． 【跟踪专练2】如图中，，D在上，且，交于点E，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交于点F，过点A作交于点G，根据题意证明出，得到，然后由等腰三角形三线合一性质得到，，然后得到，设，则，根据勾股定理和表示出，进而得到，，然后证明出，得到，代入得到，然后在中利用勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点F，过点A作交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，用未知数表示出各边． 【跟踪专练3】定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在等腰直角三角形中，，点为射线上一点，连接．若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点P在边上和点P在的延长线上，利用等腰直角三角形的判定和性质，结合角平分线的性质、锐角三角函数等知识分别求解即可． 【详解】解：由题意，在等腰直角三角形中，，，， 当点P在边上时， ∵是的一个外角， ∴， ∵为“反直角三角形”， ∴或， 若，则， ∴，不符合题意，舍去； 若，则， ∴，则平分， 过P作于D，如图， 则，， ∴，解得， ∴； 当点P在的延长线上时，如图，则， ∵为“反直角三角形”，， ∴或， 若，则， ∴，不符合题意，舍去； 若，则， 过B作交于D，则，，， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，满足条件的的长为或． 【题型5.锐角三角函数与最值问题】 【典例】如图，在中，，点是线段上一点，满足，则的最小值为_____． 【答案】2 【分析】作的外接圆为，得出的半径，根据主从动点，得出点的运动轨迹为圆弧，圆心为点，求出的半径，然后根据勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作的外接圆为， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，且点是线段上一点，线段中点的轨迹为圆， ∴根据主从点运动轨迹（即瓜豆原理）可得，点的运动轨迹为圆弧，圆心为点， 当为的直径时，的长度最大，值为4， 此时，的长度最大，为的直径，值为， ∴的半径为1， 当点在线段上时，的值最小， ∵为的直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为2． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，，，．以为边作等边，连接，则的最大值为 _______． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，作交的延长线于F，利用锐角三角函数、勾股定理以及三角形三边关系进行求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵为等边三角形， ∵， 如图，取的中点E，连接，作交的延长线于F， 则， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】重点掌握解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，利用全等三角形得出，得到当点共线时，的值最小，即为线段的长度，然后解直角三角形即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴ 根据翻折的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小，即为线段的长度， ∵， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练3】波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到） （参考数据：） 【答案】约 【分析】根据点的位置固定不变，可得的值最小为线段的长度，作，，利用三角函数和表示出和的长度，解得的长度，最终求得的长度． 【详解】解：如图， 连接交于点，过点 作 于点，过点作于点． 由题意可知四边形 和四边形是矩形． ∴ 由轴对称的性质可得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 在 中，， ∴ 在 中，， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ 当点运动到点处时，即三点共线时，取得最小值，即 答：连杆的最小值是． 【题型6.网格/坐标系中的三角函数求值】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理计算三边长，根据勾股定理逆定理判断，进而结合锐角三角函数的定义计算的值． 【详解】解：根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， 故答案为：2 ． 【跟踪专练1】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、勾股定理逆定理的应用，对应的是直角三角形的对边比邻边，所以只需要根据图形在的处取一点，证明是直角三角形，再求得与的比值，便可以得到的值． 【详解】解：如图，连结． 由勾股定理，得，，． ， ． 是直角三角形，且． ． 【跟踪专练2】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的正切值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由网格利用勾股定理得： 是直角三角形 故选：A. 【跟踪专练3】.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是格点，是网格线上一点（不是格点）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． (2)在图（2）中，在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格特点找到点，使得，再根据等边对等角即可得出，根据网格特点找到点，则四边形为平行四边形，故，从而可得； （2）取格点，连接、，先证明为等腰直角三角形，即，取格点、、，连接交于点，连接交于点，由网格特点可得，，，证明，得出，再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接，取格点，连接交于点， 由勾股定理可得：， ∴，即点即为所求， 由网格特点可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即点即为所求； （2）解：如图中，取格点，连接、， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， 取格点、、，连接交于点，连接交于点， 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型7.解直角三角形的相关计算】 【典例】如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 【跟踪专练1】如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，设交格点于点，连接，由题意可得，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 【跟踪专练2】如图1，长、宽均为4，高为12的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为8，绕底面一棱向右旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于点F，设，则，根据题意，得倾斜前水的体积表示为，倾斜后水的体积表示为，列方程求解即可． 【详解】解：过点C作于点F，设，则，根据题意，得倾斜前水的体积为，倾斜后水的体积为， 根据题意，得， 解得， 故， 根据勾股定理，得， 故， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于． (1)求证：． (2)如图2，连接，若恰好经过点． ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，再根据同角的余角相等得到； （2）①先求出，，再根据，得到，接着证明，则； ②由，设作于点，则，先求出，再证明，得到，代入整理得到，证明，得到，代入解得，则，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是直径， ，则， 为三角形的高， ， ； （2）解：①，， ，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 四边形内接于圆， ， ， ，且， ， 则； ②， ∴设 作于点，则， ，， ，则， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ． 【题型8.翻折问题中的三角函数应用】 【典例】如图，在中，．沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，连接交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，相似三角形的判定与性质，折叠问题；根据勾股定理得到，求出，再分别证出和，再根据相似三角形的性质计算求解即可． 【详解】解：在中： 解得， 由折叠得： ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 解得： ∴ 在中， 设 ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 即 解得： ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，D，E分别为上的点，将沿直线翻折，使得点B的对应点G恰好落在上，点C的对应点为点F，连接，若，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】题目主要考查折叠的性质，解三角形，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点D作，根据题意得出 ，，由勾股定理确定，再由正切函数确定，设，则，得出，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作，如图所示： 根据折叠得： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正切的定义及勾股定理．连接，根据折叠的性质得到，，，证明，从而得出，再由设，则，从而得到相关线段的表达式，设，则，，，利用勾股定理求得x的值，进而得到的值，最终可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 由折叠性质可知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 【模块三 解直角三角形的应用】 【题型9.根据三角函数解决仰角俯角问题】 【典例】深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为______米． 【答案】40 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键．先求出，然后在中，用正切函数列式计算即可． 【详解】解： 由题意可知 （米） 无人机从P点水平飞抵B点距离约为40米． 故答案为：40． 【跟踪专练1】下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，设旗杆的高度米，根据解直角三角形表示出，的长，根据即可列出方程． 【详解】解：设旗杆的高度米， ∵， ∴在中，（米）， ∵， ∴在中，（米）， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】灯管D距地面的高度约为 【分析】过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 【跟踪专练3】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 【题型10.根据三角函数解决方位角问题】 【典例】如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以的速度向正东航行，半小时到，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船距离是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确画出图形、准确标注方向角、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．作于，根据题意标注方向角，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的概念进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，， ， ∵， ， ， ， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，，，，分别是某公园同一平面内的五个打卡点，在的正东方向，在的正北方向，在的东北方向且在的北偏东方向，在的正南方向且在的北偏西方向．经测量，两打卡点相距200米．（参考数据：） (1)求，两打卡点之间的距离（结果保留整数） (2)若、相距100米，甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)甲距离处米时，甲乙两人恰好相距100米 【分析】（1）如图，过点作交于点F，过点作于点，由题意得到，，米，则，，再根据三角函数得到米，米； （2）延长交于点，先得到四边形是正方形，（米），（米），即可得到米，再由甲的速度与乙的速度之比为，设甲的路程为，乙的路程为，最后根据甲乙两人恰好相距100米时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点F，过点作于点， ∵在的东北方向且在的北偏东方向，经测量，两打卡点相距200米， ∴，，米， ∴，， ∴，， ∴（米），（米）； （2）解：延长交于点， 由题意可得，，米，，， ∴四边形是矩形， 由（1）可得，， ∴，（米）， ∴四边形是正方形，（米）， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∵甲的速度与乙的速度之比为， ∴甲的路程与乙的路程之比为， 设甲的路程为，乙的路程为，此时甲在处，乙在处，过点作于点， ∵甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵甲乙两人恰好相距100米， ∴米， ∵， ∴， 整理得 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴甲距离处米时，甲乙两人恰好相距100米． 【题型11.根据三角函数解决坡度坡比问题】 【典例】某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为___________米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比是解题的关键． 根据坡度的定义，得，由堤高米，计算即可求得的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡度为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，，在坡度（即）的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坡比，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，为，可求长，利用勾股定理即可求． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】数学活动小组欲测量山坡上一座信号塔的高度，如图，于点E．在A处测得信号塔顶端D的仰角为，沿水平地面前进47米到达B处，已知山坡坡角，米．（图中各点均在同一平面内，参考数据：，，，） (1)求的高度； (2)求信号塔的高度 【答案】(1)30米 (2)19.3米 【分析】（1）在中，由求出的高度； （2）先求出的长，再求出的长，在中，由求出的长，最后根据，求得信号塔的高度． 【详解】（1）解：∵于点E， ∴， ∵，（米）， ∴在中， （米）， 答：的高度约为30米； （2）解：∵，，（米）， ∴在中， （米）． ∵（米），（米）， ∴（米）， ∵，，（米）， ∴在中， （米）， ∴（米）． 答：信号塔的高度约为19.3米． 【跟踪专练3】左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【题型12.根据三角函数解决实际场景抽象几何问题.】 【典例】如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车． （1）当车位宽为2.4米，车门与车身的夹角最大时，车门的外端___________车位内（填“在”或“不在”）： （2）若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，． 【答案】 不在 【分析】本题考查了解三角形的应用，作，垂足为，求出车门与车身的不同夹角时，点到车上的距离即可解题. 【详解】解：作，垂足为， （1）当时， 由题意可知：车身到的距离， ∵， ∴车门与车身的夹角最大时，车门的外端不在车位内， （2）当时， 乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽， 车位宽至少为3米（结果保留整数） 故答案为（1）不在；（2）. 【跟踪专练1】某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 故选：A ． 【跟踪专练2】古希腊的埃拉托色尼发现塞恩城夏日正午地面上的石柱是没有影子的，而同一子午线上离塞恩城约h米（地表距离）的亚历山大城地面上高度为一米的石柱却有一段长度为s米的影子．如图所示，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与石柱形成的夹角．若一个锐角的正弦满足，则我们记，称为的反正弦．如．由此可以计算出地球的周长为_____米（结果用以及反正弦函数表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反正弦概念的理解与勾股定理的应用，解题关键是理解题意，正确求出的表达式．本题利用勾股定理求出后即可求解． 【详解】解：如图，∵高度为一米的石柱有一段长度为s米的影子, ∴米，米， ∴米， ∴， ∴， ∵同一子午线上石柱离塞恩城约h米（地表距离）， ∴地球周长为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． (1)求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)符合要求，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接，求得，，据此求解即可； （2）过点作交于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； （2）解：过点作交于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点到地面的距离为：，符合要求． 【模块三 解直角三角形的中考高频模型】 【题型13.单直角三角形模型】 【典例】如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图，根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故答案为：米． 【跟踪专练1】某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先根据太阳光线与地面夹角为、太阳能板与光线垂直，结合直角三角形两锐角互余，求出太阳能板与地面的夹角；再利用直角三角形的边角关系，将太阳能板顶端离地面的高度转化为太阳能板长度与对应三角函数的乘积，最后对比选项得出结论． 【详解】解：如图，设太阳能板为，太阳光线于，交于点，米，，． ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ （米）， ∴此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为米． 【跟踪专练2】如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的距离为（即），斜坡的坡度为（即），，则其上升的垂直高度为___________m． 【答案】20 【分析】设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 即上升的高度为． 【跟踪专练3】如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坡度的定义，等腰直角三角形中的边长关系，矩形的判定和性质．熟悉坡度的定义：坡度垂直高度／水平宽度，是解题的关键． 过点作交于点，过点作交于点，通过证明四边形和四边形是矩形，得到，，根据坡度的定义和等腰直角三角形的性质得到和的长度，继而得到． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵迎水坡面的原坡度，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【题型14.双直角三角形模型】 【典例.】如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得四边形为矩形，结合矩形的性质可得，再解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：四边形为矩形， ∴， ∵背水坡的坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【跟踪专练1】如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，D、E分别为AC、AB上的点，，连接BD，，垂足为F，则EF的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正切的应用等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理可得，由线段的和差可得；由勾股定理可得，再根据等面积法可得；如图：过点E作于G，则，易证 可得；再证明可得，再根据正切函数列方程求得，则​，由勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：； ∵， ∴， 又∵， ∴，解​得：； 如图：过点E作于G，则， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴​， ∴， ∴​​． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ________； （2）的值为 ________． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理求出，再根据余弦定义求解即可； （2）延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出，，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，，根据比例的性质求出，根据平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵，于N， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型15.斜三角形化直角模型】 【典例】如图，在中、，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：作于点，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为： 【跟踪专练1】在中，，线段平分．已知，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形．过点C作交的延长线于点E，根据角平分线得到，根据三角函数得到，进而求出，然后利用勾股定理求出长． 【详解】过点C作交的延长线于点E， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数求出，在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 【题型16.一线三等角模型】 【典例】如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键在于相似三角形的运用． 先由，设，则，再得到，那么可得，最后由由列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，于点，连接，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三线合一，相似三角形的判定和性质，勾股定理，设与的交点为，证明得到，可得为等腰直角三角形，即得，又由三线合一得到，再证明得到，进而得到，即可得到，即得，过作于点，则，，可得为等腰直角三角形，，由此得到，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设与的交点为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于点，则，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】.如图，，，点D在边上（与B、C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是________． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和正方形的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确，然后即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，②正确； ∵，， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，④正确； 故①②③④都正确， 故答案为：4． 【跟踪专练3】已知点P是正方形的边上的动点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，过点P作于P，与的延长线交于点Q，与交于点E． ①若点P恰好是的中点，则_________； ②当时，试求的大小． (2)如图2，过顶点D作于H，，点M在射线上．连接，，并取的中点N，连接，试问在点P的运动过程中，是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出其值． 【答案】(1)①；② (2)为定值，定值为 【分析】（1）①设，易证得和，根据相似三角形的性质得到和，进而得到，从而求出的值； ②易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，根据勾股定理得，进而得到，结合得到的值； （2）过H作于点G，连接，连接交于点Q，易得是的中位线，进而得到、，则，根据平行线的性质得到，再结合，证得，从而求出的值． 【详解】（1）解：①是BC中点， 设， ∴在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ， ； （2）解：过H作于点G，连接，连接交于点Q， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， 、， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ． 【题型17.母子型模型】 【典例】如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则__________________． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，，利用三角形面积比解答即可．本题主要考查了三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 【详解】解：令，，， 在中，， 可得：， ， ， 又， ， ， 即：， ， 同理可得：， ， ， 即：， ∵，，的内切圆半径分别记为，，， ，，， ； ， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的高．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是证明．利用勾股定理求出，证明，得到，将数据代入计算即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ，， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①可利用三角形内角和求得：则；②条件不足，无法求证；③由，，可证得，再进行推导即可；④由，得，可证得，可得． 【详解】解：①，， ，故本命题成立，符合题意； ②条件不足，无法求证，故本命题错误，不符合题意； ③，， ， ； ， ， ， ；故本命题正确，符合题意； ④， ， ， ， ，故本命题成立，符合题意； 故正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练3】【问题背景】 如图1，在中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和三角形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于三角形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交于点F，如图3所示； ②延长交线段于点，如图4所示； 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图3，若是的中点，求证：是等边三角形； (3)如图4，若，求的值． 【答案】(1)25° (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据题意得出，进而证明垂直平分，得出，根据平行线分线段成比例，中位线的性质可得，即可得出，进而求得，即可得证； （3）设，，根据已知得出，根据得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴ （2）证明：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴是等边三角形， （3）解：如图， 设，， ∵， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【模块四 与锐角三角函数有关的综合应用】 【题型18 锐角三角函数与四边形的综合应用】 【典例】如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握解直角三角形的知识是解决此题的关键． 由矩形的性质和勾股定理可得，于是可得，由同角的余角相等可得，解求得即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点E是边CD的中点， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长是，，分别在，的延长线上，，连接，交于点，并分别与，交于点，，连接．下列结论： ；；；当时，； 其中正确结论的序号是______． 【答案】 【分析】由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到，故正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到，故错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即，故正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ；故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故正确， ∴正确结论的序号是：． 【跟踪专练3】如图，已知在四边形中，对角线和相交于点O，，，，，，． (1)求证：； (2)求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，得，由，得,得，得,即得 （2）由，得,由，，得，由，得，得，得， ，得， ，得,即得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作于点F， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，是解题的关键． 【题型19 圆背景下的三角函数综合问题】 【典例】如图，在中，，点D在边上，以为直径作，交的延长线于点E，连接，若切于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，由半径相等可得，再通过导角即可得证； （2）根据正切的定义可求，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵，， ∴，则， 设， ， ， 解得：， 半径的长为． 【跟踪专练1】如图，点，，，在上，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．关键是通过圆周角定理求出相关圆心角的度数，结合垂径定理确定的度数，进而计算其正弦值．首先利用圆周角定理，由的度数求出弧所对的圆心角的度数；再根据垂径定理得出，从而得到；最后根据特殊角的三角函数值计算的值． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴； ∵，是的半径， ∴， ∴； ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，以为直径的半圆O上有一点C，且，M为直径上一点，点N与点M关于对称，于点M，交的延长线于点P．已知，当与半圆O相切时，的长为______． 【答案】2 【分析】连接，与相交于，由直径所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，由对称的性质得，设，则，，由正切函数得，，即可求解． 【详解】解：连接，与相交于， 为直径， ， ， ，， ， ， 是切线， ， ， ， 点N与点M关于对称， ，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，解直角三角形等；掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，能熟练利用解直角三角形有关知识进行求解是解题的关键． 【跟踪专练3】综合探究 如图所示，为的直径， 为上的两点，且 为的中点，弦 相交于点． (1)求证: ； (2)若、 ，求的长 (结果用表示)； (3)过点作的切线，交的延长线于点 ，若 求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长； (3) 【分析】（）根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可得证； （）根据已知得半径为，由求出，结合是中点推出对应的圆心角为，最后用弧长公式计算出的长； （）先利用圆的切线性质得到垂直关系，再结合三角函数和勾股定理求出三角形的边长与圆的半径，接着通过角的关系证明三角形相似得到比例关系，最后设未知数建立方程并求解，舍去不合题意的解得到最终结果． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， ∴（等弧所对的圆周角相等 ）， 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）； （2）解：∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴所对的圆心角为 ∵， ∴半径， ∴的长； （3）解：如图： ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴， 解得：（舍去）， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $