专题18直角三角形 突破讲义2026年中考一轮复习(全国通用)

专题18直角三角形突破讲义 【模块一 直角三角形】...................................................3 【题型01 直角三角形的两个锐角互余】.....................................3 【题型02 锐角互余的三角形是直角三角形】.................................4 【题型03 含30度角的直角三角形】........................................5 【题型04 斜边的中线等于斜边的一半】.....................................6 【模块二 勾股定理】.....................................................7 【题型05 用勾股定理解三角形】...........................................7 【题型06 已知两点坐标求两点距离】.......................................8 【题型07 勾股数问题】...................................................9 【题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积】...........................9 【题型09 勾股定理与网格问题】..........................................10 【题型10 勾股定理与折叠问题】..........................................11 【题型11 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】..........................12 【题型12 利用勾股定理证明线段平方关系】................................13 【题型13 勾股定理的证明方法】..........................................14 【题型14 以弦图为背景的计算题】........................................15 【题型15 勾股定理与无理数】............................................17 【题型16 利用勾股定理求梯子滑落高度】..................................18 【题型17 利用勾股定理解决航海问题】....................................19 【题型18 利用勾股定理求最短路径】......................................20 【模块三 勾股定理的逆定理】............................................21 【题型19 判断能否构成直角三角形】......................................21 【题型20 图形上与已知两点构成直角三角形的点】..........................22 【题型21 在网格中判断直角三角形】......................................23 【题型22 利用勾股定理的逆定理求解】....................................24 【题型23 勾股定理逆定理的实际应用】....................................25 ▶ 分值占比：直角三角形是中考几何核心必考点，总分值约 8–15 分，覆盖选择、填空、解答（证明与计算）三种题型，是中档题与压轴题的核心载体，属于必须高分突破板块。 ▶ 常考考点：聚焦直角三角形的定义与性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、30° 角对直角边等于斜边的一半）、勾股定理及逆定理、锐角三角函数、直角三角形的判定（勾股逆定理、两角互余判定）、实际应用建模五大核心方向。 ▶ 命题趋势：基础题侧重性质直接应用与概念辨析（如求角度、边长、判定直角三角形），中档题侧重勾股定理与折叠、网格、实际场景的结合计算，难题多以动点、存在性、几何最值、三角函数综合为背景，与函数、相似、坐标系结合的综合压轴题占比逐年提升，突出建模能力、转化思想与逻辑推理的考查 ★知识梳理★. 知识点01:核心定义与基本概念 1.直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形，其两个锐角均为 45°。 知识点02:核心性质（高频考点） 性质 内容 几何语言 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 等腰直角三角形性质 两条直角边相等，两个锐角均为 45°，斜边上的高、中线、顶角平分线 “三线合一” 在 Rt△ABC 中，若 ∠A=90°，AB=AC，则 ∠C=∠B=45且斜边上的高AD、中线AD、顶角平分线AD互相重合 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 高频易错点 1`.混淆直角边与斜边：计算时必须先确定直角，避免将直角边代入斜边公式。 2.忽略三角形三边关系：用勾股逆定理判定时，需验证 “两边之和大于第三边”。 3.30° 角性质误用：仅适用于 “30° 角所对的直角边”，而非任意直角边。 4.漏解：存在性问题中未按 “直角顶点位置” 完整分类。 5.实际意义忽略：解出的边长需为正数，且符合场景逻辑（如距离不能为负）。 【模块一 直角三角形】 【题型1.直角三角形的两个锐角互余】 【典例】如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为______． 【跟踪专练1】如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则_____．    【跟踪专练3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【题型2.锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例】已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【跟踪专练1】在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为_____．    【跟踪专练2】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【跟踪专练3】如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【题型3.含30度角的直角三角形】 【典例】在中，，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【题型4.斜边的中线等于斜边的一半】 【典例】如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，的中点D旋转到，已知，，则线段的长为______． 【跟踪专练3】如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【模块二 勾股定理】 【题型5.用勾股定理解三角形】 【典例】如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知，，，，则线段长度最大值为_____ 【题型6.已知两点坐标.求两点距离】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧交轴正半轴于点，点的横坐标为_____． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为___________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（   ） A．22 B．24 C． D． 【题型7.勾股数问题】 【典例】毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为__________． 【跟踪专练1】三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”． 如：，∵．∴2543是“勾股和数” （1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是_______________． （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若，，当为整数时，M是___________________ 【跟踪专练3】如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ） A．47 B．62 C．79 D．98 【题型8.以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【跟踪专练1】如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是______． 【跟踪专练3】如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） . A．25 B．64 C．100 D．169 【题型9.勾股定理与网格问题】 【典例】如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为_______． 【跟踪专练1】如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为________．    【跟踪专练3】在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【题型10.勾股定理与折叠问题】 【典例】如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【跟踪专练1】如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为____． 【跟踪专练3】如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕__________________． 【题型11.利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【典例】如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【跟踪专练1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【题型12.利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【跟踪专练2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【跟踪专练3】设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【题型13.勾股定理的证明方法】 【典例】人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 【跟踪专练1】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为____________ . 【跟踪专练3】在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为，，斜边长为)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【题型14.以弦图为背景的计算题】 【典例】清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了勾股定理如图，已知，四边形，，均为正方形若四边形，的面积分别为和，则的长为______． 【跟踪专练1】如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为______． 【跟踪专练3】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型15.勾股定理与无理数】 【典例】如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【跟踪专练1】以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【跟踪专练3】如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（    ） A．2 B．5 C． D． 【题型16.利用勾股定理求梯子滑落高度】 【典例】如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 【跟踪专练1】如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ）    A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【跟踪专练2】如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米． 【跟踪专练3】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【题型17.利用勾股定理解决航海问题】 【典例】如图，一轮船以海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距______海里．    【跟踪专练1】一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流，则经过______________h后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形． 【跟踪专练3】如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） (1)求处的游船到岸边的距离（即的长）； (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 【题型18.利用勾股定理求最短路径】 【典例】已知长方体的长为、宽为、高为（其中）．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程___． 【跟踪专练1】如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）    . A． B．15 C． D．16 【跟踪专练2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【跟踪专练3】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【模块三 勾股定理的逆定理】 【题型19.判断能否构成直角三角形】 【典例】已知a，b，c是的三边，a，b，c满足等式，且，则___________________． 【跟踪专练1】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【跟踪专练2】如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数___． 【跟踪专练3】当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【题型20.图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【典例】如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【跟踪专练1】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【跟踪专练3】如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【题型21.在网格中判断直角三角形】 【典例】如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【跟踪专练1】如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B，C都在格点上，则的值是（    ）． A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，的度数是（ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【题型22.利用勾股定理的逆定理求解】 【典例.】如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 【跟踪专练3】如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型23.勾股定理逆定理的实际应用】 【典例】如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是______． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【跟踪专练2】如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为_____________千米． 【跟踪专练3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18直角三角形突破讲义 【模块一 直角三角形】...................................................3 【题型01 直角三角形的两个锐角互余】.....................................3 【题型02 锐角互余的三角形是直角三角形】.................................6 【题型03 含30度角的直角三角形】........................................9 【题型04 斜边的中线等于斜边的一半】....................................13 【模块二 勾股定理】....................................................17 【题型05 用勾股定理解三角形】..........................................17 【题型06 已知两点坐标求两点距离】......................................20 【题型07 勾股数问题】..................................................24 【题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积】..........................27 【题型09 勾股定理与网格问题】..........................................30 【题型10 勾股定理与折叠问题】..........................................33 【题型11 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】..........................37 【题型12 利用勾股定理证明线段平方关系】................................40 【题型13 勾股定理的证明方法】..........................................45 【题型14 以弦图为背景的计算题】........................................49 【题型15 勾股定理与无理数】............................................52 【题型16 利用勾股定理求梯子滑落高度】..................................55 【题型17 利用勾股定理解决航海问题】....................................58 【题型18 利用勾股定理求最短路径】......................................61 【模块三 勾股定理的逆定理】............................................66 【题型19 判断能否构成直角三角形】......................................66 【题型20 图形上与已知两点构成直角三角形的点】..........................69 【题型21 在网格中判断直角三角形】......................................74 【题型22 利用勾股定理的逆定理求解】....................................77 【题型23 勾股定理逆定理的实际应用】....................................80 ▶ 分值占比：直角三角形是中考几何核心必考点，总分值约 8–15 分，覆盖选择、填空、解答（证明与计算）三种题型，是中档题与压轴题的核心载体，属于必须高分突破板块。 ▶ 常考考点：聚焦直角三角形的定义与性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、30° 角对直角边等于斜边的一半）、勾股定理及逆定理、锐角三角函数、直角三角形的判定（勾股逆定理、两角互余判定）、实际应用建模五大核心方向。 ▶ 命题趋势：基础题侧重性质直接应用与概念辨析（如求角度、边长、判定直角三角形），中档题侧重勾股定理与折叠、网格、实际场景的结合计算，难题多以动点、存在性、几何最值、三角函数综合为背景，与函数、相似、坐标系结合的综合压轴题占比逐年提升，突出建模能力、转化思想与逻辑推理的考查 ★知识梳理★. 知识点01:核心定义与基本概念 1.直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形，其两个锐角均为 45°。 知识点02:核心性质（高频考点） 性质 内容 几何语言 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 等腰直角三角形性质 两条直角边相等，两个锐角均为 45°，斜边上的高、中线、顶角平分线 “三线合一” 在 Rt△ABC 中，若 ∠A=90°，AB=AC，则 ∠C=∠B=45且斜边上的高AD、中线AD、顶角平分线AD互相重合 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 高频易错点 1`.混淆直角边与斜边：计算时必须先确定直角，避免将直角边代入斜边公式。 2.忽略三角形三边关系：用勾股逆定理判定时，需验证 “两边之和大于第三边”。 3.30° 角性质误用：仅适用于 “30° 角所对的直角边”，而非任意直角边。 4.漏解：存在性问题中未按 “直角顶点位置” 完整分类。 5.实际意义忽略：解出的边长需为正数，且符合场景逻辑（如距离不能为负）。 【模块一 直角三角形】 【题型1.直角三角形的两个锐角互余】 【典例】如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理；由旋转的性质可得，，可求出，再由即可求解. 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C. 【跟踪专练2】如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则_____．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余得，继而求得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；直角三角形两锐角互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分顶角是钝角和锐角两种情况，分别根据题意画图，运用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角． 故顶角的度数为或． 故选C． 【题型2.锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例】已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【详解】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为_____．    【答案】km 【分析】根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据正弦定义求得AC的长． 【详解】解：如图    由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°． ∵EF∥PQ， ∴∠1＝∠EAB＝60° 又∵∠2＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣30°＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 又∵MN∥PQ， ∴∠4＝∠2＝30°． ∴∠ACB＝∠4+∠3＝30°+30°＝60°． ∴AC＝km． 故答案为：km． 【点睛】本题考查了方向角在实际生活中的运用，解答关键是根据题意画出图形找到图中的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答问题． 【跟踪专练2】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义、分类讨论思想等知识点，根据题意画出图形是解题的关键． 分为斜边和直角边两种情况分别画出所有可能的直角三角形即可解答． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有4个， 如图： ②为直角边，或者，满足上述条件的点C有4个， 如图： 综上，满足上述条件的点C有8个． 故选C． 【跟踪专练3】如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 【题型3.含30度角的直角三角形】 【典例】在中，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． ∴由勾股定理，得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定与性质和扇形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；由题意可得：， ，，求得，再证得是等边三角形，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】,根据菱形的性质可知与是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，根据含角的直角三角形的性质可知，可得：，，根据线段之间的关系可得：，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 菱形中，，， ，， 与是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【跟踪专练3】如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则， . ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由图知，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 当时，，即， 故选：． 【题型4.斜边的中线等于斜边的一半】 【典例】如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 【跟踪专练1】如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质求得，利用等边对等角求得，再证明是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，的中点D旋转到，已知，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先整理得，利用旋转的性质可知，且为直角三角形，运用勾股定理求得的值，即可作答． 【详解】解：连接 ∵，，D是的中点， ∴， ∵将绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， 即 ∵旋转， ∴（旋转后是对应边）， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，延长交于点，作，垂足为，由勾股定理得，根据直角三角形的斜边中线的性质得，再通过等面积法求出，由翻折的性质可知，，，，则，，然后等面积法和等腰三角形的性质得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，解得， 由翻折的性质可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【模块二 勾股定理】 【题型5.用勾股定理解三角形】 【典例】如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理和求角的余弦值．先用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：B 【跟踪专练1】如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 【跟踪专练2】如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【跟踪专练3】如图，已知，，，，则线段长度最大值为_____ 【答案】/ 【分析】通过旋转构造全等三角形，将分散的线段转化为已知长度的线段，再利用勾股定理求出定长线段，最后结合三角形三边关系确定线段的最大值． 【详解】解：∵， 将绕点逆时针旋转，使与重合，得到， 根据旋转的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理可得：， 在中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得， 当三点共线，且点位于两点之间时，取得最大值，此时， ∵， ∴的最大值为． 【题型6.已知两点坐标.求两点距离】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧交轴正半轴于点，点的横坐标为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．先利用勾股定理求出，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ， 由作图方法可知， ∴， 点的横坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，设，再结合勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识．作射线，过点P作轴于H，可得，则，设射线交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最大，即可求解． 【详解】解：作射线，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴的面积最大值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（   ） A．22 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查垂径定理的应用以及直线过定点的求解，找出直线所过的定点，并判断该定点与圆的位置关系是解题的关键． 首先确定圆的半径为13，直线恒过定点，根据垂径定理，当弦与垂直时，弦长最短，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点, 因为， 所以，垂足为，则有， 点, ， ， 由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示 根据垂径定理及勾股定理可得, 的最小值为， 故选：A． 【题型7.勾股数问题】 【典例】毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为__________． 【答案】84、85 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．观察所给数组的规律，继而可得出答案． 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 【跟踪专练1】三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”． 如：，∵．∴2543是“勾股和数” （1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是_______________． （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若，，当为整数时，M是___________________ 【答案】 2024 8109或4536或4563 【分析】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． （1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得，根据均是整数可得为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M． 【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵，， ∴2022不是“勾股和数”； ∵，， ∴2023不是“勾股和数”； ∵，， ∴2024是“勾股和数”； （2）∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，，此时； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或4536或4563． 故答案为：2022，8109或4536或4563． 【跟踪专练3】如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值. 【详解】解：由题可得：…… 当 故选：C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键. 【题型8.以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】6 【分析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 【跟踪专练1】如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 【跟踪专练2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） . A．25 B．64 C．100 D．169 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，解一元二次方程，勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键． 设，根据两块阴影的面积和与周长和分别为16和36，分别得出和，通过设，并借助完全平方式求出的值，即可求出的关系，并根据，即可求解． 【详解】解：设， 由题意及对称性知，图（2）中两部分阴影全等， ∴由两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，知 ∴ 设，则， 则，即 又由完全平方式知， ∴由知，， ∴， 解得，即， 则① 又在中，② 将①代入②，得， 解得（舍） ∴正方形的面积为：． 故选：D． 【题型9.勾股定理与网格问题】 【典例】如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ，，， 故， 故， 故， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为________．    【答案】/ 【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由勾股定理及逆定理可证明为等腰直角三角形，则题目可求． 【详解】解：连接，由勾股定理得： ， ∴， ，且， ∴． 故答案为：．    【跟踪专练3】在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形网格的性质，正切函数的概念等知识点．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义求解的值． 【详解】解：如图，取格点E，连接，，，， 设小正方形的边长为1，则，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【题型10.勾股定理与折叠问题】 【典例】如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：， 设，则； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形和折叠的性质得到，，结合，得到，得到，据此根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕__________________． 【答案】 【分析】先过点F作于M．利用勾股定理可求出，再利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线可得，故有．求出，再次使用勾股定理可求出的长． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形； 过点F作于， 由折叠可知：， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【题型11.利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【典例】如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 【跟踪专练1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 【跟踪专练2】如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据和求出、的长度是解题的关键． 设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解得，由，可证明，结合题意证明，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，F为中点， ，DE=1 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【题型12.利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则______． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 【跟踪专练1】如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 【跟踪专练3】设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 【题型13.勾股定理的证明方法】 【典例】人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 【跟踪专练1】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为____________ . 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为，，斜边长为)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】A 【分析】由图形中的面积关系:正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，应用完全平方公式即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理； 乙同学的方案： 大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积， ， 得不到， 因此乙同学的方案不可以证明勾股定理． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 【题型14.以弦图为背景的计算题】 【典例】清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了勾股定理如图，已知，四边形，，均为正方形若四边形，的面积分别为和，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的证明．根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形，的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程可求出直角三角形的两个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出的值，解题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义． 【详解】解：∵小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， 设直角三角形中较短的直角边为，则较长的直角边是，其中， 由勾股定理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、弧长公式等知识．设，则，根据勾股定理求出或，根据小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差，得到正方形的边长为，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：∵每个直角三角形的两直角边之和为7， ∴设，则． 在中，由勾股定理可得到， ， 解得或． 由题图可知，小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差， ∴正方形的边长为， ∴的长为 故答案为： 【跟踪专练3】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，即得，根据勾股定理及正方形的面积公式可求得，结合正方形与正方形的面积之比为，进而可求解的值． 【详解】解：如图，设，，则，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ∴ ， 故选：A． 【题型15.勾股定理与无理数】 【典例】如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据题意可得出，则可得出点表示的数． 【详解】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧， ， ∴点表示的数是， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】先求出AC的长，然后确定点M对应的实数，最后求得结果． 【详解】如下图，连接AC ∵A、B分别对应1、2 ∴AB=BC=1 ∵PQ⊥AB ∴在Rt△ABC中，AC= ∴AM=AC= ∴点M对应的点为： 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理和数轴上点表示的数，解题关键是确定点M在数轴上对应的数，然后求平方即可． 【题型16.利用勾股定理求梯子滑落高度】 【典例】如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ）    A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于，    由题意得， 米， 同理可得：， 在中，（米， 在中，（米， （米， 答：梯子底端离地高度长为0.9米， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米． 【答案】2 【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可． 【详解】解：标字母C、D、E如图 ∵AB= 10米， ∴EB=ABsin=10×=6， ∵CD=10米，， ∴DE=CD， 在Rt△CDE中，CE=， ∴BC=CE-BE=8-6=2， ∴梯子顶端上升了2米． 故答案为2． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键． 【跟踪专练3】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【题型17.利用勾股定理解决航海问题】 【典例】如图，一轮船以海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距______海里．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴两船方向的夹角为直角． 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：． 【跟踪专练1】一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 【跟踪专练2】在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流，则经过______________h后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形． 【答案】2 【分析】此题考查了勾股定理的应用，如图所示，O为观测站，海里．设经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形，则，利用勾股定理得到，解方程即可求出答案． 【详解】解：如图所示，O为观测站，海里． 设经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形，则， ∴在中，， 在中，， 在中， ， 解得或（舍去）． ∴经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形．、 故答案为： 【跟踪专练3】如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） (1)求处的游船到岸边的距离（即的长）； (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，，米，米， （米）， 即处的游船到岸边的距离为米． （2）解：工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米， 即游船向岸边移动的距离为米． 【题型18.利用勾股定理求最短路径】 【典例】已知长方体的长为、宽为、高为（其中）．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程___． 【答案】 【分析】考查了平面展开-最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键. 把长方体展开，根据利用两点之间线段最短和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况： 沿、剪开，得图（1）， 则， 沿剪开，得图（2）， 则， 沿剪开，得图（3） 则， 综上所述，最短路径应为图（1）所示， 所以， 即， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 【跟踪专练3】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 【模块三 勾股定理的逆定理】 【题型19.判断能否构成直角三角形】 【典例】已知a，b，c是的三边，a，b，c满足等式，且，则___________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．根据以及勾股定理逆定理可得是以为斜边的直角三角形，，再设，，可得，然后求出各角的正弦值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形，， ∵， ∴， 设，， ∴， 在直角三角形中，，，． 所以． 故答案为：． 【跟踪专练1】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数___． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，以及等边三角形和直角三角形的判定方法是解题的关键．连接 ，先利用旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的判定与性质，最后通过勾股定理逆定理判断 的形状，得到的度数，进而求出的度数． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ 且 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，； 在 中，，，， ∵ ，即 ， ∴ 是直角三角形，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 【跟踪专练3】当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 【题型20.图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【典例】如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 【跟踪专练1】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 【跟踪专练3】如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【题型21.在网格中判断直角三角形】 【典例】如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B，C都在格点上，则的值是（    ）． A． B． C．3 D． 【答案】B. 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理及其逆定理．利用格点构造直角三角形，再利用正切函数的定义求解． 【详解】解：如图，标记格点D，连接， 由勾股定理得，，， ， 是直角三角形，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理计算三边长，根据勾股定理逆定理判断，进而结合锐角三角函数的定义计算的值． 【详解】解：根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， 故答案为：2 ． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，的度数是（ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证为直角三角形，而AM=BM，即为等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】连接AB ∵，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明为直角三角形． 【题型22.利用勾股定理的逆定理求解】 【典例.】如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 【跟踪专练2】如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 【跟踪专练3】如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， 所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， 所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵PC=5，QC=PA=3, ∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以C不正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 【题型23.勾股定理逆定理的实际应用】 【典例】如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是______． 【答案】北偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是直角三角形是解题关键． 直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而得出方向角． 【详解】解：由题意可得：，，，， 在中，， ， ， 是直角三角形，且， ∴ ∴乙船的航行方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及求正切值，能够通过勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形是解题关键； 先通过坐标求出的长度，再证得三角形为直角三角形，再通过正切的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，为斜边， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为_____________千米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】在中，因为，， 所以， 所以是直角三角形且 ． 设千米，则千米． 在中，由已知得，，， 由勾股定理得， 所以， 解得， 故答案为． 【跟踪专练3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出，即可得到三角形的形状. 【详解】∵a+b=10，ab=18， ∴=（a+b）2-2ab=100-36=64， ∵,c=8， ∴=64， ∴=， ∴该三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $