第2章一元二次方程 同步单元达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》 同步单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程的一个根为1，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 4．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（    ） A． B． C． D． 6．一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 7．年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．北方的冬天已经迎来了冬雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，通道面积是整个矩形空地面积的．若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知为实数，且，则的值是 ． 10．a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则 ． 11．已知m，n是方程的两个根，则 ． 12．已知、是方程的两个实数根，则的值是 ． 13．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 14．某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程 ． 15．如图机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当面积为两机器人协作区域面积的时，运动时间为 ．    16．如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)试说明不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 20．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 21．如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． (1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ (2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 22．某直播间销售一款金甲战士玩具，进价为20元/个．大数据表明，当金甲战士玩具的售价定为30元/个时，每周可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，每周的销售量减少40个；反之，每降价1元，每周的销售量增加100个． (1)儿童节大促来袭，为吸引客流，尽可能多地提高销量，该直播间决定在售价为30元/个的基础上降价销售，预计一周获利5600元，问每个玩具应降价多少元？ (2)大促结束后，根据直播平台的规则，需在售价为30元/个的基础上涨价，问涨价后是否仍能获得5600元的周利润？若能，求每个玩具应涨价多少元；若不能，请说明理由． 23．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 参考答案 1．解：选项A：，，，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：，，，则方程没有实数根，符合题意； 选项C： ，，，则方程有两个相等的实数根，不符合题意； 选项D：，，，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意， 故选：B． 2．解：∵方程的一个根为1， ∴， 解得：． 故选：A 3．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过移项和添加平方项将方程变形为完全平方式，即可解答． 【详解】解：∵， 移项得， ∴两边加上16（一次项系数一半的平方），得， 即． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系， 由已知根代入方程变形可以得出是方程的一个根，由此得出结合条件，再根据新方程两根之和为，由此求出新方程的另一根为， 【详解】解：∵ 方程 有一个根为 ， ∴ ， 两边同乘 得： ， 即 ． ∴是方程的一个根， 设方程的另一个根为，则：， 又∵ ， ∴ ， ， ∴． ∴， ∴方程的两根为和， 故选B． 6．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为或． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天票房的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每天票房的增长率为， 根据题意得，， 故选：． 8．D 【分析】通道的宽为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设通道的宽为，根据题意，得， 故选：D． 9．4 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程． 由题意可得，，由可得，结合求出或，再检验即可得解． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：，即， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得：或， 时，方程，，方程无解，不符合题意， 时，方程，，方程有两个不同的实数根，符合题意， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用韦达定理求出两根之和与两根之积，再代入分式变形后的式子计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴代入得； 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系得到，并由方程的解得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：． 13．10 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设有x个足球队参赛，每两个队之间进行一场比赛，则总比赛场数，根据计划安排15场比赛即可建立方程． 【详解】解：设有个足球队参赛，根据题意得，， 故答案为：． 15．1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 16． 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解方程是解题的关键． （1）利用配方法即可求出解； （2）通过提取公因式把方程转化为两个一次方程的乘积为的形式，从而求解． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 于是得， 两边开平方，得， ∴原方程的解是，； （2）解：移项，得， 因式分解，得， 提取公因式，得， 或， ∴原方程的解为，． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 19．(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，再将其代入，求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得． ， ， 解得， 故的值为0． 20．(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 21．(1)和分别为与 (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积，列出方程，是解题的关键． （1）设，则，根据矩形自由采摘区面积为，列出方程，解方程即可； （2）设，则，矩形自由采摘区的面积需改为，列出方程，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． （2）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 22．(1)3元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设降价后每个玩具的售价为x元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程即可求解； （2）设每个玩具涨价m元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程，结合根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：设降价后每个玩具的售价为x元， 则每个利润为元，销售量为个． 由题意，得， 整理，得， 解得，， 为吸引客流，尽可能多地提高销量， ， 应降价元， 每个玩具应降价3元． （2）解：不能获得5600元的周利润，理由如下： 设每个玩具涨价m元． 根据题意，得， 整理，得， ， 方程无实数根． 涨价后不能获得5600元的周利润． 23．(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 学科网（北京）股份有限公司 $