精品解析：湖南娄底市新化县2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题（A卷）

2025年下学期高一期末考试试题 数学A卷 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3}，则A∩B＝（ ） A. {1，3） B. {2，3} C. {3} D. {3，5} 2. “”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是锐角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 4. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合A，当的值域为时实数a的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于命题p：“”的叙述，正确的是（ ） A. p的否定： B. p的否定： C. p是真命题，p的否定是假命题 D. p是假命题，p的否定是真命题 10. 设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 在上是减函数 C. 时取最大值 D. 的一个对称中心是 11. 早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则最小值为4 C. 若，，则 D. 若，且，则的最小值为2 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算______． 13. 九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为______．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 14. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 四、解答题 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）求和； （2）若，满足，求实数的取值范围． 16. （1）已知，求的值； （2）若、是方程的两个根，求的值. 17. 已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据： v 0 1 2 3 Q 0 0.7 1.6 3.3 为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求，，． （2）已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数． （1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数； （2）若函数是型函数，求实数的值； （3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高一期末考试试题 数学A卷 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3}，则A∩B＝（ ） A. {1，3） B. {2，3} C. {3} D. {3，5} 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解． 【详解】解：∵A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3}， ∴A∩B＝{3}， 故选：C． 2. “”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A． 考点：充分必要条件． 3. 已知是锐角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角. 其中D选项不包括，故错误. 故选：C. 4. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】， ， ， 因为函数是正实数集上的增函数， 所以有 故选：C 5. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间  内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 6. 已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的函数性质求得；再根据指数型函数的图象变换即可判断和选择. 【详解】因为，，在单调递减，在单调递增， 故可得在时，取得最大值. 故，， 又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到. 故满足的函数图象是选项. 故选： 【点睛】本题考查指数型函数图象的选择，涉及二次函数在区间上的最值求解，属综合基础题. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得为奇函数，由，可得，，再由求解即可. 【详解】解：因为， 令， 所以， 又因为=， 所以为奇函数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合A，当的值域为时实数a的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质，列出不等式组，分别求得集合，以及，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，即在上恒成立， 则满足，解得，即； 由函数的值域为，则满足应取遍所有的正数， 即的值域包含， 当时，函数的值域为，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，集合，则，. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于命题p：“”的叙述，正确的是（ ） A. p的否定： B. p的否定： C. p是真命题，p的否定是假命题 D. p是假命题，p的否定是真命题 【答案】AC 【解析】 【分析】任一个都符合的否定是存在一个不符合，否命题的真假与原命题相反 【详解】p的否定为“”，A对B错； ，所以p是真命题，则p的否定是假命题，故C对D错. 故选：AC 10. 设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 在上是减函数 C. 时取最大值 D. 的一个对称中心是 【答案】AD 【解析】 【详解】函数的最小正周期是， ，， 又的图象关于直线对称，，， 又，，， ，图象过，故A正确； 的正负未知，故无法确定的单调性，且时取最大值或最小值， 故B，C错误； ，是的一个对称中心，故D正确． 11. 早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则最小值为4 C. 若，，则 D. 若，且，则的最小值为2 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特例法判断A，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B，利用基本不等式结合不等式性质判断C，设，代入化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D. 【详解】对于A，若，满足，则，错误； 对于B，若，且，则，时取等号，与矛盾，即等号不成立，则没有最小值，故不正确； 对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，当且仅当即时等号成立， 由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确. 对于D，令，则， 所以， （当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确. 故选：CD 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】结合根式、幂及对数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为______．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 【答案】6 【解析】 【分析】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，即，解出即可求解. 【详解】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，则，解得， 即所在扇形的圆心角大小为6． 故答案为：6. 14. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造新函数，判定其奇偶性及单调性进行计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 整理得， 即， 由是偶函数且在单调递增，在单调递减， 可得，解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）求和； （2）若，满足，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式求出，，进而求出和； （2）根据得到，求出，从而比较端点值，列出不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 解得：， ∴ ∵，解得：， ∴， 则，； 【小问2详解】 由，可知 ∵， 则， 所以， 故的取值范围为． 16. （1）已知，求的值； （2）若、是方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合弦化切化简可得所求代数式的值； （2）由题意可得，列出韦达定理，由结合韦达定理可求得的值. 【详解】（1）因为，则 ； （2）因为、是方程的两个根， 则，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 所以，，解得，合乎题意，故. 17. 已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据： v 0 1 2 3 Q 0 0.7 1.6 3.3 为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用. 【答案】（1）选择函数模型； （2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为 【解析】 【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式； （2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果. 【小问1详解】 若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数， 这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型. 从而只能选择函数模型，由实验数据可得： ，得， 故所求函数解析式为. 【小问2详解】 设超级快艇在段的航行费为（万元）， 则所需时间为（小时），其中， 结合（1）知， 所以当时，取最小值为 所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求，，． （2）已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 由题图可知，由，得， 得．由题图可知，的图象过点， 则，得， 因为，所以． 【小问2详解】 ①当时，， 此时，得． 当时，， 此时，得． 故． ②由，得． 由，得， 即或， 因为在上的图象与直线恰有3个公共点， 所以， 得，即的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数． （1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数； （2）若函数是型函数，求实数的值； （3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为， 所以（且）是型函数， 即每一个指数函数都是型函数． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义代入计算证明即可； （2）代入化简，利用指数函数的性质求解即可； （3）根据已知条件和二次函数性质，分段处理分类讨论，确保不等式恒成立即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是型函数， 所以， 显然，则，所以， 整理得对于定义域内任意恒成立， 所以，解得． 【小问3详解】 因为为型函数，所以， 当时，， 因为，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则，所以在上恒成立，则恒成立， 因为在上单调递增，且，故． 当时，， 则， 因为，所以， 令，则当时，恒成立． 由上可知，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 因为，当且仅当时取得等号，所以． 综上可知，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $