精品解析：湖南省娄底市新化县2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024年下学期高一期末考试试题 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接对P、Q求并集即可. 【详解】∵，， ∴ 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案 【详解】由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件； 求解，得到，故“”是“”的不必要条件； 故选：A 3. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断即可 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以D正确， 故选：D 4. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的三要素，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为与对应法则不一致，不是同一函数； 对于B，因为定义域为，而定义域为R， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于C，因为定义域为，而定义域为， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于D，，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同， 故能表示同一函数. 故选：D. 5. 函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直接求解即可. 【详解】要使函数有意义,需要,解得,即得函数定义域为:. 故选:B. 【点睛】本题考查了对数型函数求定义域的问题,属于基础题. 6. 已知，且，且，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案. 【详解】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误； 对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误； 对于C项，根据换底公式可知，，故C正确； 对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误. 故选：C. 7. 已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数的图象可求得的范围，再根据二次函数的图象即可得解. 【详解】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的， 由函数的图象可得函数为单调递减函数，则， 令得，则， 则函数的大致图象为A选项. 故选：A. 8. 已知函数对任意，都有成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ） A －3 B. －1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意判断函数的对称性以及奇偶性，继而可推得函数的周期，根据函数的周期即可求得答案. 【详解】因为对任意，都有,所以函数的图象关于直线对称， 即，则， 又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数， 所以，所以， 所以8是函数的一个周期， 故， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有的正方形都是矩形 C. ， D. 至少有一个实数x，使 【答案】AC 【解析】 【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意. 【详解】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意； B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意； C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；. D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（　 　） A. 的最小值是3 B. 的最大值是5 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，C选项构造基本不等式即可，B选项利用基本不等式计算即可，D项变形构造基本不等式即可 【详解】选项A，因为 所以 当且仅当时取等号，故A正确. 选项B，因为, 所以, 当且仅当时取等号，故B正确. 对于C，， 当且仅，即时，等号不成立， 令，则在上单调递增， 所以时取得最小值为，故选项C错误； 对于D，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 若，则的最小值为 C. 函数在上有3个零点 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据条件，确定函数的解析式，求函数的对称中心，可判断A的真假；确定的最小值对应函数的半个周期，判断B的真假；结合函数图象，可判断函数在上零点的个数，判断C的真假；借助两角和与差的余弦公式可判断D的真假. 【详解】由函数的图象关于直线对称可得，； 解得，； 又，所以，可得； 对于A，由，可得，； 当时，，所以函数的图象关于点对称，即A正确； 对于B，因为，所以，中一个为函数的最大值，一个是最小值， 因此，因此B正确； 对于C，当时，，易知函数在只有2个零点，因此C错误； 对于D，因为， 所以 ； 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用根式及指数运算计算即得. 【详解】. 故答案为： 13. 已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】设出扇形半径和弧长，列出方程组，求出，，进而求出扇形面积. 【详解】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：，解得：，，所以该扇形的面积为 故答案为：4 14. 若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有_________（填相应的序号）. 【答案】① 【解析】 【分析】利用“理想函数”的定义，逐一判断即可. 【详解】由对于定义域上的任意，当时，恒有，得在其定义域上单调递减， 对于①，定义域为R，，函数是R上的减函数，①是； 对于②，的定义域为R，不恒为0，②不是； 对于③，的定义域为R，不恒为0，③不是； 对于④，函数在其定义域上不单调，④不是. 故答案为：① 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角的基本关系化简，即可得到结果； （2）根据同角的基本关系，原式变形为，再分子分母同时除以，可知原式为，再将带入，即可求出结果. 【详解】解：（1）原式; （2）原式. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用集合的交、并、补运算求集合； （2）由题设，讨论、分别求参数范围，最后取并集. 【小问1详解】 由题设，则， 或，则. 【小问2详解】 由， 若时，，满足； 若时，； 综上，. 17. 已知且满足不等式． （1）求实数a的取值范围，并解不等式． （2）若函数在区间有最小值为，求实数的值． 【答案】（1）,解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得，再根据对数函数的性质解不等式； （2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数的值. 【小问1详解】 由且满足不等式可得， ，解得， 由可得， ，解得， 所以原不等式的解集为. 小问2详解】 因为,所以函数在定义域单调递减, 所以函数在区间有最小值为, 解得. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解； （2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围； （3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 解：当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围． 19. “函数图像关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”. （1）若定义在上的函数图像关于原点对称，且当时，，求函数的解析式； （2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图像关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若函数的图像关于对称，且当时，， （i）证明：函数在上单调递增； （ii）关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）（i）根据单调性的定义进行证明即可； （ii）根据函数的对称性和单调性，结合函数零点的定义，利用转化法、二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为定义在上的函数图像关于原点对称，所以函数是奇函数， 当时，，当时，， 所以； 【小问2详解】 （i）设是上的任意两个实数，且， ， 因为，所以， 所以， 因此函数在上单调递增； （ii）设是上的任意两个实数，且， ， 因为，所以， 因此函数在上单调递减. 因为函数的图像关于对称，所以函数在上也是单调递减， 因此当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为，函数的图像关于对称， 所以，， 因此当时，，令， 当时，方程有有两个不等实根，且一个在上，一个在上， 要想关于的方程在上有四个不同的零点， 只需方程在上有两个不等实根， 设，则有：且且且，解得：或， 故实数的取值范围为： 【点睛】关键点睛：把函数的零点转化为方程的实根，通过函数单调性求出在区间上的值域，再借助换元法将函数有四个不同的零点转化为一元二次方程有两个不同的根，再结合一元二次方程的性质进行求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期高一期末考试试题 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是 A. B. C. D. 6. 已知，且，且，下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对任意，都有成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有的正方形都是矩形 C. ， D. 至少有一个实数x，使 10. 下列说法正确的是（　 　） A. 的最小值是3 B. 的最大值是5 C. 的最小值是2 D. 最大值是 11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 若，则的最小值为 C. 函数在上有3个零点 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______________ 13. 已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为___________. 14. 若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有_________（填相应的序号）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）已知，求的值． 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求取值范围． 17. 已知且满足不等式． （1）求实数a的取值范围，并解不等式． （2）若函数在区间有最小值为，求实数的值． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 19. “函数图像关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”. （1）若定义在上的函数图像关于原点对称，且当时，，求函数的解析式； （2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图像关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若函数的图像关于对称，且当时，， （i）证明：函数在上单调递增； （ii）关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $