精品解析：浙江省杭州师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

杭师大附中2025学年第一学期期中考试 高二数学试题卷 命题人、审题人：高一备课组 命题时间：2025年11月 本试题满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 4. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 是直线与直线(垂直的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 91 D. 109 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B. 若3个空间向量满足且，则 C. 若空间向量满足，则是钝角． D. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 10. 已知方程为，则（ ） A. 若为圆方程，则该圆面积为 B. 若，则方程的焦距为1． C. 若为焦点落在x轴的椭圆，则实数m的取值范围为． D. 若，则方程渐近线方程为 11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 平面平面PEF C. 异面直线CQ与BD所成角的余弦值为 D. 直线CQ与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 13. 直线被圆截得的弦长为________. 14. 若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 16. 已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N． （1）求证：平面平面； （2）求异面直线MN与所成角的大小． 17. 若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． （1）求抛物线E的方程； （2）求证：； （3）若，求实数k的值． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． （1）求证：平面PAB: （2）求二面角的大小； （3）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 19. 若椭圆上的两个点满足，则称M、N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M、N互为共轭点，显然，对于椭圆上任意一点M，总有两个共轭点． 已知椭圆的焦点为，且离心率为，点是椭圆C上一动点，点A的两个共轭点分别记为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当点A坐标为时，求； （3）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭师大附中2025学年第一学期期中考试 高二数学试题卷 命题人、审题人：高一备课组 命题时间：2025年11月 本试题满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角 【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为． 故选：A． 2. 若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 3. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 4. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即， ∴或. 故选：D 5. 已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合直角三角形的性质求解即可. 【详解】如图，过向准线做垂线，垂足为，作， 由题意得四边形是矩形，故，， 因为，所以， 得到，由抛物线定义得， 而，解得，故B正确. 故选：B 7. 是直线与直线(垂直的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】按照直线的斜率是否为零和是否存在对分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线的充要条件计算分析即可得出． 【详解】当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直； 当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直； 当、时，两条直线的斜率分别：，， ∵两条直线相互垂直，∴，解得． 综上可得：是直线与直线(垂直的充分不必要条件． 故选A． 8. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 91 D. 109 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第个“拐角数”为， 不难发现，，，，， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是，故C正确. 其余都不是“拐角数”. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B. 若3个空间向量满足且，则 C. 若空间向量满足，则是钝角． D. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中基底的性质，分析可判断A的正误；根据空间中向量的位置关系，分析可判断B的正误；根据数量积公式，分析可判断C的正误；根据四点共面的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：假设共面，则存在实数，使得， 整理得， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 则，不成立，故假设错误，即不共面， 所以也是空间的一个基底，故A正确； 选项B：因为为空间向量，且满足，， 所以与可能平行，也可能相交，无法确定，故B错误； 选项C：若夹角为，，满足，但不是钝角，故C错误； 选项D：因为，且， 所以P，A，B，C四点共面，故D正确. 10. 已知方程为，则（ ） A. 若为圆方程，则该圆面积为 B. 若，则方程的焦距为1． C. 若为焦点落在x轴的椭圆，则实数m的取值范围为． D. 若，则方程渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆，椭圆，双曲线的条件，结合圆面积，椭圆焦距，双曲线渐近线方程的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若方程表示圆，则，解得，此时圆方程为，半径为， 该圆的面积为，故A正确； 对B：若，原方程为，其表示焦点在轴上的椭圆，， 故，解得，故焦距，B错误； 对C：若为焦点落在轴的椭圆，则，即，也即， 则实数的取值范围为，故C正确； 对D：若，原方程为，其表示焦点在轴上的双曲线，，， 则渐近线方程为，故D错误. 11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 平面平面PEF C. 异面直线CQ与BD所成角的余弦值为 D. 直线CQ与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，结合图象，即可判断A的正误；根据面面垂直的判定定理，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据线线角的向量求法，即可判断C的正误；根据线面角的向量求法，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由图象得 ，故A正确； 选项B：因为平面PEF，且， 所以平面PEF，因为平面， 所以平面平面PEF，故B正确； 选项C：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设异面直线CQ与BD所成角为，，则， 则异面直线CQ与BD所成角的余弦值为，故C错误； 由图象得平面的法向量， 设直线CQ与平面所成角，， 则 所以直线CQ与平面所成角的正弦值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为， 故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为， 则该正方体外接球的表面积. 13. 直线被圆截得的弦长为________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆的方程可知圆心和半径，结合垂径定理求弦长. 【详解】因为圆，即， 可知圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 所以截得的弦长为. 故答案为：8. 14. 若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，右焦点，设，结合双曲线定义，通过，，结合勾股定理，列出方程即可求解. 【详解】 设双曲线左焦点，右焦点，满足，离心率， 由，设， 则总长度，  的中点满足， ，因此是的中点 原点是中点，因此是的中位线， 得： ，且， 由双曲线定义：在双曲线右支，故， 代入得，因此， 是圆的弦中点，故， 由勾股定理： ，其中（半径），， 代入得： 展开化简得，，故， 由，，得，即是直角三角形， 由勾股定理： ， 代入，，， 得 化简得，即， 因此离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【小问1详解】 联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. 【小问2详解】 直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 16. 已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N． （1）求证：平面平面； （2）求异面直线MN与所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、、、，借助中位线性质及线面平行判定定理可得平面，平面，再利用面面平行判定定理即可得证； （2）借助等角定理可得异面直线MN与所成角的大小与直线与所成角的大小相同，再求出各边长可得该三角形为等边三角形，即可得解. 【小问1详解】 连接、、、， 由线段、BD的中点分别为点M、P、N， 则、， 又平面，平面， 平面，平面， 故平面，平面， 又，、平面， 故平面平面； 【小问2详解】 连接、，由（1）知，， 则异面直线MN与所成角即为直线与所成角， ，，， 则，故为等边三角形，故， 即异面直线MN与所成角的大小为. 17. 若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． （1）求抛物线E的方程； （2）求证：； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义确定顶点到焦点的距离最小，即可求解； （2）联立直线和抛物线方程，通过即可求证； （3）由三角形面积公式求得，再结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，设抛物线的方程为 ，准线是， 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即， 由条件得​，解得 ​， 因此抛物线E的方程为 ； 【小问2详解】 当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去； 当时，设，， 联立直线与抛物线方程， 将代入， 整理得： ， 由韦达定理得：，， ， 又，，所以， 因此， 故，得证； 【小问3详解】 的面积， 其中直线过点，故， 因此：， 所以​， 平方得： ， 又 ​，， 得：，解得， 即. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． （1）求证：平面PAB: （2）求二面角的大小； （3）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明平面. （2）通过建立空间直角坐标系求解法向量，再代入公式即可. （3）利用向量方法求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 平面平面，且平面平面，,平面， 平面，又平面，∴， 又且，平面， 平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面，， 又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则，， 又观察可知平面的法向量为， . 故二面角的大小为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，则，令，则，， 又，. 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 19. 若椭圆上的两个点满足，则称M、N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M、N互为共轭点，显然，对于椭圆上任意一点M，总有两个共轭点． 已知椭圆的焦点为，且离心率为，点是椭圆C上一动点，点A的两个共轭点分别记为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当点A坐标为时，求； （3）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点和离心率求出，进而求出椭圆方程； （2）利用共轭点对条件得出共轭点所在直线方程，联立直线与椭圆方程求出点坐标，最后利用两点间距离公式计算求解； （3）设点坐标，结合共轭点定义及斜率公式推出结论． 【小问1详解】 椭圆的焦点为，且离心率为， 则，，得，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 点的共轭点分别记为． 满足，，所以直线的方程为， 联立，得，所以， ，，. 【小问3详解】 点在椭圆上，，即， 由题意及（1）可知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入，得， 即，，，， ， 当时，，解得，故， 对应共轭点为，，此时，，得， 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $