7.1.2弧度制及其与角度制的换算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1.弧度制的定义 2.弧度与角度的换算公式 3.特殊角的弧度与角度互化 4.常见特殊角对应关系 5.弧长与扇形面积公式（弧度制下） 1.弧度制 在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量.类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量. 使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即 1∘=60′,1′= 1 . 使用角度来度量角，其关键是“等分”（把一个整体平均分成若干等份）.考虑到面积、体积等都可以通过线的长度（最终都能归到“长度”上去算，例如：圆面积=来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？（用长度的办法，来表示角有多大）. 60′′ 如图7-1-7是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？ 图7-1-7 将折叠扇抽象为如图7-1-8(1）所示的图形，可以看出，弧AB与弧A′B′都与角α对应，但α≠0∘时，它们的弧长AB与弧A′B′始终不相等，其原因在于OA≠OA′. 探究新知 一般地，如果角α是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图7-1-8(2）所示，则在旋转的过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角α.可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即 = = ⋯ = 定值. ⌒ ⌒ 图7-1-8(2） 事实上，设α=n∘，弧AB的长为l，半径OA=r，则l=2πr,因此 =n 图7-1-9 这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与 a 的大小有关.我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.因此， 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad．如图7-1-9 所示，因为AB的长等于半径r，所以AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角． ⌒ ⌒ 探究新知 如前所述，这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. 由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则 α= . 由此也可得到l=2 ，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积. 今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数.例如， α=2表示α是2rad 的角； sin表示rad的角的正弦. αr 2.弧度制与角度制的换算 （1）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？ （2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？ 尝试与发现 因为半径为r的圆周长为2πr，所以周角的弧度数是 =2π，于是360∘=2πrad，因此 180∘=πrad. 由此不难知道，0rad角就是0°角，它的终边在x轴的正半轴上；rad 角就是90°角，它的终边在y轴的正半轴上；πrad角就是180°角，它的终边在x轴的负半轴上； rad角就是270°角，它的终边在y轴的负半轴上．（将弧度数带入换算公式求角度数）   由此容易得到弧度制与角度制的换算公式： 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则（180° 对应弧度，n°对应多少弧度?) = 探究新知 例1 把30°, 45°,60°化成弧度（用π表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边. 解 设30°角的弧度数为α，则=，所以α=， 即30°=，对应的角的终边为图7-1-10中的射线OA. 类似地，有45°=3 ，60°=4 ，它们的终边分别为7-1-10中的射线OB,OC． 因为≈1.05，所以例1说明，1rad的角比60°小． 探究新知 例2 把化成角度数. 解 设 = n∘，则 =，因此n=180×85=288，即设 = 288∘ （将弧度数变成度数即将换成180∘，反之，将180∘换成） 探究新知 例3  利用弧度制推导扇形的面积公式 S=lr 其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径. 解 设扇形的圆心角为α rad，则扇形的面积为 S=πr2=αr2 （ ·πr²中的π换成180） 又因为l=αr，所以S=lr 练习A ①填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边. 度 0∘ 90∘ 135∘ 180∘ 225∘ 270∘ 315∘ 360∘ 弧度 45∘ 150∘ 0 2 微提醒 度化弧度乘以，弧度化度乘以 ②把下列各角度化为弧度（用含π的代数式表示）. （1）-240∘ ； （2）-225∘； （3）12∘ ； （4）1080∘； （5）22∘30′ ； （6）157.5∘. - ； -； ； 6； ； . 微提醒 带分的要先化为度 练习A ④时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ 解 时针每 12 小时转一圈（360∘），所以每小时转 360∘÷12=30∘。 分针每 1 小时转一圈（360∘） 时针：经过 4 小时，转过的角度：4×30∘=120∘（顺时针转动，角度为负），即−120∘。 转化为弧度：−120∘×​=−32π 分针：经过 4 小时，转过的角度：4×360∘=1440∘（顺时针转动，角度为负），即−1440∘。 转化为弧度：−1440∘×​=−8π。 练习A ⑤ 已知圆的半径为0.5m，分别求2rad,3rad的圆心角所对的弧长． 解 弧长公式：l=αr（其中α是圆心角的弧度数，r是半径）。 已知半径r=0.5 m： 当α=2 rad时： l=2×0.5=1 m。 当α=3 rad时： l=3×0.5=1.5 m。 小结 角度制 定义 用 “度” 作为单位来度量角的单位制 1度的角 1 度的角等于周角的​，记作1∘ 弧度制 定义 以 “弧度” 作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作1 rad（可省略不写） 弧度数的计算|α|= 弧度与角度的互化：180∘=πrad. 将弧度数变成度数即将换成180∘，反之，将180∘换成 角度化弧度乘以，弧度化度乘以 弧长公式：l=|α|r（0<|α|<2π)； l= 扇形的面积公式：S=lr=|α|r2; S== 巩固练习 1.将下列角度与弧度互化 （1）37∘30′ （2）-216∘ （3） （4）- 解析： （1）37∘30′= 37.5∘= 37.5 x = （2）-216∘= -216 x = - （3） = x 180∘ = 288 ∘ （4）- = - x 180∘ = -396 ∘ 微提醒： 1∘= 1rad=()∘ 巩固练习 2.已知角α=2005∘. ①将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角 ②在[-5π,0)内找出与α终边相同的角 解析①： α= 2005∘= 2005x rad = (5x2π+ )rad,又 π<<, ∴α与终边相同，是第三象限角. 微提醒： 判断α在第几象限，核心只要一件事：找到它的终边相同的最小正角。 巩固练习 2.已知角α=2005∘. ①将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角 ②在[-5π,0)内找出与α终边相同的角 解析②： 与α终边相同的角为2kπ+ （k∈Z）由-5π≤2kπ+ <0,k∈Z 知k=-1,-2,-3,∴在[-5π,0)内与α终边相同的角是，， 巩固练习 3.集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是 ( ) A B C D 当k为偶数时， 令k=2n(n∈Z) 则：2nπ+≤α≤2nπ+,这表示第一象限内从到的角 当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z) ，则：2(n+1)π+≤α≤(2n+1)π+ 即2nπ+≤α≤2nπ+,这表示第三象限内从到的角 所以这个集合表元的角的范围是第一象限和第三象限中对应的阴影部分，对应选项C C 巩固练习 4.用弧度表示终边落在阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合为： 解析： 因为终边落在OA处的角为2kπ+ ，k∈Z， 终边落在OB处的角为2kπ- ，k∈Z，所以终边落在阴影部分内的角θ的集合为 {θ|2kπ- θ<2kπ+ ,k∈Z} 巩固练习 5.已知集合A={α|2kπ≤α≤2kπ+ π,k∈Z}集合B={α|-4≤α≤4,k∈Z}，则 A∩B= . 解析： 当k=0时，A={α|0≤α≤π} 当k=-1时，A={α|-2π≤α≤-π} ∴利用venn图可知 A∩B=[-4,-π]∪[0,π] [-4,-π]∪[0,π] 提升练习 1.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. （1）若α=60∘，R=10cm，求扇形的弧长l； （2）已知扇形的周长为10cm，面积是4c㎡，求扇形的圆心角； （3）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1）因为α=60∘= ,所以l=α⋅R= ×10= (cm) (2)由题意得 解得，  （舍去）或 故扇形圆心角为 2R+αR=10 αR2=4 R=1 α=8 R=4 α= (3)由已知得l+2R=20，所以S=lR=(20−2R)R=10R−R2=−(R−5)2+25 所以当 R=5时，S取得最大值25，此时l=10,α=2.  提升练习 2．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形的面积为(     ) A.cm2 B.cm2 C.2cm2 D.cm2 解析： 由题知扇形所在圆的半径，则这条弧所在的扇r==4(cm) 扇形的面积S=×π×4=2π(cm2) 故选C. C 提升练习 2.［多选题］下列条件中，能使角α，β的终边关于y轴对称的是(   ) A.α+β=540∘ B.α+β=360∘ C.α+β=180∘ D.α+β=90∘ 解析： 假设角α，β为0°~180°内的角。如图所示．由角a和β的终边关于y轴对称，得α+β=180°。又根据终边相同的角的概念，可得α+β=k⋅360∘+180∘=(2k+1)180∘,k∈Z，所以满足条件的为A，C.故选AC. AC $