7.1.2 弧度制及其与角度制的换算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 角度制与弧度制 1 角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度 量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即 ， . 6 2 弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作 .如图7.1.2-1所示， 因为的长等于半径,所以所对的圆心角 就是1弧度的角. 图7.1.2-1 这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. 7 3 弧度数 由弧度制的定义可知，在半径为的圆中，若弧长为的弧所对的圆心角为 ， 则 .弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，（【知识剖析】弧度数是个比值， 只和角的大小有关.弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度）只与圆心角 的大小有关. 今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或 可以省去不写，而只写这个角 对应的弧度数. . . 8 4 弧度制的意义 任意角的弧度数与实数建立了一一对应的关系，每一个角都有唯一的实数与之 对应，该实数即为这个角的弧度数，如图7.1.2-2所示.（【教材链接】此处和右栏辨 析比较是对教材第9页【想一想】的回答） 图7.1.2-2 9 典例详解 【辨析比较】 角度制 弧度制 用度作为度量角的单位 用弧度作为度量角的单位 角的大小与半径无关 单位“ ”不能省略 单位“ ”可以省略 角的正负与旋转方向有关 六十进制 十进制 单位有度、分、秒，之间可进行换算 与实数一样进行运算 10 例1-1 [教材改编P12练习B T5] 已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长， 则这段弧所对的圆周角的弧度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】设此圆的半径为，则正方形的边长为 ，所以这段弧所对的圆心角的弧 度数为，则这段弧所对的圆周角的弧度数为 . 警示 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.注意本题所求的是圆周角的 弧度数. 11 知识点2 角度与弧度之间的换算 1 弧度制与角度制的换算公式 12 2 常用特殊角的角度与弧度 13 3 弧度制下的终边相同的角、象限角与轴线角的集合表示 （1）用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角 终边相同的角的一般形式为 .这些角所组 成的集合为 , }. 发散探讨 对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规 范的？ 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如 , 等写法都是不规范的，应写为 , . 14 （2）象限角的集合 象限角 集合表示 第一象限角 , } 第二象限角 , } 第三象限角 , } 第四象限角 , } （【教材链接】该表是对教材第13页【习题7-1B】第4题的回答） 15 （3）轴线角的集合 角的终边的位置 集合表示 终边在 轴正半轴上 , } 终边在 轴负半轴上 , } 终边在 轴正半轴上 , } 终边在 轴负半轴上 , } 终边在 轴上 , } 终边在 轴上 , } 终边在坐标轴上 , } （终边落在同一条直线上的角相差 的整数倍，终边落在同一条射线上的角相差 的整数倍） 16 典例详解 例2-2 [教材改编P10例1] 用弧度制表示为( ) C A. B. C. D. 【解析】 , . 点评 在后续学习中，我们也常见 . 17 例2-3 [教材改编P10例2] 把 化成角度是_______. 【解析】 , . 18 例2-4 [教材改编P12练习A T4] (2025·河南省项城市第三高级中学月考)时钟的分针 在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】分针每分钟转 ，则分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为 （分针、时针旋转形成的角度都是负角） ， ． 点评 进行角度与弧度的换算时，常把弧度写成多少 的形式，若无特别要求，切 不可进行近似计算，也不必将 化为小数. . . 19 例2-5 [教材改编P13习题7-1A T2] (2025·江苏省盐城市期末)若，则角 的 终边在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ， 所以 ， 故角 的终边在第三象限. 20 例2-6 [教材改编P13习题7-1B T4] 终边落在直线 上的角的集合可用弧度制表 示为_______________________. ，} 【解析】由题意可知，满足条件的集合为 ， ， ， 终边落在直线上的角的集合为 ， }. 21 知识点3 弧长公式与扇形面积公式 1 弧长公式 在半径为的圆中，若弧长为的弧所对的圆心角为，则 ，由此可得 ,此公式称为弧长公式，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积. 2 扇形面积公式 圆心角为的扇形面积为，所以圆心角为 的扇形面积 ,又因为,所以 ，此公式称为扇形面积公式. 22 3 弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 说明 是扇形的半径，是圆心角的角度数， 是圆心角的弧度数. 特别提醒 （1）弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式 是三角形底边上的高 有类似的形式,可对比记忆. （2）利用方程思想，可由 ，,, 中的两个量求出另外的两个量. 23 典例详解 例3-7 新情境 九章算术 (2025·辽宁师大附中月考) 《九章算术》是我国古代内容极 为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田 几何？”译成现代汉语，其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是 16步，问这块田的面积是多少（平方步）？计算可知，这块田的面积为( ) C A.60平方步 B.90平方步 C.120平方步 D.240平方步 【解析】因为弧长为30步，所在圆直径为16步，所以面积 （平方步）. 24 例3-8 [教材改编P12 T6] 已知扇形的半径，圆心角 ，则扇形的弧 长____,面积____ . 【解析】弧长 , 面积 . 25 题型解析 03 题型1 角度与弧度的换算 1 先换算再求解 例9 [教材改编P12练习B T4] 设 , ,, . （1）将, 用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； 【解析】 , ; . 【学以致用】写成的形式，注意 ,判断 所在象限 角的终边在第二象限，角 的终边在第四象限. 27 （2）将，用角度表示出来，并在 内找出与它们各自终边相同的 所有的角. 【解析】 . 设 ， ， , 或 . 在 内与角终边相同的角是 . 28 . 设 ， , , 或 . 在 内与角终边相同的角是 . 29 名师点评 牢记关系式 是角度与弧度换算的关键.在找与一个角终边相同 的角时，要注意由范围确定角的个数.一般地，在一个周角范围内只有一个满足题意 的角. 30 例10 [教材改编P13习题7-1A T3] 将 化成 （ ， （注意的范围） ）的形式是_ __________ 【解析】 . （此处只能是偶数，不能是奇数） 名师点评 表示终边相同角的集合时，注意角度制中是 ， ，弧度制 中是 ，，前者是 的整数倍，后者是 的偶数倍. . . . . 31 2 用弧度制表示给定区域角的集合 例11 用弧度表示终边落在图7.1.2-3（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的 角的集合. 图7.1.2-3 32 【解析】（1）如图7.1.2-3（1）， 角的终边与 角的终边相同，且 .（要熟记各特殊角的弧度值） 又 ，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 , }. （2）如图7.1.2-3（2），因为， ，这两个角 的终边在同一条直线上， 因此终边在直线上的角为, . 又终边在轴上的角为, ， 所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 , }. . . 33 易错警示 解答本题时常犯以下三种错误. （1）弧度与角度混用； （2）终边在同一条直线上的角未合并； （3）将图7.1.2-3（1）中所求的角的集合错误地写成 , },这是一个空集. 34 角度与弧度互化问题的注意点 （1）角度与弧度的互化关系式为 ，即角度数 弧度数，弧度数 角度数. （2）将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为 “度”表示，再利用 将其化为弧度. 35 【变式题】 1.（1）将 表示成的形式，则 的最小值为( ) D A. B. C. D. 【解析】,故和 终边相同的角可表示 为,或,，要使最小，则,此时 ,故选D. 36 （2）已知角 的终边与角的终边相同，则在内与角 的终边相同的角为 ____________. ，， 【解析】因为角 的终边与角的终边相同，所以 ,所以 .由，得，1，2.所以当 ,1,2时， 有,， 满足条件. 37 2.(2025·福建省泉州市第七中学开学考试)集合 , }中角 所表示的范围（阴影部分）是( ) C A. B. C. D. 38 【解析】当时，（【思路】对 分奇偶讨论，结合终边相同的角的定 义判断即可）, ， 此时 表示的范围与 表示的范围一样； 当时,, , 此时 表示的范围与 表示的范围一样. . . 39 题型2 扇形弧长公式、面积公式的应用 1 弧度数的确定 例12 (2025·安徽省淮南二中月考)若扇形的面积是，它的周长是 ，则扇形 圆心角（正角）的弧度数为( ) A A. B. C. D. 40 给什么得什 么 设扇形的半径为，弧长为，由已知得解得 或 求什么想什 么 要求扇形的圆心角，想到弧长公式 . 差什么找什 么 直接代入公式可求得或.因为 ,所以 不 合题意，所以 . 41 名师点评 有关扇形的弧长、圆心角 、面积 的题目，一般是知二求一.解此类问 题的关键在于灵活运用， 这两个公式，采用方程思想加以解决． 2 扇形的弧长与面积 图7.1.2-4 例13 新情境 圆材埋壁 (2025·上海市复旦大学附属中学期末)我 国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问 题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯 道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一根不确定大小的圆 柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图7.1.2-4所示．用锯去锯 这木材，若锯口深，锯道，则图中 的长 度为( ) B A. B. C. D. 43 【解析】设截面圆半径为，则，， . 又 ， 即，解得 ， ，即 ， 的长度为 ． 44 3 扇形周长或面积的最值问题 母题 致经典·母题探究 例14 已知扇形的周长为定值，当该扇形面积取得最大值时，圆心角（正角）为___. 2 【解析】 设扇形的圆心角为 ，半径为，周长为，面积为 ，（缺什么， 设什么，不要怕有未知数） 则有, ,（给什么，用什么，将题中所给条件转化到位） .（求什么，写什么，将要求的量写出来，才能一 探究竟） 45 又，当且仅当，即 时等号成立．（注意基本 不等式的应用） 故当时，有最大值，为 ． 设扇形的半径为，弧长为，圆心角为 ，周长为，面积为 ，则 ， , 【另解】等价变形，然后用基本不等式求解， ,（注意二次函数的 妙用） . . 46 当时，有最大值，为 . 又当时，， ． 故当时， 有最大值． 命题探源 扇形最值问题中的特殊角 本题中没有提供任何实质性数据，扇形的周长虽然确定，但不知数为几何，所以一 定要大胆设，大胆写，方能柳暗花明.本题所求出的圆心角是一个十分经典、特殊的 角 ，针对该角的变式，接下来我们进行一下研讨. 47 子题 (2025·湖南省宁远县第一中学月考)已知扇形的面积，则扇形周长 最小时，扇 形的半径 ___. 1 【解析】设扇形弧长为 ， 扇形面积， ， 周长，（基本不等式的应用）当且仅当时 此时 取等号. 当时，周长 最小. . . . . 48 归纳总结 扇形的面积为，周长为，弧长为，半径为，圆心角的弧度数为 , 为定值有最大值，为定值有最小值，此时都有， . 据此我们可以发现，有关扇形面积和周长的最值题目，万变不离其宗，都可以通过 ， 快速求解相关题目. 49 运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题 （1）由扇形的弧长及面积公式可知，对于 ,,, 中“知二求二”的问题，其实质上是 方程思想的运用. （2）运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多.若 角是以“度”为单位的，通常先将其化成弧度，再计算. （3）在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式. ,,;, . （4）解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题 转化为求函数的最值问题即可. 50 【变式题】 3.(2025·安徽省芜湖市期末)一个扇形的面积为 ,弧长为 ,则这个扇形的圆心角 为( ) D A. B. C. D. 【解析】设扇形的圆心角为 ,半径为,则解得 故扇形的圆心 角为 . 51 4.(2025·北京市人大附中期中)若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形 的周长为( ) C A.1 B.2 C.4 D.6 【解析】设扇形的半径为，圆心角为 ，则弧长 ， 所以，扇形的面积，解得或 （舍去），所以 ， 则该扇形的周长为 . 52 5.某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. （1）若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积. 【答案】设该扇形菜地的半径为，弧长为 ， 则解得 故该扇形菜地的面积（米 ）. 53 （2）当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大？最大是多少？ 【答案】因为，所以 ， 则 . 当时， 取得最大值36， 此时，从而 . 故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积最大，最大为36平方米. 54 题型3 与弧度有关的实际问题 图7.1.2-5 例15 砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树 梨花开，游客八方来．如图7.1.2-5（1），梨花 广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计 的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看 作由两个对称的弓形组成，图7.1.2-5（2）为其 中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的 B A. B. C. D. 半径为，弦长为 ，则一个“花瓣”的面积为 ( ) 55 【解析】因为弓形（弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）的圆弧所在圆 的半径为，弦长为 ， 所以弓形的圆弧所对的圆心角为 ， 所以弓形的面积 ， 所以一个“花瓣”的面积为 ． . . 56 图7.1.2-6 例16 (2025·河北辛集中学月考)某单位拟建一个扇环面形状的花 坛（如图7.1.2-6所示），该花坛是由以点 为圆心的两个同心圆 弧和延长后通过点 的两条直线段围成．按设计要求花坛的周长 为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径 为米，圆心角为 （弧度）． （1）求 关于 的函数关系式； 【解析】由题意得， ， . 57 （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米， 弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比值为，求关于 的 函数关系式，并求出为何值时， 取得最大值. 58 【解析】花坛的面积为 ， 装饰总费用为 ， 花坛的面积与装饰总费用的比值 ， 令 , 则 （注意基本不等式的再次出现，可见其是求 解弧长、面积最值，甚至其他量最值的“利器”） ， 当且仅当，即时，取得最大值，为，此时， ． 故当 时，花坛的面积与装饰总费用的比值取得最大值． . . 59 新考法 数学文化 图7.1.2-7 例17 新情境 会圆术 (2022·全国甲卷) 沈括的《梦溪笔谈》是中 国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如 图7.1.2-7，是以为圆心，为半径的圆弧，是 的中点， 在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值 的计算公 式：.当, 时， ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知，是等边三角形，所以.连接，因为是 的中点，所以，，又,所以,, 三点共 线，【破题点】明晰,,三点共线才可求解所以 ，所 以 ． . . . . . . 60 数学文化赏析 《梦溪笔谈》是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现 象的综合性笔记体著作.《梦溪笔谈》中的会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用 的近似公式，沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这 便是会圆术公式.沈括是我国数学史上由弦、矢给出弧长公式的第一人,此公式在圆心 角不超过 时,所得弧长的相对误差小于 . 61 核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是研究三角函数的基础，较少直接考查，若考查，一般以选择题、填空题 的形式呈现，涉及的考点为弧度制与角度制的换算、弧长与扇形面积公式的应用、 终边相同的角的表示、象限角的判定，试题难度不大，更多的是与后续学习的内容 （三角函数的图象与性质）综合起来考查，试题难度中等及以上. 核心素养：数学运算（弧长、面积的计算），直观想象（借助图形分析边长关系）. 62 考向 扇形的面积与弧长公式 图7.1.2-8 例18 (新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习，学生加工制 作零件，零件的截面如图7.1.2-8所示. 为圆孔及轮廓圆弧 所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点， 是圆 弧与直线的切点，四边形为矩形， ， 垂足为，,, , ,到直线和的距离均为,圆孔半径为 ,则图中阴影部分的面 积为_ ______ . 63 给什 么得 什么 如图7.1.2-9，连接，由是切点知 . _________________________________________________________ 由是切点及知 且 . 图7.1.2-9 64 给什 么得 什么 由到直线和的距离均为，可过分别作垂直直线于点 ， 垂直直线于点，交于点，则， . 又，于是 . 于是 是等腰直角三角形， 于是， . 求什 么想 什么 要求阴影部分的面积，即要求扇形,及 的面积 ，其关键在于求 的值. 续表 65 差什 么找 什么 注意还有条件,可过点作于 ，如图7.1.2-9所示， 不妨设,则 , 于是, , 而 为等腰直角三角形， 因此,于是,即，于是 ， 由于,因此 . 于是 . 续表 66 高考新题型专练 图7.1.2-10 1.新情境 玉佩饰品 ［多选题］ (2025·吉林省长春市期 末)玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉 佩如图7.1.2-10（1）所示，其平面图形可以看成扇形的 一部分（如图7.1.2-10（2）），已知 ， ，则( ) ACD A. B.的长为 C.该平面图形的周长为 D.该平面图形的面积为 67 【解析】如图D 7.1.2-1，分别延长与,交于点，易得 ，得 ，所以为等边三角形，，所以 ， 故A正确.的长为，故B错误.该平面图形的周长为 ，故C正确. 该平面图形的面积为，故D正确.故选 ． 图D 7.1.2-1 68 2.［多选题］ (2025·河南省信阳市新县高级中学适应性考试)如图7.1.2-11，， 是 在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点在处，质点 在第一象限，且 ．质点以的角速度按顺时针方向运动，质点同时以 的角 速度按逆时针方向运动，则( ) BD 图7.1.2-11 A.经过后，扇形的面积为 B.经过后，劣弧的长为 C.经过后，质点的坐标为 D.经过后，质点， 在单位圆上第一次相遇 69 【解析】由题意可知，经过后，，所以此时扇形 的面积为 ，故A错误； 经过后，，所以此时劣弧的长为 ， 故B正确； 经过后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角 的 终边与单位圆的交点，所以质点的坐标为， ，故C错误； 经过后，质点转过的角度为，质点 转过的角度为 ，因为 ，所以经过后，质点， 在单 位圆上第一次相遇，故D正确．故选 ． 70 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.下列各对角中，终边相同的是( ) C A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】在弧度制下，终边相同的角相差 的整数倍. 72 图7.1.2-1 2.新情境 二十四节气 二十四节气是中华 民族上古农耕文明的产物，是中国农历中 表示季节变迁的24个特定节令．如图7.1.2- 1，每个节气对应地球在黄道上运动 所到达的一个位置．根据描述，从立冬到 立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的 弧度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相对应为地球在 黄道上逆时针运行了 ，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动的弧 度数为 ． 73 图7.1.2-2 3.(2025·陕西省宝鸡市岐山高级中学期中)如图7.1.2-2， 单位圆与轴相切于原点，该圆沿 轴向右滚动， 当小猫头鹰第一次位于最上方时，其对应 轴的位置 正好是 ，若在整个运动过程中当圆 滚动到与出 发位置时的圆相外切时（此时记圆心为 ），此时小 猫头鹰位于处，圆与轴相切于点，则劣弧 所对应的扇形面积是( ) A A.1 B.2 C. D. 74 【解析】由圆与圆外切，得 ， 又圆、圆与轴分别相切于原点和点，则，依题意，圆沿 轴 向右无滑动单位圆滚动半圈后，对应轴位置正好是地滚动，因此劣弧 的长等 于 的长2， 所以劣弧所对应的扇形面积是 . . . 75 4.［多选题］(2025·黑龙江省哈尔滨市期末)下列角度与弧度转化结果正确的是 ( ) ABD A. 化成弧度是 B.化成角度是 C. 化成弧度是 D.化成角度是 【解析】对于A，；对于B， ；对于 C，；对于D， . 76 图7.1.2-3 5.如图7.1.2-3所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与 轴的非负 半轴重合，终边落在阴影部分内的角 的集合为 _ _________________________________. ，} 【解析】如题图所示， 角的终边与 角的终边相同， 将 化为弧度，即，而 ，则所求集 合， }. 6.(2025·山东省诸城第一中学月考)已知一扇形的圆心角是 ，弧长是 ，则这个 扇形的面积是___. 【解析】 弧长 , , . 77 7.(2025·河南省南阳市六校联盟期中)已知某半径小于 的扇形 ，其周长是 ，面积是 ． （1）求该扇形的圆心角的弧度数； 【答案】依题意设半径为，弧长为，则 解得 故该扇形的圆心角的弧度数为 . 78 （2）求该扇形中所含弓形的面积． 【答案】由（1）可得在中，, , 所以，边上的高为 ， 所以 ， 故该扇形中所含弓形的面积 ． 79 高考模拟 05 建议时间：35分钟 8.新情境 密位制 (2025·北京市第一六一中学期中)角的度量除了有角度制和弧度制 之外，还有军事上的密位制，密位制的单位是密位（密位可省略） 密位等于周角 的，即 密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位 数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成 ，123密位写 成.设圆的半径为1，那么 密位的圆心角所对的弧长为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为1密位等于周角的 ， 所以密位的圆心角为 ， 又圆的半径为1，所以弧长 ． 81 9.设集合,,,},则， 之间的关系为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ,,又, 是奇数， 是整数， . ，,,,,, , ， ,,,,0,,,, ,,, . 82 10.新考法 新定义题 定义“”是将角的终边按照逆时针方向旋转与角 的终 边重合所转动的最小正角，则 等于( ) C A. B. C. D. 【解析】与终边相同的最小正角为,由此 . 83 11.［多选题］若一个扇形的半径增加为原来的2倍，且弧长也增加为原来的2倍，则 ( ) AD A.扇形的圆心角大小不变 B.扇形的面积不变 C.扇形的圆心角增加到原来的2倍 D.扇形的面积增加到原来的4倍 【解析】设扇形的半径为,扇形的弧长为,则扇形的圆心角,面积 .当半径 增加为原来的2倍，弧长也增加为原来的2倍时，扇形的圆心角 ，即 大小不变;面积 ,即面积增加到原来的4倍. 84 12.如图7.1.2-4，是正三角形，曲线叫作正三角形的渐开线，其中 ， ，所对的圆心依次是，，，如果，那么曲线 的长是_____. 图7.1.2-4 【解析】正三角形中，， , , , 曲线的长是 . 85 13.新情境 九章算术 (2025·河南省驻马店市新蔡县第一高级中学月考)《九章算术》 是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公 式：弧田面积弦×矢矢 ．弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所 对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧 田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于 米的弧田． （1）计算弧田的实际面积； 【答案】由题意知，弧田所在扇形的圆心角为，弦长等于 米，则该扇形的半 径 （米）, 该扇形的面积为米 . 故弧田的实际面积米 . 86 （2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田 实际面积相差多少？ 取3，取 【答案】 圆心到弦的距离等于1 米， 矢长为1 米. 按照题中弧田面积的经验公式计算得 弦×矢矢米 . 两者之差为米 . 故按照弧田面积的经验公式计算所得结果比弧田实际面积少0.1 米 . 87 图7.1.2-5 14.(2025·山东省泰安市摸底考试)圆的半径为1， 为圆周上一 点，现将如图7.1.2-5放置的边长为1的正方形（正方形的顶点 和 点重合），沿着圆周逆时针滚动.若从点 离开圆周的这一刻开 始，正方形滚动至使点 再次回到圆周上为止，称正方形滚动了 一周，则当点第一次回到点 的位置时，正方形滚动了___轮， 此时点 走过的路程为_ ______. 3 88 图D 7.1.2-1 【解析】因为圆的半径，正方形的边长 ，所以以正 方形的一边为弦时所对应的圆心角为 ,正方形在圆周上滚动时， 点的位置如图D 7.1.2-1所示，正方形顶点将圆周6等分，4和6的 最小公倍数为,故点首次回到点 的位置时，正方形滚 动了3轮.设第次滚动点走过的路程为 ,则 ,,, ，所 以点走过的路程为 . 89 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 90 $