7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

弧度制及其与角度制的换算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 7.1.2 课时目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.掌握角度与弧度的互化. 2.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　弧度制 逐点清(二)　弧度制与角度制的换算 逐点清(三)　弧长公式与扇形 面积公式 课时跟踪检测 4 逐点清(四)　弧度制下终边相同的 角的表示及其应用 5 逐点清(一)　弧度制 01 1.度量角的两种制度 多维理解 角度制 定义 用_____作单位来度量角的制度称为角度制 规定 1度等于60分，1分等于60秒 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制 1弧度 的角 长度等于_______的圆弧所对的_______为1弧度的角，记作______ 度 半径长 圆心角 1 rad 2.弧度数的计算 |微|点|助|解| 角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十 进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. (　　) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大. (　　) 微点练明 √ √ √ × 2.下列说法正确的是 (　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 √ 解析：对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 3.时针经过四个小时，转过了 (　　) A. rad B.- rad C. rad D.- rad √ 解析：因为时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为-2π rad， 所以时针经过四个小时，转过了·(-2π)rad=- rad. 4.若α=-2 rad，则α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：∵-π< -2<-，∴α是第三象限角.故选C. 逐点清(二)　弧度制与角度制 的换算 02 1.弧度制与角度制的换算公式 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则=______. 多维理解 2.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 度数×=弧度数 弧度数×=角度数 360°=_______ 2π rad=______ 180°=_______ π rad=______ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=度≈57.30° 2π rad 360° π rad 180° |微|点|助|解|　　角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°=π rad， 充分利用1°= rad，1 rad=°进行换算. (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad=°；n°=n· rad. 1.(多选)下列转化结果正确的是 (　　) A.72°化成弧度是 B.-π化成角度是-660° C.-150°化成弧度是-π D.化成角度是15° √ 微点练明 √ 解析：因为72°=72×=，所以A正确.因为-π rad=-600°， 所以B不正确.因为-150°=- rad，所以C不正确.因为 rad=15°，所以D正确. 2.教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转的弧度数为 (　　) A.- B. C.- D. √ 解析：将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针15°， 其大小为-15°，故时针需要旋转-弧度. 3.将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45°     120° 135° 150°     360° 弧度             π   答案： 角度 0° 30° 45° ___ ___ 120° 135° 150° ____ ____ 360° 弧度 ___ ___ ___ ___ ____ ____ π ___ 60° 90° 180° 270° 0 2π 4.若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为_______________.  +　- 解析：设这两个角的弧度数分别为α，β，α>β.因为1°= rad， 所以则 即这两个角的弧度数分别为+-. 5.已知α=，β=，γ=1，θ=55°，则α，β，γ，θ按从小到大排列为__________.  β<θ<α<γ 解析：∵θ=55°=55×=，∴β=<θ=<α=<γ=1. 逐点清(三)　弧长公式与扇形 面积公式 03 1.弧长及扇形的面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，其圆心角为α(|α|≤2π)， 角度数为n(0°<n<360°)，则 多维理解 　　　公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l=____ (|α|≤2π) S=____=|α|r2(|α|≤2π) |α|r lr 2.扇形弧长、面积公式的变形运用 (1)l=|α|r⇒|α|=，r=. (2)S=|α|r2⇒|α|=. |微|点|助|解| (1)在弧度制中，弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度. 1.在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为 (　　) A. B. C.9π D.10π √ 微点练明 解析： l===. 2.(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则 (　　) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积变为原来的4倍 D.扇形的圆心角变为原来的2倍 √ √ 解析：设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则原扇形的面积为S1=lr.扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为S2=·2l·2r=2lr，故S2=4S1，故A错误，C正确；由α==，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误. 3.已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 √ 解析：设扇形的弧长为l，半径为r，所以扇形的面积为·l·r=3.所以lr=6.又扇形的周长为l+2r，所以l+2r≥2=4， 当且仅当即l=2r=2时，取等号. 4.如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24 cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若 的长为 cm，则每个扇环形小拼盘的面积为(　　) A.45 cm2 B. cm2 C. cm2 D.189 cm2 √ 解析：如图，设小圆的圆心为O，则OC=OD=12 cm， 设OA=OB=R，因为每个扇环形小拼盘对应的圆心角 为α==，所以 的长为αR= cm， 解得R=30 cm，所以每个扇环形小拼盘的面积为S扇形OAB-S扇形OCD=××302-××122=(cm2). 逐点清(四)　弧度制下终边相同的 角的表示及其应用 04 [典例]　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π. (1)判断它是第几象限角； 多维理解 解： -1 125°=-1 125×=-=-8π+.因为<<2π，所以是第四象限角.所以-1 125°是第四象限角. (2)在[-4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 解：依题意，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z. 由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z，知k=-2，-1，0，1. 所以所求角的集合为. |思|维|建|模| 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值. 1.下列各角中，终边相同的角是 (　　) A.π和240°　　　　　 B.-和314° C.-π和π D.3和3° 针对训练 √ 解析：对于A，=120°，不合题意；对于B，-=-36°，314°-(-36°) =350°，不合题意；对于C，π-=4π，符合题意； 对于D，3≈3×57.30°=171.90°，171.90°-3°=168.90°，不合题意. 2.用弧度制表示终边在图中阴影区域 内角的集合(包括边界)，并判断2 025° 是不是这个集合的元素. 解：因为150°=，270°=，所以终边在阴影区域内角的集合为S=. 因为2 025°=225°+5×360°=+10π rad， 又<<，所以2 025°=∈S. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.把化成角度制是(　　) A.36° B.30° C.24° D.12° √ 解析：由角度制与弧度制的互化知，π rad=180°. 所以 rad=°=36°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 2.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设150分钟后时针与分针的夹角为α(0<α≤π)，则α= (　　) A. B. C. D. √ 解析： 150分钟后是7：00整，时针指向7，分针指向12， 所以α=2π-=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 3.用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：因为150°=150×=，所以与150°角的终边相同的角的集合为. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 4.已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为(　　) A. B. C. D. √ 解析：由S=|α|r2，得=×α×12，解得α=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 5.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角，则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 √ √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 解析： 1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A错误. 因为<5<2π，所以5弧度是第四象限角.B正确.因为α是第一象限角，即2kπ<α<2kπ+，k∈Z，所以-2kπ-<-α<-2kπ，k∈Z， -2kπ<-α<-2kπ+，k∈Z.所以-α也是第一象限角.C正确. 因为-1弧度角是负角，所以不是锐角.D错误. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 6.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意知，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 7.如图，圆O的半径为1，劣弧AB的长为，则阴影部分的面积为(　　) A.- B.- C.- D.- √ 解析：因为劣弧AB的长为，所以α=.则S扇形AOB=lr=××1=，S△AOB=×1×1×sin=，所以阴影部分的面积为-. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 8.(多选)已知α与β是终边相同的角，且β=-π，那么可能是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ √ 解析：α与β是终边相同的角，且β=-π，故α=-π+2kπ，k∈Z.故=-π+kπ，k∈Z.当k=2n，n∈Z时，=-π+2nπ，n∈Z，是第四象限角；当k=2n+1，n∈Z时，=π+2nπ，n∈Z，是第二象限角.综上所述，可能是第二或第四象限角. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 9.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ，k∈Z} C.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° D.第三象限角的集合为 √ √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 解析：终边落在x轴的非负半轴的角的集合为，故A正确；由于角度制和弧度制不能混用，故B错误； 所有与45°角终边相同的角可以表示为，则在-720°~0°范围内，取k=-2，-1，得α=-675°，α=-315°，故C正确；第三象限角的集合为，故D错误. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 10.(5分)-105°化为弧度为______，化为角度为_____.  -π 660° 解析：-105°=-105×=-π，π=×180°=660°. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 11.(5分)扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的弧长为______，面积为_____.  π π 解析：因为60°=，所以扇形的弧长为l=|α|·r=×=π， 面积为S=lr=×π×=π. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 12.(5分)若2π<α<4π，且角α的终边与角-的终边垂直，则角α=________.  或 解析：如图，不难发现与角-的终边垂直的角有两类： 一类是与角的终边相同，此类角可表示为+2kπ(k∈Z)； 另一类是与角的终边相同，此类角可表示为+2kπ(k∈Z). 故当k=1时，+2π=∈(2π，4π)，+2π=∈(2π，4π). 综上可知，α=或α=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 13.(15分)用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在图中阴影部分内的角的集合. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 解：题图①中，在-360°~0°内，以OB为终边的角为-30°角， 化为弧度为-，75°=75×=，设终边落在题图①中阴影部分内的角为θ，则. 题图②中，在-360°~0°内，以OB为终边的角为-135°角， 化为弧度为-，135°=135×=，设题图②中终边落在阴影部分的角为β，则. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 14.(15分)已知一个扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α=60°，R=10 cm，求扇形的面积；(3分) 解：由α=60°=，得扇形的面积S=αR2=××102=(cm2). (2)若扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；(5分) 解：由解得α=或α=18.因为0<α<2π，所以α=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 3 4 2 (3)若扇形的周长为定值C，当α为多少弧度时，该扇形面积最大?并求出最大值.(7分) 解：由2R+αR=C，得R=，则S=αR2=α·=·. 由0<α<2π，得S≤·=，当且仅当α=2时，等号成立. 故当α=2时，扇形面积有最大值. 13 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $