精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华2025-2026学年高一上学期期末数学试题

绿城育华学校2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 命题人：郑观宝 审核人：何杭杰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集概念求出答案. 【详解】. 故选：D. 2. 是（ ） A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第一象限角 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】与终边相同的最小正角为位于第三象限，所以是第三象限角. 3. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，根据解析式的特征，选择特殊值代入即可判断选项. 【详解】函数， 当时, ，所以排除C、D选项； 当时, ，所以排除A选项； 故选：B. 4. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为， 所以， 所以. 5. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数的零点与单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，， 当或时，， 又不等式可转化为或， 即或，即不等式的解集为. 6. 已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由解析式知在定义域上单调递增，且， 所以的零点在，故. 7. 若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，结合命题为真命题，可得不等式，利用单调性求出的最大值即可. 【详解】由已知，为真命题， 则对于恒成立， 所以, 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，所以. 8. 已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】作函数图象，数形结合求解. 【详解】令，解得， 因为，所以， 作出函数，直线图象，如图， 由图象可知，直线与函数图象有3个交点， 所以的根有3个，即满足条件的实数a的值的个数为3个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 有1个零点是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦函数的性质，利用函数解析式，求函数最小正周期和值域验证选项AB；代入检验法判断对称轴和零点验证选项CD. 【详解】， 对于A，的最小正周期为，故A选项正确； 对于B，，所以，故B选项正确； 对于C，，其中，故C选项错误； 对于D，，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 关于x一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 或 B. 不存在，使得 C. 若，则 D. 已知，且，则或3 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用判别式、根与系数关系列方程或不等式，结合基本不等式及分式型函数性质求参数范围，判断各项的正误. 【详解】由题意或，A对， 且，则，B对， 由，则，且，故， 在上单调递减，所以，C对， 由，则，可得或 又，则无解，故无解，D错. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是偶函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由偶函数的定义知，则，定义域为， 此时，满足题设，所以. 13. 不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，则，故解集为. 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的单调性及已知列不等式求参数范围. 【详解】，且，则， ，所以，则， 由且， 所以或，故或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）化简： ． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【详解】（1）； （2）. 16. 已知函数． （1）化简函数的解析式并求的值； （2）求函数的单调递增区间； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵ ∴， 【小问2详解】 由，得， 即在上单调递增， 所以函数单调递增区间是； 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求b的值与函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； （3）若，使成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1），且 （2）函数在上为增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，结合单调性化简，然后分离参数转化求函数最值，即可得参数范围． 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即， 所以，则，且； 【小问2详解】 函数在上是增函数， 证明如下： 由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以，又，，所以， 即，所以函数在上是增函数； 【小问3详解】 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是增函数，故， 所以，使成立， 因为， 因为，所以有最小值0，所以， 故的取值范围为. 18. 如图，杭州某大学在即将投入使用的校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段ABCQ，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段QD；第三部分可近似看作是以O为圆心，以4为半径的扇形DOE，其圆心角为. （1）求曲线段ABCQ的解析式； （2）若新校门位于图中的B点，且点B到直线AE的距离为3千米，求B点坐标； （3）若点P在劣弧上（不含端点），，E为垂足，若将区域设为学生休息区域，并在其周围拉起隔离线，记，求隔离线的总长度L（即周长）的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知，，利用求出，再代入点即可求得解析式； （2）由已知及（1）所得解析式求出B点坐标； （3）由已知用表示出相关线段长，利用三角恒等变换化简得关于的关系式，最后由正弦函数的性质求最大值. 【小问1详解】 由图易知，，又，则，又，所以， 所以曲线段的解析式为，. 【小问2详解】 因为B点离的距离为3千米，则设， 所以，则， 因为，所以， 所以，故，则. 【小问3详解】 依题意，，，，， 在中，，， 则， 所以，则，故， 所以. 19. 设二次函数． （1）若且，解不等式（结果用含字母a的集合表示）； （2）若且存在，使得在区间上的值域也为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）分析出函数在区间上单调递减，可得出，两式作差可得出，代入等式组并化简可知、是关于的一元二次方程在上两个不等实根，结合二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由，则， 所以， 因为是二次函数，所以， 当时，，解原不等式得或， 当时，，解原不等式得， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 由于，则函数在区间上单调递减， 又因为在区间上的值域也为， 所以，可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 将代入，得， 所以、是关于的一元二次方程在上两个不等实根. 所以，解得， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绿城育华学校2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 命题人：郑观宝 审核人：何杭杰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是（ ） A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第一象限角 D. 不能确定 3. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 10. 已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 有1个零点是 11. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A 或 B. 不存在，使得 C. 若，则 D. 已知，且，则或3 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是偶函数，则_____________． 13. 不等式的解集为_____________． 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）化简： ． 16. 已知函数． （1）化简函数的解析式并求的值； （2）求函数单调递增区间； 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求b值与函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； （3）若，使成立，求实数k的取值范围. 18. 如图，杭州某大学在即将投入使用的校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段ABCQ，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段QD；第三部分可近似看作是以O为圆心，以4为半径的扇形DOE，其圆心角为. （1）求曲线段ABCQ的解析式； （2）若新校门位于图中的B点，且点B到直线AE的距离为3千米，求B点坐标； （3）若点P在劣弧上（不含端点），，E为垂足，若将区域设为学生休息区域，并在其周围拉起隔离线，记，求隔离线总长度L（即周长）的最大值. 19. 设二次函数． （1）若且，解不等式（结果用含字母a的集合表示）； （2）若且存在，使得在区间上的值域也为，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $