精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华学校2024-2025学年高一上学期期末数学试题

数学学科试题卷 出卷人：冯叶 审核人：何杭杰 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数性质求出集合，即可求交集. 【详解】由可得，， 所以，所以， 又，所以， 故选：C. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求点到坐标原点距离，结合三角函数定义求结论. 【详解】因为点的坐标为， 所以点到原点距离， 所以. 故选：D. 3. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接判断即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 4. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的定义可得，根据指数函数单调性可得，，即可得结果. 【详解】因为，，，即， 所以. 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和正弦和余弦公式及同角三角函数的基本关系式可化简三角函数式. 【详解】原式 ． 故选：C. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断； 【详解】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 7. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及在上的单调性作答. 【详解】对于A，函数的定义域为R，是增函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，是奇函数，并且在上单调递减，B是； 对于C，函数的定义域为，是奇函数，并且在上单调递减，C是； 对于D，函数的定义域为R，是偶函数，D不是. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. 函数（，且）过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由不等式的性质结合充分必要条件即可判断；对于B，由不等式的解集以及韦达定理即可验算；对于C，由基本不等式结合其取等条件是否满足即可判断；对于D，根据指数函数的性质，令的指数等于0即可判断． 【详解】对于A，若，满足，但是；若，满足，但是； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于B，由题意可知，，2是的两根，且， 则，解得，，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，显然等号不成立，故C不正确； 对于D，令，则，所以，所以函数过定点，故D正确． 故选：BD. 11. 已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数图象，结合图象可得的范围，再由，即可求得的取值范围。 【详解】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出， 所以选项A正确，B错误； 由于，所以，即， 所以，又在单调递增， 因此，所以选项C正确； 由于，所以，所以， 又在上单调递增，所以，所以选项D正确。 故答案为：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过指对互化，结合对数换底公式完成计算. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 13. 函数的定义域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 若正实数满足：则最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三元均值不等式求最值. 【详解】因为 所以，（当且仅当，即时取等号） 因此即 即当时，取最小值，为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）. （2）若，求的值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数恒等式及对数的运算性质计算即可； （2）运用诱导公式进行化简，在进行齐次化即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，所以 又因为 所以 16. 已知函数. （1）求函数最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2）最小值为,最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角函数周期公式求周期，根据余弦函数单调区间列不等式，可得结果； （2）先确定取值范围，再根据余弦函数性质求最值. 【小问1详解】 所以函数的最小正周期为， 由得 即函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为 因此当时，取最小值，为， 当时，取最大值，为. 17. 已知函数（其中a，b为常量，且，）的图象经过点，． （1）求函数的解析式． （2）若不等式在实数R上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两个点坐标代入函数解析式即可； （2）变换得到，设，计算函数 的最大值即可. 【小问1详解】 因为函数过，， 则，， 解得，，或，（舍）， 故； 【小问2详解】 因为，即， 令，，则，所以， 设，则，所以， 故实数的取值范围. 18. 两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数； （2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在；出该点到城的距离为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再由当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为求出即可； （2）由（1）得，令，换元后由基本不等式求解即可； 【小问1详解】 由为直径，得，所以， 由已知可得， 又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为， 即当时，， 代入上式可得，解得， 所以. 【小问2详解】 存在， ， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，此时. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3）时，函数与的“偏差”取最小值. 【解析】 【分析】（1）写出解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【小问1详解】 （1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学学科试题卷 出卷人：冯叶 审核人：何杭杰 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. -1 B. C. D. 3. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“函数在区间上单调递增”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. 函数（，且）过定点 11. 已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，满足，则的值为________． 13. 函数定义域为_____． 14. 若正实数满足：则最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）. （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值. 17. 已知函数（其中a，b为常量，且，）的图象经过点，． （1）求函数解析式． （2）若不等式在实数R上恒成立，求实数m的取值范围． 18. 两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数； （2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$