10.1～10.2 分式的概念、分式的基本性质 新课预习讲义（知识点梳理+常考题型+巩固测试题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

10.1～10.2 分式的概念、分式的基本性质 新课预习讲义 （苏科版） ★ 新课预习目标 1.理解分式的概念，能判断一个式子是否为分式； 2.掌握分式有意义、无意义、值为0的条件； 3.理解并会用分式的基本性质进行简单变形、计算. ☘ 重点知识梳理 ◉【知识点一、分式的核心概念】 1.分式分式:形如的代数式叫做分式。(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0） 关键：判定条件： （1）形式是两个整式相除的商式，分子A可为任意整式，分母B必须是整式； （2）分母B中必须含有字母； （3）分母B的值不能为0. 2.分式有意义的条件:分母≠0，若分式有意义，则B≠0。 3. 分式无意义的条件:分母=0，若分式无意义，则B=0。 注意：无意义只看分母，与分子无关 4. 分式值为0的条件：分子=0 且 分母≠0 ◉【知识点二：分式的基本性质】 1.分式基本性质:分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.公式表示：(M≠0，M为整式) 注意：所乘/除的整式M不能为0，否则分式无意义 3.分式的约分:把分式分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 约分步骤： （1）分解分子、分母的因式（提公因式、套公式）； （2）找出最大公因式（系数取最大公约数，相同因式取最低次幂）； （3）分子、分母同除以公因式，化为最简分式. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，约分最终结果必须是最简分式 5.分式的通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 关键：找最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的乘积） 6.如何找最简公分母： （1）系数取各分母系数的最小公倍数； （2）相同字母（因式）取最高次幂； （3）单独字母（因式）连同指数照抄。 ◉【知识点三、易错提示】 (1)分子分母只能同乘/除非零整式，不能同加/同减，否则分式值改变； (2)约分、通分前必须先因式分解，杜绝盲目约分； (3)分母含相反数因式时，先变形统一符号，再找公因式/公分母； (4)约分时只能约去公因式，不能约掉单独的项. ✏ 常见考点精讲精练 题型1.分式的判断 例1．在、、、、中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分母中含有字母的式子称为分式，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，在、、、、中，分式有、，共2个． 变式1．某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，分式的表示，设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，可得逆流时船的实际速度为千米/时，再由路程不变即可列代数式． 【详解】解：设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此， ∵逆流时船的实际速度为千米/时， ∴由路程不变得从乙地返回甲地时间为， 故答案为：． 变式2．阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【分析】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 题型2.分式的规律性问题 例2．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 变式1．观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式：__________________________． （2）写出第n个等式：__________________________． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项探究规律，写出第个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 【详解】解：（1）第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：． 第个等式为：， 故答案为：； （2）， 证明： ， ， ∴左边=右边， 故答案为：． 变式2．已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． (1) ；（用含的代数式表示） (2) ．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查代数式的规律探索，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意代入计算即可； （2）根据题意，找出规律，求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 所以； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ， ， ， ， ， …， 所以每6项为一循环． 因为， 所以． 故答案为：． 题型3.分式有意义的条件 例3．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】∵分式有意义的条件为分母不等于0， 分式的分母为， ∴， 解得， 故选：B． 变式1．函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 变式2．自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 【答案】，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，则可推出，根据平方的非负性可得当，即时，的值不可能为0，据此可得答案． 【详解】解：，且分式总有意义， ∴ ， 当，即时，的值不可能为0， 当时，不论取何实数，分式总有意义． 题型4.分式的求值 例4．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，，据此求出，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：C． 变式1．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键． 设，得到，代入分式求值即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ∴ ． 故答案为：． 变式2．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例5．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 变式1．已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 变式2．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 题型6.求使分式值为整数时未知数的整数值 例6．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 变式1．已知的计算结果是整数，则整数n的值有______个． 【答案】 10 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可．通过分解3200的质因数，将原式化为指数形式，分析指数满足整数的条件，确定n的取值范围并计数． 【详解】解：∵， ∴． 当时， ； 当时， ． ∴． ∵该式为整数，n为整数， ∴整数n共10个值． 故答案为：10． 变式2．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 题型7.求使分式变形成立的条件 例7．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 变式1．若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作差法解答即可； （2）去分母，化简解答即可． 本题考查了作差法比较大小，分式的化简，熟练掌握大小比较，分式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ∵n，a，b都是正整数， ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）解：根据题意，得， 去分母，得 去括号，得， 化简得． 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 例8．如果把分式中的a，b都变成原来的2倍，那么分式的值（   ） A．是原来的 B．不变 C．是原来的2倍 D．是原来的4倍 【答案】B 【分析】将原分式中的a，b替换为，化简新分式后与原分式比较，即可得出结论． 【详解】解：把分式中的a，b都变成原来的2倍，代入得： ， 新分式与原分式相等，分式的值不变． 变式1．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 变式2．阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 题型9.将分式的分子分母各项系数化为整数 例9．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 变式1．已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 变式2．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式值不变．根据分式的性质，将原式分子分母同时乘以10，即可解答． 【详解】解：． 题型10.约分 例10．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式的判断，需根据最简分式的定义（分子与分母没有非零公因式的分式），逐一分析各选项的分子分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式； ∵选项B中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式； ∵选项C中，在初中范围内无法分解因式，分子与分母无公因式，不能约分，∴是最简分式； ∵选项D中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式． 故选：C 变式1．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 变式2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 题型11.最简公分母 例11．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 变式1．分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键． 【详解】解：分式中，分母为， 分式，分母为， 分式，分母为， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 变式2．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 题型12.通分 例12．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 变式1．计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了通分，约分，分解因式，负整数指数幂，将负指数转化为分式形式，然后把分母利用平方差公式分解因式，再约分后把分母通分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．元元从家到学校的路程为，无风时她骑车的速度为．如果风速为，那么她顺风时从家到学校需多长时间?逆风时从家到学校需多长时间?分别用含的式子表示出来．如果两式的分母不同，要进行通分． 【答案】她顺风时从家到学校需，逆风时从家到学校需， 【分析】本题考查了列代数式，分式的通分，根据题意列出代数式，进而根据分式的性质通分即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：她顺风时从家到学校需， 逆风时从家到学校需， ∵与的最简公分母是， ∴通分得． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式． 【详解】解：A选项的分母是常数2，不含字母，属于整式； B选项的分母是含字母x的整式，符合分式定义； C选项的分母是常数3，π是常数，属于整式； D选项是多项式，属于整式； 故选：B． 2．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 3．如果分式的值为0，那么应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0的条件． 分式的值为0，需分子为0且分母不为0，得到分子且分母，进而计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解得且， 即， ∴且． 故选：A． 4．如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 5．下列各式由左到右的变形正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的变形及分式的基本性质，需根据相关规则逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】A选项： ，该变形正确，符合题意； B选项： ，该变形错误，不符合题意； C选项： ，该变形错误，不符合题意； D选项： 分式的基本性质要求分子分母同乘的数不为0，当时，，分式无意义， 该变形不一定成立，错误，不符合题意； 故选：A． 6．将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 二、填空题 7．计算______． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算和分式的化简，根据约分的法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．若分式无意义，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：4． 9．若，则__________． 【答案】 【分析】将已知等式变形拆分，利用等式的性质整理计算即可求出的值． 【详解】解：根据分式的运算法则，对已知等式变形得：， 根据等式的性质移项得：． 10．分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 11．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 12．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 三、解答题 13．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 14．当，1，时，分别求分式的值． 【答案】当时，分式的值为；当时，分式的值为；当时，分式的值为． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 15．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息， 的取值 1 c 不存在 分式的值 无意义 0 1 (1)根据表格中提供的信息，求出a、b、c的值． (2)根据表格中信息，求被遮盖的数字． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查分式的值、分式有意义和无意义的条件，分式方程无解的情况，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先根据分式无意义的条件求出a的值，再根据时，分式的值为0求出b的值，最后根据分式的值为1求出x的值，即可得到c的值，即可解题； （2）设被遮盖的数字为，得到分式方程，结合表格信息推出该分式方程无解，将该分式方程去分母转化为整式方程后，分两种情况讨论：①整式方程的解是原分式方程的增根，②整式方程本身无解，即可解题． 【详解】（1）解：分式无意义时，， ， 解得， 时，分式的值为0， ， 解得， 当时， 有， 解得， 经检验使得， 是方程的解， ， 综上所述，，，； （2）解：设被遮盖的数字为， 则有， ， ， ， ， 又此时的取值不存在，即该方程无解， ①当该方程有增根时，即时， 有， 该方程无解； ②当该方程本身无解时， ， ， 解得， 即被遮盖的数字为． 16．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 【答案】天 【分析】此题考查了列分式，首先求出物资总量，然后除以每天运送的吨数即可求解． 【详解】∵运输一批物资，原计划每天运，n天运完 ∴物资总量为， ∵实际每天比原计划多运， ∴实际每天运送， ∴实际运输了天． 17．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 18．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1～10.2 分式的概念、分式的基本性质 新课预习讲义 （苏科版） ★ 新课预习目标 1.理解分式的概念，能判断一个式子是否为分式； 2.掌握分式有意义、无意义、值为0的条件； 3.理解并会用分式的基本性质进行简单变形、计算. ☘ 重点知识梳理 ◉【知识点一、分式的核心概念】 1.分式分式:形如的代数式叫做分式。(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0） 关键：判定条件： （1）形式是两个整式相除的商式，分子A可为任意整式，分母B必须是整式； （2）分母B中必须含有字母； （3）分母B的值不能为0. 2.分式有意义的条件:分母≠0，若分式有意义，则B≠0。 3. 分式无意义的条件:分母=0，若分式无意义，则B=0。 注意：无意义只看分母，与分子无关 4. 分式值为0的条件：分子=0 且 分母≠0 ◉【知识点二：分式的基本性质】 1.分式基本性质:分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.公式表示：(M≠0，M为整式) 注意：所乘/除的整式M不能为0，否则分式无意义 3.分式的约分:把分式分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 约分步骤： （1）分解分子、分母的因式（提公因式、套公式）； （2）找出最大公因式（系数取最大公约数，相同因式取最低次幂）； （3）分子、分母同除以公因式，化为最简分式. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，约分最终结果必须是最简分式 5.分式的通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 关键：找最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的乘积） 6.如何找最简公分母： （1）系数取各分母系数的最小公倍数； （2）相同字母（因式）取最高次幂； （3）单独字母（因式）连同指数照抄。 ◉【知识点三、易错提示】 (1)分子分母只能同乘/除非零整式，不能同加/同减，否则分式值改变； (2)约分、通分前必须先因式分解，杜绝盲目约分； (3)分母含相反数因式时，先变形统一符号，再找公因式/公分母； (4)约分时只能约去公因式，不能约掉单独的项. ✏ 常见考点精讲精练 题型1.分式的判断 例1．在、、、、中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1．某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）． 变式2．阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 题型2.分式的规律性问题 例2．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 变式1．观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式：__________________________． （2）写出第n个等式：__________________________． 变式2．已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． (1) ；（用含的代数式表示） (2) ．（用含的代数式表示） 题型3.分式有意义的条件 例3．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．函数中自变量的取值范围是_____． 变式2．自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 题型4.分式的求值 例4．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．若，则______． 变式2．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例5．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 变式1．已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 变式2．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 题型6.求使分式值为整数时未知数的整数值 例6．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 变式1．已知的计算结果是整数，则整数n的值有______个． 变式2．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 题型7.求使分式变形成立的条件 例7．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则的值为__________． 变式2．已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 例8．如果把分式中的a，b都变成原来的2倍，那么分式的值（   ） A．是原来的 B．不变 C．是原来的2倍 D．是原来的4倍 变式1．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 变式2．阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 题型9.将分式的分子分母各项系数化为整数 例9．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个． 变式2．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． 题型10.约分 例10．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 变式2．已知，求代数式的值． 题型11.最简公分母 例11．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 变式1．分式，，的最简公分母是______． 变式2．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 题型12.通分 例12．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 变式1．计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 变式2．元元从家到学校的路程为，无风时她骑车的速度为．如果风速为，那么她顺风时从家到学校需多长时间?逆风时从家到学校需多长时间?分别用含的式子表示出来．如果两式的分母不同，要进行通分． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 3．如果分式的值为0，那么应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 5．下列各式由左到右的变形正确的是（    ） A．B．C． D． 6．将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算______． 8．若分式无意义，则的值为_____． 9．若，则__________． 10．分式与的最简公分母为____． 11．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 12．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 三、解答题 13．通分： (1)，； (2)，，． 14．当，1，时，分别求分式的值． 15．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息， 的取值 1 c 不存在 分式的值 无意义 0 1 (1)根据表格中提供的信息，求出a、b、c的值． (2)根据表格中信息，求被遮盖的数字． 16．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 17．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 18．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $