第七章 专题4 平行线中的“拐点”问题 （五大模型）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题4：平行线中的“拐点”问题 目录：第一部分：方法总结 第二部分：五大模型讲解 第三部分：过关测试 方法总结：当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点----拐点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题． 模型一：“猪蹄”模型 例题：如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的关系，并说明理由． 变式：复合猪蹄型 例题：如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°. 则∠BED=　　　　.  模型一拓展：“超级猪蹄”模型 例题：(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？ (2)如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？请直接写出结论． 模型二：“铅笔头”模型 例题：如图，如果AB//CD ，那么∠BAP+∠APC+∠PCD= . 模型二拓展：“超级铅笔头”模型 例题：（临汾期末）如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是 ． 变式：（晋中期中改编）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动.如图，已知AB//CD ，按图中规律，当两平行线间出现n 个折角时，∠1+∠2+⋯+∠n= _________________（用含n 的式子表示）. 模型三：“鹰嘴”模型 例题：已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点． (1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由； (2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由． 过关测试 1．（2026九上·长沙期末）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图①为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图②所示的图形，已知滑雪杖AB 和滑雪板DE 平行，滑雪杖AB 与大腿BC 的夹角为 ，小腿CE 与滑雪板DE 的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为(　　) A．80° B．90° C． D． 2．（2026八上·深圳期末）五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，将一副三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（　　) A．30° B．40° C．60° D．80° 4.（湖北中考）如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=45°，则∠2=　　　　.  5.（黄冈中考）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ ． 6.（2026七上·吉林期末） 如图，直线，过点作于点，与直线相交于点，测得，则的大小为　 　. 7.（生活应用）如图是一款长臂折叠LED护眼灯的示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为　 　°. 8.（2026八上·惠来期末）如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：； （2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，请说明和之间的关系； （3）如图3，已知，，则与有什么关系，请说明理由． 9.（2026八上·深圳期末） 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手。下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图。其中，，，。 （1）求的度数； （2）若，，，，求证：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4：平行线中的“拐点”问题 目录：第一部分：方法总结 第二部分：五大模型讲解 第三部分：过关测试 方法总结：当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点----拐点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题． 模型一：“猪蹄”模型 例题：如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的关系，并说明理由． 解：∠BED＝∠B＋∠D. 理由如下： 过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF. ∵AB∥CD， ∴EF∥CD. ∴∠DEF＝∠D. ∵∠BED＝∠BEF＋∠DEF， ∴∠BED＝∠B＋∠D. 变式：复合猪蹄型 例题：如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°. 则∠BED=　　　　.  【60°】解法一: 连接BD,过F作FG∥AB,由AB∥CD,得到FG∥AB∥CD,∴∠ABF=∠BFG,∠CDF=∠DFG,∵∠BFD=120°,∴∠ABF+∠CDF=120°,∠FBD+∠FDB=60°,∵BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,∴∠EBF+∠EDF=(∠ABF+∠CDF)=60°,∴∠EBD+∠EDB=∠EBF+∠EDF+∠FBD+∠FDB=120°,∴∠BED=60°. 解法二: 作EM∥AB,FN∥AB,如图,设∠ABE=∠EBF=∠BEM=x,∠CDE=∠EDF=∠DEM=y,则∠BED=x+y,∠BFD=2x+2y=120°,可得∠BED=60°. 模型一拓展：“超级猪蹄”模型 例题：(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？ (2)如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？请直接写出结论． 解：(1)过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD. ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD. ∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D. ∴∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D， 即∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D. (2) ∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En. 模型二：“铅笔头”模型 例题：如图，如果AB//CD ，那么∠BAP+∠APC+∠PCD= . 【360°】 模型二拓展：“超级铅笔头”模型 例题：（临汾期末）如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是 ． 【540°】 变式：（晋中期中改编）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动.如图，已知AB//CD ，按图中规律，当两平行线间出现n 个折角时，∠1+∠2+⋯+∠n= _________________（用含n 的式子表示）. 模型三：“鹰嘴”模型 例题：已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点． (1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由； (2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由． 解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下： 过点E作EF∥AB. 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD. ∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF. ∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF， ∴∠B＝∠BED＋∠D. (2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下： 过点E作EF∥AB. 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD. ∴∠B＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF＝∠DEB＋∠BEF＝∠BED＋∠B. 即∠CDE＝∠B＋∠BED. 过关测试 1．（2026九上·长沙期末）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图①为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图②所示的图形，已知滑雪杖AB 和滑雪板DE 平行，滑雪杖AB 与大腿BC 的夹角为 ，小腿CE 与滑雪板DE 的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为(　　) A．80° B．90° C． D． 【答案】D 【知识点】猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【分析】过点C作，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠BCD和∠ECM的度数，然后根据角的和差解答即可． 2．（2026八上·深圳期末）五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，将一副三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴； 又，， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】 根据平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出，再根据平角的定义计算角度解答即． 3．如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（　　) A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【知识点】邻补角；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：如图，过点C作CM∥AB， ∵ DF∥AB ， ∴CM∥DF， ∴∠BAC+∠ACM=180°，∠MCE+∠CEF=180°， ∴∠BAC+∠ACM+∠MCE+∠CEF=360°， 即∠BAC+ ∠ACE+∠CEF=360°， ∵ ∠BAC＝120°，∠ACE＝100°， ∴∠CEF=140°， ∴ ∠CED＝ 180°-∠CEF=40°. 故答案为：B. 【分析】根据平行线性质得∠CEF的度数，再根据邻补角的定义得 ∠CED 的度数. 4.（湖北中考）如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=45°，则∠2=　　　　.  【15°】如图,过三角板的60°角的顶点F作EF∥AB,∴∠EFG=∠1=45°,∵∠EFG+∠EFH=60°,∴∠EFH=60°-∠EFG=60°-45°=15°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠2=∠EFH=15°. 5.（黄冈中考）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ ． 【30°】 6.（2026七上·吉林期末） 如图，直线，过点作于点，与直线相交于点，测得，则的大小为　 　. 【答案】160°50' 【知识点】作图-平行线；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD//m， ∵直线m//n， ∴AD//m//n ∴∠3+∠BAD=180°，∠2+∠CAD=180°， ∵AB⊥n， ∴∠3=90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠CAD=∠1-∠BAD=19°10'， ∴∠2=180°-19°10'=160°50'. 故答案为：160°50'. 【分析】过点A作AD//m，则AD//m//n，根据平行线的性质得到∠3+∠BAD=180°，∠2+∠CAD=180°，由垂线的定义可得∠3=90°，据此求出∠BAD的度数，进而求出∠CAD的度数，则可得到答案. 7.（生活应用）如图是一款长臂折叠LED护眼灯的示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为　 　°. 【答案】100 【解析】【解答】解：∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°. 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠BCD＋∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°. ∵∠DEF＝120°，∠BCD＝110°， ∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF－∠HEF＝120°－90°＝30°，∠CDG＝180°－110°＝70°. ∴∠CDE＝∠CDG＋∠GDE＝100°. 【分析】构建平行线，根据平行线的性质及角度计算得 ∠CDE的度数 . 8.（2026八上·惠来期末）如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：； （2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，请说明和之间的关系； （3）如图3，已知，，则与有什么关系，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图1，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2），里有如下， 证明：如图2， 由（1）可得， ∵的平分线与的平分线相交于点Q ∴， ∴ ∴。 （3），理由如下： 证明：如图3， 由（1）可得，； ∵， ∴ ∴ 【解析】【分析】（1）过点P作，结合条件得出，然后根据“两直线平行、内错角相等”可得，，然后结合图形并代入即可得出答案； （2）由（1）得出，；然后根据角平分线的定义推出，，进而计算可求出； （3）由（1）得出，；然后结合条件，，代入计算可求出。 （1）如图1，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． （2）如图2， 由（1），可得 ， ∵的平分线与的平分线相交于点Q ∴， ∴ ∴ （3）如图3， 由（1），可得 ， ∵， ∴ ∴ 9.（2026八上·深圳期末） 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手。下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图。其中，，，。 （1）求的度数； （2）若，，，，求证：。 【答案】（1）设， 则 ，， ，解得 … （2）如图，过点作直线 ，， … ， ， … 又、， 【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用。 （1）先根据两直线平行同旁内角互补，得到与的关系，再结合已知的角度比和的度数，列出关于的方程，求解后根据邻补角的性质求出； （2）先延长交于点，利用三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，结合周角的性质求出的度数，验证与为同旁内角且互补，证明，再结合，利用平行公理的推论证明。 1 学科网（北京）股份有限公司 $