第七章 相交线与平行线 专题五平行线的拐点问题2025—2026学年人教版 数学七年级下册

第七章《相交线与平行线》 专题五 平行线的拐点问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 思考：如图，AB∥CD，被直线EF所截，拐点P可以所以移动，拐点P有哪些去处？可以出现哪些图形，请你画一画。 例1.如图，AB//CD,探究∠B，∠P，∠C之间的数量关系 解：过P点作PE∥AB. ∴∠BPE+∠B=180° ∵AB//CD ∴∠CPE+∠C=180° ∴∠BPE+∠B+∠CPE+∠C=360° ∵∠P=∠CPE+∠BPE ∴∠B+∠P+∠C=180° 拓展：如图1：AB//CD，则∠1+∠2= 180° ； 如图2：AB//CD，则∠1+∠2+∠3= 360° ； 如图3：AB//CD，则∠1+∠2+∠3+∠4= 540° ； 如图4：AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n= 180°(n-1)． 例2.如图，AB//CD,探究∠B，∠P，∠C之间的数量关系E 解：过P点作PE∥AB. ∴∠BPE=∠B ∵AB//CD ∴∠CPE=∠C ∴∠CPE+∠BPE=∠B+∠C ∵∠P=∠CPE+∠BPE ∴∠P=∠C+∠B 拓展：（1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？相等 (2)如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？请直接写出结论.相等 例3.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠C 的数量关系，并说明理由.（你有几种方法？） 解1：过C点作CE∥AP交AB于点E. ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE. ∴ ∠A+∠P=∠AEC+∠PCE. ∵AB∥CD， ∴ ∠ECD=∠AEC. ∴∠A+∠P =∠ECD+∠PCE=∠PCD. 解2：过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD， ∴ EP∥CD. ∴∠EPC=∠C. ∴ ∠APE+∠APC=∠EPC= ∠C， 又 ∠APE=∠A， ∴∠A+∠APC =∠C. 归纳小结： 2． 课堂训练 1.如图所示，等边三角形的顶点，分别在直线，上若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，．是等边三角形，，． 2.如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：过三角形的角的顶点作，如图： ， ， ， ，， ， ． 故选：． 过三角形的角的顶点作，先根据平行线的性质即推出，进而求出，再根据平行线的性质即可求出的度数． 本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，内错角相等是解决问题的关键． 3.如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上．若，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.空竹在中国有悠久的历史，明代帝京景物略一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为    提示：可过点画的平行线再计算． A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 5.如图，已知，，，，则          ． 【答案】  6.如图，已知，，，，则          ． 【答案】  7.如图，，则          ． 【答案】  8.如图，已知，，平分，平分，，          ． 【答案】  9.如图，，，，则           【答案】  【解析】如图，记与的交点为． 因为，所以因为，所以，所以因为，所以． 一题多解 如图，过点作， 因为，， 所以，所以， 所以， 所以． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 如图，，证明请完成下面的推理过程． 证明：过点作直线，使得． 已作，           两直线平行，同旁内角互补． 又已知，                                 ， ．           等量代换． 【答案】 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行，内错角相等 【解析】证明：过点作直线，使得． 已作，两直线平行，同旁内角互补． 又已知， 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 两直线平行，内错角相等． ，． 等量代换． 11.本小题分 如图，，，，，求的度数． 【答案】解：，，． ． ，， ． 12.本小题分 如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点． 如图，点在线段上，，，则 ______； 如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由； 若点在，两点的外侧运动时点与点，不重合，，，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【答案】解：， 如图，过点作， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， ； 不成立， 如图： ， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； 如图： ， 理由：过点作， ， ， ， ， ．  【解析】过点作，根据平行线的性质即可得到，，，根据，即； 过点作，根据平行线的性质即可得到，，，根据，可得； 根据的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，，图中根据，可得；图中，根据，可得． 13.已知． 如图，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由． 若． 如图，若，求的度数； 如图，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)∠AEC+∠C-∠A＝180°  理由：如图①，过点E作EM// AB．∵AB// CD，∴AB// EM// CD．∴∠AEM＝∠A，∠MEC+∠C＝180°．∴∠AEM+∠MEC+∠C＝∠A+180°，即∠AEC+∠C-∠A＝180°．  (2)①如图②，过点F作FN// AB．∵AB// CD，∴AB// FN// CD．∴∠C+∠NFC＝180°．∴∠C＝180°-∠NFC．由（1），得∠E+∠EFN-∠A＝180°，∴∠E＝180°-∠EFN+∠A．∴∠C+∠E＝180°-∠NFC+(180°-∠EFN+∠A)，即∠C+∠E＝360°-(∠NFC+∠EFN)+∠A＝360°-∠EFC+∠A．∵∠EFC＝100°，∠A＝24°，∴∠C+∠E＝360°-100°+24°＝284°  ②   为的平分线，为的平分线，，如图，过点作，，设，，则易得，，又易知，，，． 14.本小题分如图甲，、是两条射线，为夹在这两条射线之间的一点，连接和，作和的平分线相交于点． 旋转射线，使，并调整点的位置，使，如图乙，求的度数 当时，再调整点的位置如图丙，猜想并证明与有何等量关系 如图丁，若射线、交于一点，其他条件不变，猜想、和之间满足什么样的等量关系请直接写出你的结论． 【答案】(1)解:AB//CD, BAC+ACD=, AQ平分BAC,CQ平分ACD, CAQ=BAC,ACQ=ACD, CAQ+ACQ=(ACD+BAC)==, AQC=; (2)APC=2AQC.理由如下: 延长AP交CD于点E,延长AQ交CD于点F, AB//CD, BAQ=CFQ,AEC=BAE, AQ平分BAP,CQ平分PCD, BAE=2BAQPCE=2QCF, APC=PCE+PEC =PCE+BAE =2QCF+2BAQ =2(QCF+BAQ) =2(QCF+CFQ), AQC=QCF+CFQ, APC=2AQC;(3)2AQC=APC+ARC.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章《相交线与平行线》 专题五 平行线的拐点问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 思考：如图，AB∥CD，被直线EF所截，拐点P可以所以移动，拐点P有哪些去处？可以出现哪些图形，请你画一画。 例1.如图，AB//CD,探究∠B，∠P，∠C之间的数量关系 拓展：如图1：AB//CD，则∠1+∠2= ； 如图2：AB//CD，则∠1+∠2+∠3= ； 如图3：AB//CD，则∠1+∠2+∠3+∠4= ； 如图4：AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n= ． 例2.如图，AB//CD,探究∠B，∠P，∠C之间的数量关系 拓展：（1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？ (2)如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？请直接写出结论. 例3.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠C 的数量关系，并说明理由.（你有几种方法？） 归纳小结： 2． 3． 4． 5． 6． 7． 2． 课堂训练 1.如图所示，等边三角形的顶点，分别在直线，上若，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(    ) A. B. C. D. 3.如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上．若，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 4.空竹在中国有悠久的历史，明代帝京景物略一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为    提示：可过点画的平行线再计算． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 5.如图，已知，，，，则          ． 6.如图，已知，，，，则          ． 7.如图，，则          ． 8.如图，已知，，平分，平分，，          ． 9.如图，，，，则           10.如图，，证明请完成下面的推理过程． 证明：过点作直线，使得． 已作，           两直线平行，同旁内角互补． 又已知，                                   ， ．           等量代换． 11.如图，，，，，求的度数． 12.如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点． 如图，点在线段上，，，则 ______； 如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由； 若点在，两点的外侧运动时点与点，不重合，，，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 13.已知． 如图，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由． 若． 如图，若，求的度数； 如图，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 14.本小题分如图甲，、是两条射线，为夹在这两条射线之间的一点，连接和，作和的平分线相交于点． 旋转射线，使，并调整点的位置，使，如图乙，求的度数 当时，再调整点的位置如图丙，猜想并证明与有何等量关系 如图丁，若射线、交于一点，其他条件不变，猜想、和之间满足什么样的等量关系请直接写出你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $