1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第三节 等比数列 课时1 等比数列的概念及其通项公式 【一课一练】 教材必备知识精练 知识点1 等比数列的判定 4年1考 1.下列数列一定是等比数列的是( ) A.数列1，2，6，18， B.数列中，, C.常数列,, ,, D.数列中， 2.（多选）已知数列， 都是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是( ) A. B. C.｛｝ D. 答案：AC 3.（多选）[2025广东深圳龙城高级中学期中]下列说法正确的有( ) A.若，，成等差数列，则，， 成等差数列 B.若，，成等差数列，则，， 成等比数列 C.若，，成等比数列，则，， 成等差数列 D.若，，成等比数列，则，， 成等比数列 4.已知数列的前项和 . （1）求数列 的通项公式. （2）讨论的值，说明数列 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由. 5.在等比数列中，首项，公比，若，则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.[2025浙江杭州模考]若等比数列满足， ，则 数列的公比 ( ) A.或 B.或 C. D. 7.[2025北京市第十五中学期中]在正项等比数列中，是， 的等差中项，则 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 8.（多选）[2025云南昆明一中期中]已知正项等比数列的公比为 ，若，且 ，则( ) A. B. C.是数列中的项 D.，， 成等差数列 9.[2025天津市耀华中学段考]已知数列的通项公式为 ，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列 ， ， ，， ，其中，则数列 的通项公式为( ) A. B. C. D. 10.已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比 ___. 【变式：三个数变四个数】设四个实数成等比数列，其积为 ，中间两项之和为，则公比 ___________________. 知识点3 等比数列的函数特性 4年1考 11.设命题若数列是公差不为0的等差数列，则点 必在一次函数图象上；命题若正项数列 是公比不为1的等比数列，则点 必在指数函数图象上.下列说法正确的是( ) A.，均为真命题 B.， 均为假命题 C.真假 D.假 真 12.[2025天津南开中学月考]设等比数列的公比为，则“ 且”是“ 是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.【教材习题1-3A组T4变式】（多选）已知等比数列的首项为 ，公比为，则下列能判断 为递减数列的有( ) A.， B.， C.， D.， 知识点4 等比数列的性质的应用 4年1考 14.[2025山东青州一中期中]在等比数列中，，公比，则 与 的等比中项是( ) A.4 B. C. D. 15.[2025广东汕头期末]已知等比数列中的各项均为正数，且 ，则 ( ) A.5 B.10 C.4 D. 16.[2025福建漳州期中]若是等比数列，且 ，，则 ( ) A.64 B.128 C.256 D.512 【变式：“和”变“积”】在等比数列中，, ，则 ( ) A.48 B.72 C.144 D.192 17.在等比数列中，，.若取出数列 中所有序号是偶数的各项，依次构成新数列，则__；若从数列 的首项起每隔6项取出一项依次构成新数列，则 ______. 18.已知函数，数列是公差为2的等差数列，且 ，若，则 ____. 知识点5 构造等比数列求通项公式 19.已知数列中，,,则 _ ____. 20.已知数列满足，，则 _ ____. 21.［2025江西南昌二中月考］已知数列满足， ，则数列的通项公式为 ______. 22.在数列中,,,且 . （1）证明: 为等比数列; （2）证明数列为等比数列，并求数列 的通项公式. 学科关键能力构建 1.[2025黑龙江省实验中学月考]已知数列为等比数列，其中， 为方程的两根，则 ( ) A. B. C. D. 2.[2025河北石家庄期末]在正项等比数列中，若 ，，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 【变式】[2025河南漯河期末]在正项等比数列 中，若，，则 ____. 3.【新情境】 中国明代著名律学家朱载堉在《律学新说》中提出了十二平均律，钢琴是根据十二平均律来定音的.在钢琴的键盘上，音,,,,,,, , , ,,（如图）的频率（单位： ）恰好构成一个等比数列， 的频率正好是那么频率为 的音是( ) A. B. C. D. 4.（多选）已知数列是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若， ，则( ) A. B. C. D. 5.【新定义】（多选）若一个数列的第项等于这个数列的前 项的乘积，则称该数列为“积数列”.若各项均为正数的等比数列 是一个“2 025积数列”，且 ，则( ) A. 是递减数列 B. C. D.当前项的乘积最大时, 6.[2025江苏泰州期中]记为数列的前项和，已知 ，且为公差为2的等差数列，则数列的通项公式为 _ _______. 7.[2025重庆调考]已知正项等比数列满足 ，若存在两项，使得，则 的最小值为____. 8.[2025八省（区）联考]已知数列中，, . （1）证明：数列 }为等比数列； （2）求 的通项公式； （3）令，证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第三节 等比数列 课时1 等比数列的概念及其通项公式 【一课一练】 教材必备知识精练 知识点1 等比数列的判定 4年1考 1.下列数列一定是等比数列的是( ) A.数列1，2，6，18， B.数列中，, C.常数列,, ,, D.数列中， 答案：D 【解析】 对于A,， ，故不是等比数列；对于B，前3项可构成等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列；对于C，当 时，不是等比数列；（ 注意等比数列中每一项均不为0.）对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列.故选D. 2.（多选）已知数列， 都是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是( ) A. B. C.｛｝ D. 答案：AC 【解析】 设等比数列,的公比分别为,，其中， ，对任意的，，.对于A， ， 故数列为等比数列，正确；对于B，不妨取 ， ，则数列， 都是等比数列，但，故数列 不一定是等比数列，B错误；对于C，，故｛ ｝为等比数列，C正确；对于D，不妨取，，则数列, 都是等比数列，但，故数列 不一定是等比数列，D错误. 3.（多选）[2025广东深圳龙城高级中学期中]下列说法正确的有( ) A.若，，成等差数列，则，， 成等差数列 B.若，，成等差数列，则，， 成等比数列 C.若，，成等比数列，则，， 成等差数列 D.若，，成等比数列，则，， 成等比数列 答案：ABD 【解析】 若，，成等差数列，则 ，所以，所以 ，，成等差数列，A正确； 若，， 成等差数列，则，又，，均为正数，且 ，所以，，成等比数列，B正确； 若，， 成等比数列，如 取，则，，均无意义（若,, 均为正数，则该选项正确.），C错误；若，，成等比数列，则，， 均不为零，且，所以，即，， 成等比数列，D正确. 4.已知数列的前项和 . （1）求数列 的通项公式. 【解析】 当时， . 因为，所以当时，符合 ，故 ； 当时，,不符合，故 综上，当时,;当时， （2）讨论的值，说明数列 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【解析】 由（1）可知，当时，， ，此时数列 是以2为首项，3为公比的等比数列；当时，不符合，此时数列 不是等比数列. 知识点2 等比数列中基本量的计算 4年8考 5.在等比数列中，首项，公比，若，则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D 【解析】 因为，所以 ， 所以 .故选D. 6.[2025浙江杭州模考]若等比数列满足， ，则 数列的公比 ( ) A.或 B.或 C. D. 答案：C 【解析】 ， ，所以 . 7.[2025北京市第十五中学期中]在正项等比数列中，是， 的等差中项，则 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案：D 【解析】 设等比数列的公比为，由题得 ,即， 又，所以，解得 或（舍去），因此 8.（多选）[2025云南昆明一中期中]已知正项等比数列的公比为 ，若，且 ，则( ) A. B. C.是数列中的项 D.，， 成等差数列 答案：ABD 【解析】 由，可得 ，又，所以，故A正确； ，故B正确； ，令，即 ，该方程无整数解，所以不是数列 中的项，故C错误； 因为，，，且 ，所以,所以，， 成等差数列，故D正确. 9.[2025天津市耀华中学段考]已知数列的通项公式为 ，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列 ， ， ，， ，其中，则数列 的通项公式为( ) A. B. C. D. 答案：A 【解析】 由 是首项为4，公比为2的等比数列，得，又，故 ，即 .故选A. 10.已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比 ___. 答案：3或 【解析】 不妨设这三个数分别为，，，且, ，则，得.由 ，即，解得或.又，所以或 . 【变式：三个数变四个数】设四个实数成等比数列，其积为 ，中间两项之和为，则公比 ___________________. 答案：或 【解析】 设这四个实数分别为,,,，则 即所以,所以.因为 ，所以，从而可得或 ，解得或 . 【归纳总结】 解决已知三个数或四个数成等比数列的问题的关键是灵活设项.一般地，当三个数成等比数列时，可设为，，，此时公比为 ；当四个数成等比数列时，若不知道公比的正负，可设为,,, ,此时公比为，若知道公比为正，可设为，,,，此时公比为 ,若知道公比为负，可设为，,,,此时公比为 . 知识点3 等比数列的函数特性 4年1考 11.设命题若数列是公差不为0的等差数列，则点 必在一次函数图象上；命题若正项数列 是公比不为1的等比数列，则点 必在指数函数图象上.下列说法正确的是( ) A.，均为真命题 B.， 均为假命题 C.真假 D.假 真 答案：C 【解析】 若数列 是公差不为0的等差数列，则，故点 必在一次函数的图象上，故为真命题.不妨取数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则 ，与指数函数解析式不符，所以点不一定在指数函数图象上，故 是假命题.故选C. 12.[2025天津南开中学月考]设等比数列的公比为，则“ 且”是“ 是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 【解析】 由等比数列的通项公式可得，.当 且时，，且单调递增，则 是递增数列，故充分性成立；当是递增数列时，或 故必要性不成立. 13.【教材习题1-3A组T4变式】（多选）已知等比数列的首项为 ，公比为，则下列能判断 为递减数列的有( ) A.， B.， C.， D.， 答案：AC 【解析】 对于A，,所以由函数特性知 为递减数列，A正确； 对于B，，所以 为递增数列,B错误； 对于C, ，所以 为递减数列，C正确； 对于D，,所以 为递增数列，D错误. 【归纳总结】 设等比数列的公比为 ，则 ①当时，数列 是常数列； ②当时，数列 是摆动数列； ③当， ④当， 知识点4 等比数列的性质的应用 4年1考 14.[2025山东青州一中期中]在等比数列中，，公比，则 与 的等比中项是( ) A.4 B. C. D. 答案：B 【解析】 ，,则 , ，所以与的等比中项为 .故选B. 15.[2025广东汕头期末]已知等比数列中的各项均为正数，且 ，则 ( ) A.5 B.10 C.4 D. 答案：A 【解析】 ， 则 .故选A. 16.[2025福建漳州期中]若是等比数列，且 ，，则 ( ) A.64 B.128 C.256 D.512 答案：D 【解析】 设等比数列的公比为，则， ， ，构成公比为 的等比数列，又 ，，所以 ，所以 . 【变式：“和”变“积”】在等比数列中，, ，则 ( ) A.48 B.72 C.144 D.192 【解析】数列是等比数列，则 ， ，而，故 . 17.在等比数列中，，.若取出数列 中所有序号是偶数的各项，依次构成新数列，则__；若从数列 的首项起每隔6项取出一项依次构成新数列，则 ______. 答案： 【解析】 设等比数列的公比为，则，所以 . 由题意知数列仍是等比数列且公比为，所以. 数列 仍是等比数列且公比为，所以 . 18.已知函数，数列是公差为2的等差数列，且 ，若，则 ____. 答案：21 【解析】 由题意知，所以 ,， 所以数列是以 为公比的等比数列， 所以 , 所以 . 【归纳总结】 等差数列与等比数列的转化 （1）若数列为正项等比数列，则数列 是等差数列 （且， 为常数）； （2）若数列为等差数列，则数列是等比数列（且， 为常数）. 知识点5 构造等比数列求通项公式 19.已知数列中，,,则 _ ____. 答案： 【解析】 由，得，所以数列 是首项为1，公比为的等比数列，所以，所以 . 20.已知数列满足，，则 _ ____. 答案： 【解析】 由，得 .又，所以是首项为 ，公比为3的等比数列，所以，因此数列的通项公式为 . 21.［2025江西南昌二中月考］已知数列满足， ，则数列的通项公式为 ______. 答案： 【解析】 由,,得，且.在 的两边同时取常用对数，得，故，所以数列 是以为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以 . 【归纳总结】 构造等比数列求数列通项公式的方法 （1）倒数变换法，适用于（，， 为常数）的形式. （2）取对数运算，适用于（ 为常数）的形式. （3）定义构造法.利用等比数列的定义 通过变换，构造等比数列的方法. （4）（， 为常数）型递推公式可构造为形如 的等比数列. （5）（，， 为常数）型递推公式，可构造为形如 的等比数列. 22.在数列中,,,且 . （1）证明: 为等比数列; 【解析】 由,可得 , 又,所以数列 是以5为首项,2为公比的等比数列. （2）证明数列为等比数列，并求数列 的通项公式. 【解析】 由（1）可得 ,所以 , 又,所以数列是首项为1,公比为 的等比数列, 所以,所以 . 学科关键能力构建 1.[2025黑龙江省实验中学月考]已知数列为等比数列，其中， 为方程的两根，则 ( ) A. B. C. D. 答案:B 【解析】 由题得，，则, ，由等比中项性质可得,所以 .因为等比数列的偶数项符号相同，（注意考虑正负.）所以 . 2.[2025河北石家庄期末]在正项等比数列中，若 ，，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案:C 【解析】 因为为等比数列，所以 ，故，所以，又 ，所以 . 【变式】[2025河南漯河期末]在正项等比数列 中，若，，则 ____. 答案: 【解析】 因为数列为正项等比数列， ，所以 ，又 . 3.【新情境】 中国明代著名律学家朱载堉在《律学新说》中提出了十二平均律，钢琴是根据十二平均律来定音的.在钢琴的键盘上，音,,,,,,, , , ,,（如图）的频率（单位： ）恰好构成一个等比数列， 的频率正好是那么频率为 的音是( ) A. B. C. D. 答案:D 【解析】 设各音的频率构成的等比数列为，则的频率和 的频率对应的项分别为，.因为,,所以,得 ，设，又,所以 ，解得，所以频率为的音是 ，故选D. 4.（多选）已知数列是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若， ，则( ) A. B. C. D. 答案:BD 【解析】 设等差数列的公差为，且,等比数列的公比为 ,且可看作是关于的一次函数， ，可看作是关于的指数函数，.当时， ,所以，又,所以,则函数 和函数的大致图象如图1所示;当时，,所以 ,又,所以,则函数和函数 的大致图象如图2所示. 由图1，图2可知当，时，，， ，，故选 . 5.【新定义】（多选）若一个数列的第项等于这个数列的前 项的乘积，则称该数列为“积数列”.若各项均为正数的等比数列 是一个“2 025积数列”，且 ，则( ) A. 是递减数列 B. C. D.当前项的乘积最大时, 答案:ABD 【解析】 因为各项均为正数的等比数列 是一个“2 025积数列”，所以 ，根据等比数列的性质有，因为 ，，所以，所以，所以 为递减数列，A, B正确. 因为，所以，，所以当 的前项的乘积最大时， ,C错误，D正确. 6.[2025江苏泰州期中]记为数列的前项和，已知 ，且为公差为2的等差数列，则数列的通项公式为 _ _______. 答案: 【解析】 ，故，又，故 是公比为，首项为1的等比数列，故，即 . 7.[2025重庆调考]已知正项等比数列满足 ，若存在两项，使得，则 的最小值为____. 答案:50 【解析】 设等比数列的公比为.因为 ,则,又,所以,解得或 （舍去）.又，则 ，所以，即，则，所以 ，当且仅当 时取等号. 8.[2025八省（区）联考]已知数列中，, . （1）证明：数列 }为等比数列； 【解析】 由,得 ， 则 ， 所以数列}是首项为，公比为 的等比数列. （2）求 的通项公式； 【解析】 由（1）得 ,所以 . （3）令，证明: . 【解析】 . 令， ， 因为在 上单调递增，所以 ， 所以数列{}是递减数列，从而数列是递增数列，且 ， 故 . 学科网（北京）股份有限公司 $