第1章 第3节 3.1 等比数列的概念及其通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章　数列 §3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 基础过关练 题组一　等比数列的概念 1.下列三个数依次成等比数列的是(　　) A.1,4,8　　　　　B.-1,2,4 C.9,6,4　　　　　D.4,6,8 2.下列说法正确的是(　　) A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞) C.若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1 D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列 3.(2025山东日照五莲一中月考)已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=3an+2n-1. (1)求a2,a3; (2)证明:数列{an+n}为等比数列. 题组二　等比中项 4.-1与+1的等差中项和等比中项分别是(　　) A.,±　　　　　B., C.,-　　　　　D.,±2 5.(2025江西鹰潭余江一中月考)已知等比数列{an}中,a3=3,a7=27,则a5=(　　) A.15　　　　　B.9　　　　　C.-9　　　　　D.±9 6.(2024安徽师范大学附属中学模拟)“G=”是“G是a,b的等比中项”的(　　) A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件 7.(2024天津模拟)已知正项等比数列{an}中,a4,3a3,a5成等差数列,若数列{an}中存在两项am,an,使得a1为它们的等比中项,则m+n的值为(　　) A.1　　　　　B.3　　　　　C.6　　　　　D.9 题组三　等比数列的通项公式 8.(2025河南九师联盟联考)在数列{an}中,a1=2,an=an+1,则a5=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.16　　　　　D.32 9.(2024吉林长春八中期中)一个各项均为正数的等比数列{an},从第3项起,每一项都等于它前面的相邻两项之和,则公比q=(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 10.在等比数列{an}中,a2=2,a4=4,则a8=(　　) A.8　　　　　B.16　　　　　C.32　　　　　D.36 11.(2025江西南昌中学期中)某个蜂巢里有一只蜜蜂,第1天,它飞出去带回了六个伙伴,第2天,七只蜜蜂飞出去各自带回了六个伙伴,以此类推,则第7天所有的蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂(　　) A.67只　　　　　B.76只　　　　　C.66只　　　　　D.77只 12.已知{an}是等比数列,若a3=2,a2+a4=,求数列{an}的通项公式. 13.(2023湖南名校联盟质检)在数列{an}中,a1=2,a2=-1,且an+2+an+1-6an=0. (1)证明:{an+1+3an}为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 题组四　等比数列的性质及其综合运用 14.(2024江西九江一模)在正项等比数列{an}中,a2a9=8,a5=2,则公比q为　(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.4 15.(2025安徽皖北联盟联考)已知递减的等比数列{an}满足a2a4=,a1+a5=,则a10=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.512　　　　　D.1 024 16.(多选题)(2023江西吉安泰和模考)已知数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,则(　　) A.是等差数列 B.{an+1-an}是等差数列 C.{log3an}是等比数列 D.{anan+1}是等比数列 17.(2025陕西西安八十五中月考)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(　　) A.12　　　　　B.10　　　　　C.5　　　　　D.2log35 18.(2025河南南阳邓州一高月考)已知正项等比数列{an}满足a2a16=16,=. (1)求{an}的通项公式; (2)设Tn=a1a2…an,求Tn的最大值及取最大值时n的值. 能力提升练 题组一　等比数列的概念、通项公式及其应用 1.(2023北京师大附中期末)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意正整数n,a2n-1>a2n”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025江西上饶联考)已知在等比数列{an}中,an>0,公比q≠1,则(　　) A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8<a4+a5 C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5的大小不确定 3.(2025湘豫名校联考)汉代刘歆等人设计制造的新莽铜嘉量,是集龠、合、升、斗、斛五量于一体的标准量器,各器均为圆筒形(可视为圆柱).如图,正中的圆柱体的上部为斛量,下部为斗量,右耳为升量,左耳上为合量,下为龠量.某兴趣小组制作了一个新莽铜嘉量模型,设升量、斗量、斛量的底面半径分别为r1,r2,r3,高分别为h1,h2,h3,体积分别为V1,V2,V3.若V1,V2,V3成等比数列,r2=r3=5r1,h3=10h2,则=(　　) A.2　　　　　B.4　　　　　C.6　　　　　D.8 4.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列结论正确的有　(　　) A.若a2 021>0,则a1a2>0 B.若a1a2>0,则a2a3>0 C.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2 D.若a1a2<0,则(a2-a1)(a2-a3)<0 5.在△ABC中,若sin A,sin B,sin C成公比为的等比数列,则cos B=　　　　.  6.(2025江西九江庐山第一中学等校联考)已知a,b是方程x2-6x+1=0的两个实数根,若m,n分别是a,b的等差中项和等比中项,则mn=　　　　.  7.(2025河南青桐鸣大联考)已知数列{an}满足a1=2,an+1=4an+2n+1. (1)证明:{an+2n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2(an+2n)-1,求数列(-1)n·的前n项和Sn. 8.(2025江西南昌莲塘一中质检)已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1-3,a1=. (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若cn=,求使cn取得最大值时的n的值. 题组二　等比数列的性质及其综合运用 9.(2023重庆七校期末)已知等比数列{an}为递减数列,若a7a14=6,a4+a17=5,则=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.6 10.(多选题)(2025安徽阜阳临泉田家炳实验中学月考)设等比数列{an}的公比为q,若a4a7a10=64,则(　　) A.a7=4 B.a2和a8的等比中项为- C.当a1=时,q=± D.+≥32 11.已知数列{an}满足a1=,an+1=an(n∈N+).设bn=,n∈N+,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,1)　　　　　B. C.　　　　　D.(-1,2) 12.(2024陕西渭南华州月考)已知三个数成等比数列,且公比大于1,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数从小到大依次是　　　　　　.  13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设cn=3bn-λ·,若数列{cn}是递增数列,求实数λ的取值范围. 14.(2025广东江门一中月考)已知等比数列{an}满足a1=4,a3+a4=16(a1+a2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若{an}是递增数列,∀n∈N+,n·3n-k·an<0恒成立,求实数k的取值范围; (3)若{an}不是递增数列,bn=,求bn的最小值. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C 2.C 4.A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B 11.D 14.B 15.A 16.AD 17.B 1.C 2.C　对于A,因为等比数列中的各项都不为0,所以A不正确;对于B,因为等比数列的公比不为0,所以B不正确;对于C,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的概念知此数列的公比为1,所以C正确;对于D,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以D不正确. 3.解析　(1)a2=3a1+1=4,a3=3a2+3=15. (2)证明:由an+1=3an+2n-1得an+1+(n+1)=3(an+n), 又a1+1=2≠0,所以数列{an+n}是首项为2,公比为3的等比数列. 4.A　-1与+1的等差中项是=, -1与+1的等比中项是±=±. 5.B　在等比数列{an}中,=a3a7=3×27=81,易知a1,a3,a5同号,所以a5=9. 易错警示　在等比数列中,奇数项与奇数项一定同号,偶数项与偶数项一定同号,故本题中a5不能取-9. 6.A　当G=a=b=0时,满足G=,但G不是a,b的等比中项,故充分性不成立;当G是a,b的等比中项时,如a=1,b=4,G=-2,不满足G=,故必要性不成立.故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分也不必要条件. 7.B　设正项等比数列{an}的公比为q,q>0.由a4,3a3,a5成等差数列,得6a3=a4+a5,即6a3=a3q+a3q2,即q2+q-6=0,解得q=2(q=-3舍去). 若数列{an}中存在两项am,an,使得a1为它们的等比中项, 则(a1)2=am·an,即2=a1qm-1·a1qn-1,即2m+n-2=2,则m+n=3. 8.D　已知a1=2,an=an+1,则=2,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n, 所以a5=25=32. 9.D　由题意得an+2=an+an+1,所以q2=1+q,即q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去). 10.B　设等比数列{an}的公比为q,则所以q2=2,故a8=a4q4=4×4=16. 11.D　设第n天所有的蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂an只,则a1=7, 由题意得当n≥2时,an=7an-1,所以数列{an}是首项为7,公比为7的等比数列,则an=7n, 则a7=77,故第7天所有的蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂77只. 12.解析　设等比数列{an}的公比为q,则q≠0. 由题意得a2==,a4=a3q=2q, ∵a2+a4=, ∴+2q=,解得q=或q=3. 当q=时,a1=18, ∴an=18×=2×33-n. 当q=3时,a1=, ∴an=×3n-1=2×3n-3. 综上,当q=时,an=2×33-n; 当q=3时,an=2×3n-3. 13.解析　(1)证明:由an+2+an+1-6an=0,可得an+2+3an+1=2(an+1+3an), 又a2+3a1=5,∴数列{an+1+3an}是以5为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)可得an+1+3an=5·2n-1,∴an+1-2n=-3(an-2n-1), 又a1-20=2-1=1,∴数列{an-2n-1}是首项为1,公比为-3的等比数列, ∴an-2n-1=1×(-3)n-1,∴an=2n-1+(-3)n-1. 14.B　因为数列{an}为正项等比数列,a2a9=8,所以a2a9=a5a6=8,又a5=2,所以a6=4,所以公比q=2. 15.A　由等比数列的性质得a2a4=a1a5=, 又a1+a5=,a1>a5,所以a1=,a5=, 设等比数列{an}的公比为q,则q4==,解得q=±, 因为{an}为递减数列,所以q=,所以an=,则a10==. 16.AD　由题意得=3,所以数列是常数列,也是等差数列,故A正确;数列{an}的通项公式为an=3n-1,则an+1-an=3n-3n-1=2×3n-1,所以数列{an+1-an}是以2为首项,3为公比的等比数列,故B错误;log3an=log33n-1=n-1,所以数列{log3an}是以0为首项,1为公差的等差数列,故C错误;anan+1=3n-1·3n=32n-1,所以数列{anan+1}是以3为首项,9为公比的等比数列,故D正确. 17.B　由等比数列的性质及题意可得a5a6=a4a7=9, 所以a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9, 故log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·a3·…·a10)=log3(a4a7)5 =log395=log3310=10. 18.解析　(1)设{an}的公比为q,q>0, 由等比数列的性质及题意得a2a16==16,所以a9=a1q8=4, ==q3=,所以q=,所以a1=1 024, 所以an=a1qn-1=1 024×=211-n. (2)由(1)得Tn=a1a2…an=210+9+8+…+(11-n)=, 因为二次函数y==-x2+x的图象的对称轴为直线x=,且n∈N+, 所以当n=10或n=11时,Tn取得最大值,为255. 能力提升练 1.A 2.A 3.B 4.BC 9.A 10.ACD 11.C 1.A　若公比q<0,则数列{an}中的奇数项为正,偶数项为负,一定有a2n-1>a2n,充分性成立; 当0<q<1时,数列{an}的各项均为正,a2n=a2n-1q<a2n-1,即由a2n<a2n-1推不出q<0,必要性不成立. 所以“q<0”是“对任意正整数n,a2n-1>a2n”的充分不必要条件. 2.A　由题意得q>0且q≠1, 则a1+a8-(a4+a5)=a1-a4+a8-a5=a1(1-q3)+a1q4·(q3-1)=a1(1-q3)(1-q4). 若q>1,则1-q3<0,1-q4<0,所以a1(1-q3)(1-q4)>0, 所以a1+a8>a4+a5; 若0<q<1,则1-q3>0,1-q4>0,所以a1(1-q3)(1-q4)>0,所以a1+a8>a4+a5. 综上可得,a1+a8>a4+a5. 3.B　由已知得===10,则等比数列V1,V2,V3的公比为10,则==100,即=100,所以=4. 4.BC　设等比数列{an}的公比为q. 对于A,a2 021=a1q2 020>0,则a1>0,q>0或q<0.当q>0时,a1a2=q>0;当q<0时,a1a2=q<0,A中结论错误. 对于B,a1a2=q>0,则q>0,则a2a3=q3>0,B中结论正确. 对于C,a2>a1>0,即a1q>a1>0,所以q>1,所以a1+a3-2a2=a1+a1q2-2a1q=a1(q-1)2>0,所以a1+a3>2a2,C中结论正确. 对于D,a1a2=q<0,则q<0,所以(a2-a1)(a2-a3)=a1(q-1)·a2(1-q)=-a1a2(q-1)2>0,D中结论错误. 5.答案　 解析　由sin A,sin B,sin C成公比为的等比数列,得sin B=sin A,sin C=2sin A, 所以由正弦定理可知b=a,c=2a, 所以cos B===. 6.答案　3或-3 解析　因为a,b是方程x2-6x+1=0的两个实数根,所以a+b=6,ab=1, 又m,n分别是a,b的等差中项和等比中项, 所以a+b=2m,ab=n2,所以m=3,n=±1, 故mn=3或mn=-3. 7.解析　(1)由an+1=4an+2n+1,得an+1+2n+1=4(an+2n),又a1+2=4,所以{an+2n}是首项为4,公比为4的等比数列, 则an+2n=4n,故an=4n-2n. (2)由(1)及已知得bn=log24n-1=2n-1, 所以(-1)n·=(-1)n· =(-1)n·, 所以Sn=-+-+…+(-1)n·=-1+(-1)n·. 8.解析　(1)证明:由Sn=2an+1-3得Sn-1=2an-3(n≥2), 两式相减得an=2an+1-2an,整理得an+1=an, 又a1=,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)得cn==·(n2+n), 当n≥2时,令==>1,解得n<5, 所以当n<5时,c1<c2<c3<c4,当n≥5时,c5>c6>c7>…, 且当n=4时,c4=×(42+4)=,当n=5时,c5=×(52+5)=, 所以c1<c2<c3<c4,c4=c5,c5>c6>c7>…, 综上可得,当n=4或n=5时,cn取得最大值,为. 9.A　∵a7a14=a4a17=6,a4+a17=5, ∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个实数根, 易知x1=2,x2=3,∴a4=2,a17=3或a4=3,a17=2. ∵等比数列{an}为递减数列,∴a4=3,a17=2, 设数列{an}的公比为q, 则==q13=, ∴===. 10.ACD　对于A,由题意可得a4a7a10==64,所以a7=4,故A正确; 对于B,a2和a8的等比中项为±a5,根据题意无法得到a5的值,故B错误; 对于C,当a1=时,a7=a1q6=×q6=4,解得q=±,故C正确; 对于D,+≥2=2=2×42=32,当且仅当==42时取等号,故D正确. 11.C　由a1=,an+1=an(n∈N+)可知数列{an}是首项为,公比为的等比数列, ∴an=×=,∴bn==(n-2λ)2n. ∵数列{bn}是递增数列, ∴bn+1>bn对于任意的n∈N+恒成立, 即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n对于任意的n∈N+恒成立, ∴λ<对于任意的n∈N+恒成立, ∴λ<. 12.答案　2,4,8 解析　设这三个数分别为a,b,c,且a<b<c, 由等比数列的性质可得abc=b3=64,即b=4, 又a+b+c=14,所以a+c=10,又ac=b2=16, 所以a=2,c=8, 故这三个数从小到大依次是2,4,8. 13.解析　(1)由已知得b2=b1q=q(q>0), S2=a1+a2=3+a2, ∴ 解得或(舍去), ∴a2-a1=3,an=3+(n-1)×3=3n,bn=b1qn-1=3n-1. (2)由(1)知,cn=3bn-λ·=3n-λ·2n. 由题意知cn+1>cn对任意n∈N+恒成立, 即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n对任意n∈N+恒成立, 即λ·2n<2·3n对任意n∈N+恒成立, 即λ<2·对任意n∈N+恒成立, ∴λ<. ∵函数y=(n∈N+)是增函数, ∴=2×=3,∴λ<3, ∴实数λ的取值范围为(-∞,3). 14.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,q≠0,则4q2+4q3=q2(4+4q)=16(4+4q), 若4+4q=0,则q=-1, 若4+4q≠0,则q2=16,解得q=±4, 当q=-1时,an=4(-1)n-1, 当q=-4时,an=(-1)n-1·4n, 当q=4时,an=4n. (2)若{an}是递增数列,则an=4n, 则∀n∈N+,n·3n-k·4n<0恒成立等价于∀n∈N+,k>n·恒成立, 令cn=n·,则k>(cn)max. 而cn+1-cn=(n+1)·-n·=·. 则当n<3,n∈N+时,cn+1>cn,当n=3时,c3=c4,当n≥4,n∈N+时,cn+1<cn, ∴c1<c2<c3,c3=c4,c4>c5>c6>…, ∴(cn)max=c3=c4=,∴k>, ∴实数k的取值范围为. (3)若{an}不是递增数列,则an=4(-1)n-1或an=(-1)n-14n. (i)当an=4(-1)n-1时,bn==2+=2+. ①当n为偶数时,bn=2-=; ②当n为奇数时,bn=2+=, 所以此时bn的最小值为. (ii)当an=(-1)n-1·4n时,bn==2+=2+. ①当n为偶数时,bn=2-<2,且{bn}为递增数列,∴(bn)min=b2=; ②当n为奇数时,bn=2+>2>,不可能有最小值,所以此时bn的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $