1.2.2 等差数列的前n项和 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第2节 等差数列 课时2 等差数列的前n项和 【一课一练】 教材必备知识精练 知识点1 等差数列的前 项和公式 4年8考 1.[2025北京四中期中] ( ) A.1 363 B.1 410 C.1 457 D.1 504 答案：C【解析】 记数列2，5，8， ，92为数列，则数列 为等差数列，，公差， ， 所以，即，解得 ，（利用确定.） 所以 . 2.在等差数列中，，,其前项和,则 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案：B 【解析】 由题知,解得 ， 所以,整理得，所以 . 3.已知等差数列的前项和为,,则 ( ) A.22 B.10 C.8 D.4 答案：D 【解析】因为 是等差数列，所以,解得 . 4.[2025江西九江段考]等差数列中，已知 ，则 的前10项和等于( ) A.36 B.30 C.20 D.18 答案：B 【解析】记等差数列的前项和为.由 是等差数列得， 故，即 , 所以 ，故选B. 5.（多选）设等差数列的前项和为，且满足， ，则下列结论正确的是( ) A.数列 为递增数列 B.数列 为递减数列 C.对任意正整数，都有 D.对任意正整数，都有 答案：BD 【解析】 因为，，所以 ， ，所以且 ， 所以且，所以，且， 所以数列 为递减数列，所以对任意正整数，都有故选 . 6.在等差数列中，公差，其前项和为，且 , . （1）求 ； 【解析】 由得 解得或 因为公差，所以所以 所以 . （2）若，求数列的前项和 . 【解析】 由（1）知 ， 所以，所以 ， 所以数列为等差数列，且 ， 所以 . 【归纳总结】 （1）方程思想：通常利用已知条件及通项公式或前 项和公式列方程（组）求解，等差数列中包含，，，， 五个量，可“知三求二”． （2）整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用， 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． （3）利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 知识点2 与 的关系 4年6考 7.设数列的前项和为，且满足，则数列 的通项公式为 ( ) A. B. C. D. 答案：A 【解析】当 时， ,当 时， ,又 ,符合上式， （ 不能省略.）所以 . 变式 数列的前项和，则该数列的通项公式为 _____________. 答案： 【解析】 当时，；当 时， . 不满足,所以 【归纳总结】 若数列的前项和，当 时，该数列是以为首项，为公差的等差数列；当 时，该数列不是等差数列（数列从第2项起是等差数列）. 8.[2025北京四中期中]已知公差为的等差数列的前项和为 ，则满足对任意, 恒成立的一个充要条件是( ) A., B., C., D. 答案：C【解析】 且 ，所以选项C是充要条件，选项A是充分不必要条件，选项B，D是既不充分也不必要条件.故选C. 9.已知数列的前项和为，，，则 的通项公式为_______. 答案： 【解析】 因为,所以 ，两式相减得 ，整理得 ， 即，所以{}为常数列，所以，所以 . 10.已知数列的前项和为，， ，则 的通项公式为____________. 答案： 【解析】 由 ， 得 ， 所以 . 又，所以， 所以{ }为等差数列. 又，所以，即 ， 所以.又时， 也满足上式，所以 . 【归纳总结】 已知与的关系式求 的两种途径 （1）由关系式消去，建立与（或 之间的关系式，进而求 ； （2）由关系式消去，建立与（或之间的关系式求 ，进而求 . 知识点3 等差数列前 项和公式的推导方法（倒序相加法）的应用 11.［2025湖南师大附中期中］已知函数满足 ，若数列满足 ，则数列 的前20项的和为( ) A.230 B.115 C.110 D.100 答案：B 【解析】 ①， ②， 因为，所以两式相加得，所以 ， 所以的前20项的和 ， 故 . 12.[2025湖南省新高考教学教研联盟联考]已知数列中， ，则 ( ) A.96 B.97 C.98 D.99 答案：C 【解析】 ①， ②，由得，所以 . 学科关键能力构建 1.设等差数列的前项和为,,,则满足 的正整数 的最大值为( ) A.16 B.15 C.12 D.8 答案：B 【解析】 设等差数列的公差为,则解得 所以,.由,得 , 即,解得,所以正整数 的最大值为15. 2.[2025甘肃武威质检]已知是数列的前项和，, ，数列是公差为1的等差数列，则 ( ) A.480 B.479 C.291 D.290 答案：A 【解析】 由题意可令，则 ，又数列是公差为1的等差数列，所以 ， 所以 . 3.跨模块 若数列的通项公式为 ，其前项和为 ，则 ( ) A.176 B.89 C.44.5 D.1 答案：C【解析】 因为 ，所以 .因为 ，又 . ，所以两式相加,得 ， 因此 . 4.新情境 一百零八塔位于宁夏青铜峡市,是喇嘛式实心塔群.该塔群随山势凿石分阶而建,依山势自上而下,第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,第五阶5座,从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计108座,故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为( ) A.39 B.45 C.48 D.51 答案：D【解析】 设该塔群共有阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 . 依题意可知,, ，成等差数列，且公差为2， , 则,得 . 故最下面三阶的塔数之和为 . 5.[2025江苏镇江第一中学学情调查]记为数列的前 项积，已知，则数列 的前10项和为( ) A.100 B.110 C.120 D.130 答案：C 【解析】 由题知，当时，,又，所以 ,所以.当时,，所以 ,整理得,所以是以 为首项，2为公差的等差数列，所以数列的前10项和为 . 6.（多选）已知正项数列的前项和为，且 ，则( ) A.是递减数列 B. 是等差数列 C. D. 答案：ACD 【解析】 当时，,又，所以.当 时，，所以，所以 是首项为1，公差为1的等差数列，D正确；因为，，所以 ，B错误；因为, 也满足上式，所以是递减数列，A正确； ，即 ，C正确. 7.设等差数列的前项和为 ，已知前6项和为36，最后6项和为180，，则该数列的项数____， ____. 答案：18 36 【解析】 由题意知 ①， ②，由 ， 得 ， 所以.又，所以，即 ， 所以,所以 . 8.新定义 设数列的前项和为，若为常数，则称数列 为“吉祥数列”.已知等差数列的首项为1，公差不为0，若数列 为“吉祥数列”，则数列的通项公式为 _______. 答案： 【解析】 设等差数列的公差为，前项和为 ,且.又，所以 ， 即 ， 整理得，因为对任意的正整数 上式均成立， 所以解得所以数列 的通项公式为 ． 9.已知是等差数列的前项和，且 . （1）求证：数列 是等差数列； 【解析】 设等差数列的公差为 ， 则 , 所以 , 所以 , 所以数列 是等差数列. （2）已知，，求数列的前项和 . 【解析】 因为, , 所以解得 结合（1）可知 . 当时,,当时,,（求数列的前 项和的关键是去绝对值.） 所以当时, , 当时, . 综上， 【归纳总结】 求数列的前 项和,关键在于分清哪些项为非负的,哪些项为负的,最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和. 如果数列为等差数列，为其前项和, ,那么有: （1）若,,则存在,使得, ,从而有 （2）若,,则存在,使得, ,从而有 10.在数列，中，设是数列的前项和，已知 ，， . （1）求和 ； 【解析】 因为，即 ， 所以 是等差数列，公差为2， 又，则，所以 ， 所以 . （2）若时，恒成立，求整数 的最小值. 【解析】 因为 ，所以 ， ① 当时， ， ② ,得 ， 即， ， 当时，，解得 ，也满足上式， 故 . 令，则，即 ， 因为， ， 依据指数函数增长速度，可得整数 的最小值是11. 学科网（北京）股份有限公司 $高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第2节 等差数列 课时2 等差数列的前n项和 【一课一练】 教材必备知识精练 知识点1 等差数列的前 项和公式 4年8考 1.[2025北京四中期中] ( ) A.1 363 B.1 410 C.1 457 D.1 504 2.在等差数列中，，,其前项和,则 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知等差数列的前项和为,,则 ( ) A.22 B.10 C.8 D.4 4.[2025江西九江段考]等差数列中，已知 ，则 的前10项和等于( ) A.36 B.30 C.20 D.18 5.（多选）设等差数列的前项和为，且满足， ，则下列结论正确的是( ) A.数列 为递增数列 B.数列 为递减数列 C.对任意正整数，都有 D.对任意正整数，都有 6.在等差数列中，公差，其前项和为，且 , . （1）求 ； （2）若，求数列的前项和 . 知识点2 与 的关系 4年6考 7.设数列的前项和为，且满足，则数列 的通项公式为 ( ) A. B. C. D. 变式 数列的前项和，则该数列的通项公式为 _____________. 8.[2025北京四中期中]已知公差为的等差数列的前项和为 ，则满足对任意, 恒成立的一个充要条件是( ) A., B., C., D. 9.已知数列的前项和为，，，则 的通项公式为_______. 10.已知数列的前项和为，， ，则 的通项公式为____________. 知识点3 等差数列前 项和公式的推导方法（倒序相加法）的应用 11.［2025湖南师大附中期中］已知函数满足 ，若数列满足 ，则数列 的前20项的和为( ) A.230 B.115 C.110 D.100 12.[2025湖南省新高考教学教研联盟联考]已知数列中， ，则 ( ) A.96 B.97 C.98 D.99 答案：C 学科关键能力构建 1.设等差数列的前项和为,,,则满足 的正整数 的最大值为( ) A.16 B.15 C.12 D.8 答案：B 2.[2025甘肃武威质检]已知是数列的前项和，, ，数列是公差为1的等差数列，则 ( ) A.480 B.479 C.291 D.290 3.跨模块 若数列的通项公式为 ，其前项和为 ，则 ( ) A.176 B.89 C.44.5 D.1 4.新情境 一百零八塔位于宁夏青铜峡市,是喇嘛式实心塔群.该塔群随山势凿石分阶而建,依山势自上而下,第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,第五阶5座,从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计108座,故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为( ) A.39 B.45 C.48 D.51 5.[2025江苏镇江第一中学学情调查]记为数列的前 项积，已知，则数列 的前10项和为( ) A.100 B.110 C.120 D.130 6.（多选）已知正项数列的前项和为，且 ，则( ) A.是递减数列 B. 是等差数列 C. D. 7.设等差数列的前项和为 ，已知前6项和为36，最后6项和为180，，则该数列的项数____， ____. 8.新定义 设数列的前项和为，若为常数，则称数列 为“吉祥数列”.已知等差数列的首项为1，公差不为0，若数列 为“吉祥数列”，则数列的通项公式为 _______. 9.已知是等差数列的前项和，且 . （1）求证：数列 是等差数列； （2）已知，，求数列的前项和 . 10.在数列，中，设是数列的前项和，已知 ，， . （1）求和 ； （2）若时，恒成立，求整数 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $