第1章 第2节 2.2 等差数列的前n项和（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章　数列 §2　等差数列 2.2　等差数列的前n项和 基础过关练 题组一　等差数列前n项和的有关计算 1.(2025江西抚州宜黄一中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a6+a8=8,则S13=(　　) A.52　　　　　B.104　　　　　C.112　　　　　D.120 2.(2025湖北楚天协作体期中)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a9=6,S12=48,则a15的值为(　　) A.21　　　　　B.20　　　　　C.19　　　　　D.18 3.(2024安徽皖中名校联盟联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,S5=5S3-5,则a9=(　　) A.2　　　　　B.-2　　　　　C.3　　　　　D.-1 4.(2023安徽阜阳一中学情检测)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使5人所得面包个数成等差数列,则最大一份与最小一份的和为(　　) A.30　　　　　B.35　　　　　C.40　　　　　D.60 5.(2024陕西商洛多校联考)设等差数列{an}满足a2+a5=19,a6-a3=9. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和,若S11+Sk=Sk+2,求k的值. 题组二　等差数列前n项和的性质 6.(2025河南南阳期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=48,S12=168,则S4=(　　) A.-16　　　　　B.-14　　　　　 C.-10　　　　　D.-8 7.(2025广东江门一中月考)已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,则此数列的项数为(　　) A.15　　　　　B.17　　　　　C.19　　　　　D.21 8.(2025广东广州三校期末联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=an+6,则-=(　　) A.12　　　　　B.6　　　　　C.3　　　　　D.2 9.(多选题)(2025黑龙江龙东十校联盟联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2<-a13<a1,则　　(　　) A.a7>0　　　　　B.a8<0 C.S15>0　　　　　D.数列是递减数列 10.(2024湖北新高考协作体联考)有两个等差数列{an}、{bn},其前n项和分别为Sn、Tn. (1)若=,则=　　　　;  (2)若=,则=　　　　;  (3)若=,则=　　　　.  题组三　等差数列前n项和的函数特性 11.等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点(n,Sn)在某条曲线上,则这条曲线是(　　) 　　　　　 　　　　　 12.(2025陕西西安期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a8<0,S11>0,则Sn的最大值为(　　) A.S5　　　　　B.S6　　　　　C.S7　　　　　D.S8 13.(2025安徽阜阳阜南实验中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a8=-22,S11=-110,则Sn取最小值时,n的值为(　　) A.14　　　　　B.15　　　　　C.16　　　　　D.15或16 14.(2025吉林毓文中学期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 024>0,S2 025<0,则当n=　　　　时,Sn最大.   15.(2023河南信阳期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=-12,S5=-50. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn的最小值及此时n的值. 题组四　数列前n项和的求解 16.已知函数f(x)=x+3sin+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024)=(　　) A.2 024　　　　　B.2 025　　　　　C.4 048　　　　　D.4 050 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,Sn=10,则n等于(　　) A.90　　　　　B.119　　　　　C.120　　　　　D.121 18. 已知数列{an}的通项公式为an=lg,则其前99项和S99= 　　　　.  19.(2025湖北随州部分高中联考)已知an=,设数列{an}的前n项和为Sn,则S2 025的值为　　　　.  20.(2023湖南湘潭统考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=15,S12=222. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 能力提升练 题组一　等差数列的前n项和的有关计算 1.已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a3+2)=100, f(a2 024+2)=-100,则S2 026=(　　) A.2 024　　　　　B.-2 024　　　　　 C.4 054　　　　　D.-4 052 2.(多选题)(2025山东部分学校开学联考)现有200根相同的钢管,若把它们堆放成正三角形垛,且使剩余的钢管尽可能的少,则下列说法正确的是(　　) A.堆放成正三角形垛后,没有剩余钢管 B.堆放成正三角形垛后,剩余钢管的根数为10 C.若再增加8根钢管,则所有的钢管恰好可以堆放成一个正三角形垛 D.若再增加10根钢管,则所有的钢管恰好可以堆放成一个正三角形垛 3.(多选题)(2023广东清远期末)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题:“今有善走者,日增等里,首日行走一百里,九日共行一千二百六十里,问日增几何?”其大意是:现有一位善于步行的人,第一天行走了一百里,以后每天比前一天多走d里,九天他共行走了一千二百六十里,求d的值.关于该问题,下列结论正确的是(　　) A.d=15 B.此人第三天行走了一百二十里 C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人有连续的三天共行走了三百九十里 4.(2025安徽铜陵枞阳浮山中学段测)已知数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1,数列{bn}满足bn=an+1-an(n∈N+). (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)记数列的前n项和为Sn,求满足Sn>的n的最小值. 题组二　等差数列前n项和的性质 5.(2025河南开封期末)已知等差数列{an}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A,B,C,则　　(　　) A.A+B=C　　　　　B.A+C=2B C.2A+C=3B　　　　　D.3(B-A)=C 6.(2023广东广州部分学校联考)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N+,都有=,则+的值为　(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 7.(2025江西南昌联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m的值为(　　) A.4　　　　　B.5　　　　　C.6　　　　　D.7 8.(2023江西南昌十中月考)在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=　　　　.  题组三　等差数列前n项和的函数特性 9.(2023上海吴淞中学期末)已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),则“c=0”是“{an}为等差数列”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10.(2023全国名校大联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,且∀n∈N+,都有<.若<-1,则(　　) A.Sn的最小值是S17　　　　　B.Sn的最小值是S18 C.Sn的最大值是S17　　　　　D.Sn的最大值是S18 11.(多选题)(2025陕西咸阳联考)设d,Sn分别为等差数列{an}的公差和前n项和,若S10=S20,则下列说法中正确的有(　　) A.当n=15时,Sn取得最大值 B.当n=30时,Sn=0 C.当d>0时,a10+a22>0 D.当d<0时,|a10|>|a22| 题组四　等差数列前n项和的应用 12.(2024江西抚州金溪一中月考)蚊香(如图1)具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”如图2所示.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,以AB为一边作等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,此段圆弧为第一段圆弧,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.44π　　　　　B.64π　　　　　C.70π　　　　　D.80π 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a3>0,a3+a4<0,则的取值范围是　　　　,的取值范围是　　　　.  14.(2025陕西榆林五校联考)已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn, 且满足6Sn=+3an(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an-25,求数列{|bn|}的前n项和Tn. 15.(2023山西晋城一中月考)近几年,电动汽车领域有了长足的发展.某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,每年所需的人工、维修等费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大?最大是多少万元? (2)引进该生产线几年后年平均盈利最大?最大是多少万元? 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.A 2.A 3.A 4.C 6.D 7.C 8.B 9.ABD 11.C 12.B 13.D 16.A 17.C 1.A　S13====52. 2.A　设等差数列{an}的公差为d, 由S12==6(a1+a12)=48,得a1+a12=8,则a9+a4=8, 又a3+a9=6,所以a4-a3=2,所以d=2, 由a1+a12=2a1+11d=2a1+11×2=8,得a1=-7, 则a15=a1+14d=-7+14×2=21. 3.A　记等差数列{an}的公差为d, 由S5=5S3-5可得5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,① 因为=,所以S6=3S3,即6a1+15d=3(3a1+3d),整理可得a1=2d,② 联立①②可得a1=,d=, 故a9=a1+8d=2. 4.C　设5人分到的面包个数从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,由题意得该数列为等差数列,则a1+a2+a3+a4+a5==100,所以a1+a5=40. 5.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由得解得故an=a1+(n-1)d=3n-1. (2)由(1)可知Sn==, 因为S11+Sk=Sk+2,所以+=,整理得6k=180,解得k=30. 6.D　根据等差数列前n项和的性质,可得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列, 所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,即2(48-S4)=S4+168-48,解得S4=-8. 7.C　设这个等差数列为{an},其项数为2n-1,{an}的前n项和为Sn, 则{an}的奇数项的和S奇==nan,偶数项的和S偶==(n-1)an, 所以===,解得n=10,所以项数为2n-1=2×10-1=19. 8.B　由an+1=an+6,得an+1-an=6,∴数列{an}是以6为公差的等差数列, ∴-=-=a1+3n-a1-3(n-1)=3, ∴数列是以3为公差的等差数列, ∴-=2×3=6. 规律总结　若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列也是等差数列. 9.ABD　设等差数列{an}的公差为d,由a2<-a13<a1,得 所以即故A,B正确; S15==15a8<0,故C错误; 由Sn=na1+·d,得=a1+·d,则-=-=<0, 所以数列是递减数列,故D正确. 10.答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)=====. (2)=====. (3)因为{an},{bn}为等差数列,且=, 所以可设Sn=kn(2n+3),Tn=kn(n+1)(易错点:Sn,Tn均为关于n的不含常数项的二次函数), 则a5=S5-S4=65k-44k=21k,b10=T10-T9=10k×11-9k×10=20k,所以=. 规律总结　若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=,=·(bn≠0,T2n-1≠0). 11.C　由等差数列的前n项和公式可知Sn=na1+=n2+n,设f(x)=x2+x,当a1>0,d<0时,f(x)的图象开口向下,对称轴在y轴右侧,C符合要求. 12.B　由数列{an}为等差数列,a5+a8<0,得a6+a7<0, 由S11=>0,得a1+a11=2a6>0,所以a6>0,所以a7<0,故S6为Sn的最大值. 13.D　因为a2+a8=2a5=-22,所以a5=-11, 因为S11==11a6=-110,所以a6=-10, 所以数列{an}的公差d=a6-a5=1,又a6=a1+5d=a1+5=-10,所以a1=-15. 解法一:Sn=-15n+=n2-n=-, 所以当n=15或n=16时,Sn取最小值. 解法二:an=a1+(n-1)d=n-16,令an=n-16=0,得n=16,因为d>0,所以数列{an}为递增数列, 故Sn取最小值时,n的值为15或16. 14.答案　1 012 解析　因为S2 024= ==1 012(a1 012+a1 013)>0, S2 025===2 025a1 013<0,所以a1 012>0,a1 013<0,所以当n=1 012时,Sn最大. 15.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 ∴an=-14+(n-1)×2=2n-16. (2)由(1)可得Sn=-14n+×2=n2-15n=-, 所以当n=7或n=8时,Sn取得最小值,Sn的最小值为S7=S8=-56. 16.A　∵f(1-x)=1-x+3sin+, ∴f(x)+f(1-x)=2. ∵an+a2 025-n=+=1,∴f(an)+f(a2 025-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024), 则S=f(a2 024)+f(a2 023)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2 024,∴S=2 024. 17.C　∵an==-,∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1, 令-1=10,则n+1=121,∴n=120. 18.答案　2 解析　an=lg=lg(n+1)-lg n,所以S99=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 100-lg 99=2. 19.答案　 解析　因为an===-, 所以S2 025=a1+a2+…+a2 025=1-+-+…+-=1-=. 20.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 所以an=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)得an=3n-1, 所以bn===, 所以Tn= ==, 所以数列{bn}的前n项和Tn=. 能力提升练 1.D 2.BD 3.BCD 5.D 6.D 7.B 9.A 10.A 11.BC 12.D 1.D　易知函数f(x)=x3+4x的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)+f(x)=-x3-4x+x3+4x=0, ∴f(x)是R上的奇函数, 又∵f(a3+2)=100, f(a2 024+2)=-100, ∴f(a3+2)+f(a2 024+2)=0, ∴a3+2+a2 024+2=0,∴a3+a2 024=a1+a2 026=-4, ∴S2 026==1 013×(-4)=-4 052. 2.BD　由题意得正三角形垛从上到下每一层的钢管数构成首项为1,公差为1的等差数列,设共堆放了n层,能构成正三角形垛的钢管数为Sn,则Sn=1+2+3+…+n=. 令Sn=≤200,当n=19时,Sn=190,当n=20时,Sn=210,故n的最大值为19,此时将堆放19层,剩余10根钢管,故A错误,B正确; 由当n=20时,Sn=210,得再增加10根钢管,所有的钢管恰好可以堆放成一个正三角形垛,故C错误,D正确. 3.BCD　设此人第n天走an里,则数列{an}是公差为d的等差数列,记{an}的前n项和为Sn, 由题意可得a1=100,S9=9a1+36d=900+36d=1 260,解得d=10,所以A错误; a3=a1+2d=100+20=120,所以B正确; S7=7a1+21d=910,所以C正确; a3+a4+a5=3a4=390,所以D正确. 4.解析　(1)证明:由已知得a2=3,bn=an+1-an=n+1, 所以bn+1-bn=n+1+1-(n+1)=1,b1=a2-a1=2, 故{bn}是首项为2,公差为1的等差数列. (2)由an+1-an=n+1(n∈N+)得an-an-1=n(n≥2,n∈N+),则当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1), 即an=a1+b1+b2+…+bn-1=1+2+…+n=, 又a1=1满足上式,故an=. (3)由(2)得==2, 所以Sn=++…+ =2 =2=, 由Sn>,得>,解得n>31, 因为n∈N+,所以n的最小值为32. 5.D　∵等差数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A,B,C,∴A,B-A,C-B仍然成等差数列,∴2(B-A)=C-B+A,即3A+C=3B,即3(B-A)=C. 6.D　由等差数列的性质可得b2+b10=b5+b7=b1+b11,a3+a9=a1+a11, ∴+=====. 7.B　由等差数列前n项和的性质得数列是等差数列,所以+=(m≥2),即+=0,即=0,解得m=5. 8.答案　101 解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知,Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴前m项中奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9. ∵Sm==135,∴m=15, 又∵am-a1=14,am=a1+(m-1)d, ∴d=1,则a1=2, ∴a100=a1+99d=101. 9.A　若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+=n2+n, 记a=,b=a1-,则Sn=an2+bn, 故“c=0”是“{an}为等差数列”的充要条件. 10.A　由<得<,即an<an+1,∴数列{an}为递增的等差数列, ∵<-1,∴a17<0,a18>0,∴当n≤17且n∈N+时,an<0,当n≥18且n∈N+时,an>0, ∴Sn有最小值,最小值为S17. 11.BC　由数列{an}为等差数列,S10=S20,得a11+a12+…+a20=5(a11+a20)=0,所以a11+a20=0,所以a1+a30=0,所以S30==0,故B正确; 由B中分析可得a15+a16=0,则当d>0时,a15<0,a16>0,所以a10+a22=2a16>0,故C正确; 当d<0时,a15>0,a16<0,所以a10+a22=2a16<0,即a10<-a22,得|a10|<|a22|,故D错误; 由C,D得若d>0,则当n=15时,Sn取得最小值,若d<0,则当n=15时,Sn取得最大值,故A错误. 12.D　由题意可知每段圆弧所对的圆心角都是,且每段圆弧所在圆的半径依次增加1, 则第n段圆弧所在圆的半径为n,记第n段圆弧的长为an,则an=·n, 所以这15段“蚊香”的长度为×(1+2+3+…+15)=×=80π. 13.答案　; 解析　∵a3>0,a3+a4<0,∴a4<0,d<0. 由得 又d<0,∴-<<-2. ∴的取值范围为. === =2+.∵-<<-2,∴-4<2×+1<-3, ∴-<<-1,∴<2+<1,即<<1.∴的取值范围为. 14.解析　(1)已知6Sn=+3an,当n≥2时,6Sn-1=+3an-1,两式相减得6an=+3an--3an-1, 即(an+an-1)(an-an-1)=3(an+an-1), 又数列{an}的各项都为正数,所以an+an-1>0,所以an-an-1=3(n≥2), 当n=1时,6a1=+3a1,解得a1=3(a1=0舍去), 因此数列{an}是首项为3,公差为3的等差数列, 所以an=3+(n-1)×3=3n. (2)由(1)得,bn=an-25=3n-25,6Sn=+3an=9n2+9n,即Sn=n2+n, 设数列{bn}的前n项和为Rn,则Rn=Sn-25n=n2-n, 易得当n≤8时,3n-25<0,当n≥9时,3n-25>0, 所以当n≤8时,Tn=-(b1+b2+…+bn)=-Rn=-n2+n; 当n≥9时,Tn=-(b1+b2+…+b8)+(b9+b10+…+bn)=Rn-2R8=n2-n+184, 所以Tn= 易错警示　求数列{|an|}的前n项和时,要对an的正负情况进行分类讨论,前n项和也要写成分段的形式. 15.解析　(1)设n年后的总盈利为Sn万元, 根据条件可知,每年的人工、维修等费用(单位:万元)是首项为24,公差为8的等差数列, 则Sn=100n--196 =-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204, 所以当n=10时,Sn取得最大值204,故引进该生产线10年后总盈利最大,最大是204万元. (2)设引进该生产线n年后年平均盈利为Tn万元, 则Tn==-4n-+80=-+80≤-2+80=24, 当且仅当4n=,即n=7时,等号成立, 所以引进该生产线7年后年平均盈利最大,最大为24万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $