1.2.1 等差数列的概念及其通项公式 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第2节 等差数列 课时1 等差数列的概念及其通项公式 【能力提升】 1.已知，数列，，，与数列，，，， 都是等差数列，则 的值是( ) A. B. C. D. 2.[2025湖南长沙长郡中学段考]已知数列是等差数列，若,, ，，，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知等差数列的首项，公差，在 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，则 ( ) A. B. C. D. 4.[2025北京东城区期末]做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁从上到下的长度成等差数列，现有长为 的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为 的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的横梁的长度是( ) 5.[2025江苏南通期中]已知数列， ，，若，则正整数 的值为( ) A.20 B.21 C.22 D.23 6.[2025山东临沂期末]已知为正项等差数列，若，则 的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 7.[2025安徽A10联盟联考]若方程 的四个根组成一个首项为的等差数列，则 ( ) A. B. C.2 D. 8.（多选）在等差数列中，首项，公差 ，依次取出项的序号被4除余3的项，组成数列 ，则( ) A. B. C. D.中的第50项是 中的第200项 9.（多选）如表所示的数阵被称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，且第行从左至右各数与第 列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是( ) 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … A.第10行第10列的数是99 B.69不在数表中 C.偶数行的数都是奇数 D.86在数表中共出现4次 10.[2025广东深圳期末]已知，是等差数列 图象上的两点，若5是，的等差中项，则 _____. 11.已知等差数列中，,且,, 是公差为18的等差数列，则的通项公式 _______. 12.已知等差数列，5，8， 与等差数列，5，9， ，则它们的公共项按从小到大的顺序排列得到的数列 的通项公式是______________. 13.（1）已知四个数构成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列; （2）已知等差数列 是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积 为231，求数列 的通项公式. 14.新定义 设数列是等差数列,且公差为.若数列 中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. （1）若等差数列中，,,求证:数列 是“封闭数列”; （2）若，试判断等差数列 是否为“封闭数列”，并说明理由. 15.[2025福建宁德一中月考]已知首项为4的数列满足 . （1）证明：数列{ }是等差数列. （2）求数列的通项公式，并求数列 的最小项. 学科网（北京）股份有限公司 $高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第2节 等差数列 课时1 等差数列的概念及其通项公式 【能力提升】 1.已知，数列，，，与数列，，，， 都是等差数列，则 的值是( ) A. B. C. D. 答案：A【解析】 因为数列，，，与数列，，，， 都是等差数列，所以， ，所以 ，所以 . 2.[2025湖南长沙长郡中学段考]已知数列是等差数列，若,, ，，，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A【解析】 由等差数列的性质，知充分性成立.若数列 是常数列，则任意的,,，均满足，但不一定满足 ，必要性不成立.因此，是 的充分不必要条件.故选A. 3.已知等差数列的首项，公差，在 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，则 ( ) A. B. C. D. 答案：B【解析】 由题意知，，，所以等差数列 的公差为，故 . 4.[2025北京东城区期末]做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁从上到下的长度成等差数列，现有长为 的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为 的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的横梁的长度是( ) A. B. C. D. 答案：B【解析】 记从上到下的7根横梁的长度构成等差数列 ，则 由题意得 所以又，所以 ，即正中间的横梁的长度是 . 5.[2025江苏南通期中]已知数列， ，，若，则正整数 的值为( ) A.20 B.21 C.22 D.23 答案：A【解析】 令，则，所以 ，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以 ， 所以，所以 ， 所以，所以或 （舍去），故选A. 6.[2025山东临沂期末]已知为正项等差数列，若，则 的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案：C【解析】 设等差数列的公差为 . 由，得 ， 由于为正项等差数列，所以解得 .. ， 当时 取得最大值8. 7.[2025安徽A10联盟联考]若方程 的四个根组成一个首项为的等差数列，则 ( ) A. B. C.2 D. 答案：C【解析】 由，得 或.设方程的两个根为， ， 方程的两个根为， ， 由根与系数的关系可得，. 不妨设，，且 ，则必有， 所以，，故数列，，， 的公差为， 所以， ，由根与系数的关系可得，，因此 .故选C. 8.（多选）在等差数列中，首项，公差 ，依次取出项的序号被4除余3的项，组成数列 ，则( ) A. B. C. D.中的第50项是 中的第200项 答案：AC【解析】 因为，，所以 ,C正确；数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项， ，所以，,A正确，B错误;对于D,设数列 中的第项是数列中的第项，则 ，所以当时，，即数列中的第50项是 中的第199项,D错误. 9.（多选）如表所示的数阵被称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，且第行从左至右各数与第 列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是( ) 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … A.第10行第10列的数是99 B.69不在数表中 C.偶数行的数都是奇数 D.86在数表中共出现4次 答案：CD【解析】 记表中第行第列的数为.根据表中的规律可得第 行的数构成公差为的等差数列，第列的数构成公差为 的等差数列，所以第1行的数构成首项为2，公差为1的等差数列，所以 ，所以第列的数构成首项为，公差为 的等差数列，所以 .对于A,第10行第10列的数是 ，A错误；对于B,因为 ，所以69是数表中第1行第68列、第2行第34列、第4行第17列、第17行第4列、第34行第2列、第68行第1列的数，B错误；对于C,若为偶数，则为偶数，此时 为奇数，C正确；对于D,因为 ，所以86是数表中第1行第85列、第5行第17列、第17行第5列、第85行第1列的数，共出现了4次，D正确. 10.[2025广东深圳期末]已知，是等差数列 图象上的两点，若5是，的等差中项，则 _____. 答案：-10 【解析】 由题意得,，所以该数列的公差为 ，所以数列的通项公式为.设等差数列的通项公式为，将点， 的坐标代入得解得即由于5是, 的等差中项，故，所以 . 11.已知等差数列中，,且,, 是公差为18的等差数列，则的通项公式 _______. 答案： 【解析】设等差数列的公差为 ，由得所以 所以 . 【归纳总结】 等差数列中依次 项之和仍组成等差数列，即数列，，， 是以为公差的等差数列.依据此结论，本题可快速解出 . 12.已知等差数列，5，8， 与等差数列，5，9， ，则它们的公共项按从小到大的顺序排列得到的数列 的通项公式是______________. 答案： 【解析】（观察归纳法） ，5，8， ，其公差为3，，5，9， ，其公差为4，观察归纳可知数列 是以5为首项，12（3，4的最小公倍数.）为公差的等差数列，所以 . 【归纳总结】 求解两个等差数列公共项的方法 （1）观察归纳法：通过观察归纳得到公共项构成的数列的首项和公差，进而可得到此数列的通项公式，然后用通项公式求解. （2）引入参变量法： ①分别写出两个等差数列的通项公式（变量分别用， 表示）； ②由两个通项公式相等，得到， 之间的关系式； ③由，的关系式得到或 的特点（如是2的倍数，3的倍数等）； ④依据或的特点引入参变量 ； ⑤依据的特点再引入参变量，得到,与 的关系，进而得到公共项构成的数列的通项公式. 13.（1）已知四个数构成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列; 【解析】 设这四个数分别为，，， ， 则 即又该数列是递增数列，所以，所以 ， ， 所以此等差数列为，2，5，8或，， ，1. （2）已知等差数列 是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积 为231，求数列 的通项公式. 【解析】设等差数列的前三项分别为，， ， 则 解得或 因为数列为递增数列，所以从而等差数列 的通项公式为 . 【归纳总结】 等差数列项的常见设法 （1）通项公式法:即设 . （2）对称项设法:当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为 ， 再以公差为向两边分别设项，如 ，，，， ， ， ；当等差数列 的项数为偶数时，可设中间两项分别为 ，，再以公差为向两边分别设项，如 ，， ， ，， . 14.新定义 设数列是等差数列,且公差为.若数列 中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. （1）若等差数列中，,,求证:数列 是“封闭数列”; 【解析】 因为， , 所以 , 所以对任意的,， ,有 . 因为,所以是数列 中的项. 所以数列 是“封闭数列”. （2）若，试判断等差数列 是否为“封闭数列”，并说明理由. 【解析】 数列 不是“封闭数列”.理由如下： 因为,所以,,所以 . 令，可得 ， 所以数列 不是“封闭数列”. 15.[2025福建宁德一中月考]已知首项为4的数列满足 . （1）证明：数列{ }是等差数列. 【解析】 因为数列满足 ,即 , 所以 , 又,所以 , 所以数列{ }是首项为2,公差为1的等差数列. （2）求数列的通项公式，并求数列 的最小项. 【解析】 由（1）知 , 所以 . , 当时，可得,即 , 所以数列 为递增数列, 所以数列的最小项为 . 学科网（北京）股份有限公司 $