第1章 第2节 2.1 等差数列的概念及其通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章　数列 §2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 基础过关练 题组一　等差数列的概念 1.下列数列不是等差数列的是(　　) A.1,1,1,1,1　　　　　B.4,7,10,13,16 C.,,1,,　　　　　D.-3,-2,-1,1,2 2.(2025广西桂林联考)在数列{an}中,“a6-a5=”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题组二　等差中项 3.(2025江西丰城第九中学期末)已知数列{an}为等差数列,a3,a11是方程x2-6x+8=0的两个实数根,则a7=(　　) A.3　　　　　B.±3　　　　　C.4　　　　　D.±4 4.(2025四川成都实验外国语学校月考)在等差数列{an}中,a2+a12=40,则a5-a6+a7-a8+a9的值为(　　) A.20　　　　　B.40　　　　　C.60　　　　　D.80 5.(2025江西宜春一中期中)在公差不为0的等差数列{an}中,若a3是ax与ay的等差中项,则+的最小值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 题组三　等差数列的通项公式及其应用 6.(2025河南南阳六校期中)已知在等差数列{an}中,a5=20,a10=35,则a20=(　　) A.50　　　　　B.55　　　　　C.60　　　　　D.65 7.(2025江西南昌中学期中)在等差数列{an}中,若a6=7,a5+a8=15,则公差d=(　　) A.1　　　　　B.-1　　　　　C.2　　　　　D.-2 8.(2025河南百师联盟联考)已知数列{nan}是以1为首项,3为公差的等差数列,则a5=　　　　.  9.(2024陕西师大附中期中)在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则这个数列的公差为　　　　.  10.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n(n∈N+),则实数a=　　　　.  题组四　等差数列的性质及其应用 11.(2025江西师大附中月考)已知等差数列{an}的公差为2,且a1+a5+a9=15,则a2+a6+a10=(　　) A.17　　　　　B.19　　　　　C.21　　　　　D.23 12.(2025陕西西安期末)已知数列{an}为递增的等差数列,若a3+a12=13,a5a10=36,则{an}的公差为(　　) A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1 13.(2025江西南昌外国语学校期中)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长(单位:尺)依次成等差数列,若冬至、立春、春分时的日影长之和为33尺,前九个节气时的日影长之和为108尺,则谷雨时的日影长为(　　) A.14尺　　　　　B.15尺　　　　　 C.16尺　　　　　D.17尺 14.已知等差数列{an}是递减数列,若a1+a2+a3=90,a9>0,则公差d的一个整数取值可以是　　　　.  15.(2023四川达州一诊)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=　　　　.  能力提升练 题组一　等差数列的通项公式及其应用 1.(2025江西上饶二模)已知{ln an}(an>0)为等差数列,a1=3,a6=96,则a3=(　　) A.12　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.12 2.如图1,一座斜拉索大桥共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,如图2,已知拉索上端相邻两个针Pi,Pi+1(i=1,2,…,9)满足PiPi+1=4 m,拉索下端相邻两个针Ai,Ai+1(i=1,2,…,9)满足AiAi+1=18 m,最短拉索的针P1,A1满足OP1=84 m,OA1=78 m,以B10A10所在直线为x轴,OP10所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A.±　　　　　B.±　　　　　 C.±　　　　　D.± 3.(2024江苏苏州调研)已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-4)∪(-3,+∞) B.(-4,-3) C.(-∞,-5)∪(-4,+∞) D.(-5,-4) 4.(多选题)(2025湘豫名校联考)已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n,则(　　) A.a1+a3=a5+a7 B.{an}中的最小项为-16 C.从第三项起,{an}中的每一项都大于它的前一项 D.数列{an+2-an}为等差数列 5.(2025陕西安康期中)已知(n∈N+)是首项和公差均为1的等差数列,则满足an<1.1的n的最小值为　　　　.  6.(2023湖南益阳六校期末)已知等差数列{an}中,a2=4,a6=16,若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,所得新数列也是一个等差数列,则新数列的第41项为　　　　.  7.(2025江西宜春一中月考)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=,bn=. (1)求证:{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 题组二　等差数列的性质及其应用 8.(2025福建龙岩期中联考)已知在公差不为0的等差数列{an}中,a2+a8=am+an,则mn的值不可能是(　　) A.9　　　　　B.16　　　　　C.22　　　　　D.25 9. (2024江西上饶一中、上饶中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若∀a,b∈R,都有f=[f(a)+ f(b)],则f(2 023)=(　　) A.5　　　　　B.9　　　　　C.4 023　　　　　D.4 049 10.(多选题)(2025云南楚雄州期末)若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有(　　) A.{an+an+1}　　　　　B.{}　　　　　 C.{an+1-an}　　　　　D.{2an} 11.(多选题)(2024陕西渭南韩城期末)已知等差数列{an}为递增数列,且满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有(　　) A.a1+a101>0　　　　　B.a2+a100=0　　　　　 C.a3+a100≤0　　　　　D.a51=0 12.(多选题)(2025四川绵阳期中调研)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,若在{an}每相邻两项之间插入k项,使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{bn},则以下说法正确的有(　　) A.an=8n-6 B.当k=7时,数列{bn}的公差为2 C.当k=3时,b29是数列{an}中的项 D.若b9是数列{an}中的项,则正整数k的可能取值为1,3,7 题组三　等差数列的综合应用 13.(2024江西宜春丰城第九中学开学考试)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,书中所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(　　) A.99　　　　　B.131　　　　　C.139　　　　　D.141 14.(2025江西抚州资溪一中月考)从1,2,…,10中取三个不同的数,按从小到大的顺序排列,组成的数列是等差数列的概率为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 15.(2025上海交大附中段测)在△ABC中,角A,B,C依次成等差数列,若2sin A=sin C,则角C=　　　.  16.(2024河南南阳期中)已知一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身构成等差数列,则这个正实数是　　　　.  17.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D 2.D 3.A 4.A 5.A 6.D 7.A 11.C 12.D 13.C 1.D　根据等差数列的定义可知,选项D中的数列不是等差数列. 2.D　当a6-a5=时,数列{an}不一定为等差数列; 当数列{an}为等差数列时,不一定有a6-a5=成立, 故“a6-a5=”是“数列{an}为等差数列”的既不充分也不必要条件. 3.A　由题意可得a3+a11=2a7=6,解得a7=3. 4.A　在等差数列{an}中,a2+a12=a5+a9=a6+a8=2a7=40,所以a7=20, 所以a5-a6+a7-a8+a9=(a5+a9)-(a6+a8)+a7=a7=20. 5.A　因为在公差不为0的等差数列{an}中,a3是ax与ay的等差中项, 所以2a3=ax+ay,所以x+y=6,又x>0,y>0, 所以+=·(x+y)=≥=,当且仅当=,即x=2,y=4时等号成立,所以+的最小值为. 6.D　解法一:设等差数列{an}的公差为d, 则解得 ∴a20=a1+19d=8+57=65. 解法二:设等差数列{an}的公差为d, 则d==3, ∴a20=a10+10d=35+30=65. 方法总结　已知等差数列{an}中的任意两项an,am,则公差d=. 7.A　由a5+a8=15,得2a1+11d=15①, 由a6=a1+5d=7,得2a1+10d=14②,由①②得d=1. 8.答案　 解析　因为数列{nan}是以1为首项,3为公差的等差数列, 所以nan=1+3(n-1)=3n-2,所以an==3-,所以a5=3-=. 9.答案　3 解析　设该等差数列为{an},其公差为d, 由题意知,解得d=3. 10.答案　0 解析　∵{an}是等差数列, ∴an是常数函数或关于n的一次函数, 又an=an2+n,∴a=0. 11.C　由等差数列的性质及已知得a2+a6+a10=a1+2+a5+2+a9+2=15+6=21. 12.D　由等差数列的性质及已知得a5+a10=a3+a12=13,a5a10=36, 所以a5,a10为方程x2-13x+36=0的两个不相等的实数根, 又{an}为递增的等差数列,所以a5=4,a10=9, 故公差d==1. 13.C　设自冬至日起,这十二个节气的日影长(单位:尺)构成数列{an},其公差为d, 由题可知即 解得所以d=a5-a4=1,则a9=a5+4d=12+4=16,所以谷雨时的日影长为16尺. 14.答案　-3(答案不唯一) 解析　a1+a2+a3=3a2=90,∴a2=30, ∴a9=a2+7d=30+7d>0,即d>-, 又{an}是递减数列,所以-<d<0,故d的整数取值可以是-4,-3,-2,-1. 15.答案　7 解析　因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以{an}是等差数列, 由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,解得a4=4,a3=3. 所以a3+a4=7. 能力提升练 1.A 2.B 3.D 4.ABD 8.C 9.D 10.ACD 11.BD 12.ACD 13.D 14.D 1.A　已知{ln an}(an>0)为等差数列,设其公差为d, 则ln a1=ln 3,ln a6=ln a1+5d,所以ln 96=ln 3+5d,解得d==ln 2, 所以ln a3=ln a1+2d=ln 3+2ln 2=ln 12,所以a3=12. 2.B　由题意知OPi,OBi(i=1,2,3,…,10)的长度(单位:m)分别构成公差为4和18的等差数列, 所以OP10=OP1+9×4=84+9×4=120(m),OB10=OB1+9×18=78+9×18=240(m), 所以P10(0,120),B10(-240,0),A10(240,0),故==,==-,即最长拉索所在直线的斜率为±. 3.D　解法一:依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1, ∴bn==1+. 画出函数y=+1的图象,如图. 结合题意知5<1-a<6,解得-5<a<-4. 解法二:∵等差数列{an}的首项为a,公差为1, ∴an=a+n-1,∴bn==1+=1+, 若对任意的正整数n都有bn≥b5, 则(bn)min=b5=1+, 结合数列{bn}的增减性可知, 即 解得-5<a<-4. 4.ABD　对于A,a1=a7=-7,a3=a5=-15,则a1+a3=a5+a7,故A正确; 对于B,an=n2-8n=(n-4)2-16,当n=4时,an取得最小值,为-16,即{an}中的最小项为a4=-16,故B正确; 对于C,由A得a3=a5=-15,故从第三项起,{an}中的每一项不一定大于它的前一项,故C错误; 对于D,an+2-an=(n+2)2-8(n+2)-n2+8n=4n-12, (an+3-an+1)-(an+2-an)=[4(n+1)-12]-(4n-12)=4, 所以{an+2-an}是公差为4的等差数列,故D正确. 5.答案　 11 解析　由题意得=n,则an=1+, 令1+<1.1,解得n>10,又n∈N+,所以满足条件的n的最小值为11. 6.答案　31 解析　设等差数列{an}的公差为d,则d===3, 设在数列{an}每相邻两项之间插入三个数后所得等差数列为{bn},则数列{bn}的公差为=, 又b1=a1=4-3=1,所以bn=1+(n-1)=n+, 所以b41=×41+=31. 7.解析　(1)证明:因为an+1=,所以==2+,即-=2, 又bn=,所以bn+1-bn=2,b1==1, 所以{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)知bn=1+2(n-1)=2n-1, 又bn=,所以an==, 即数列{an}的通项公式为an=. 8.C　因为{an}为等差数列,a2+a8=am+an,所以m+n=10, 又m∈N+,n∈N+,所以或或或或或或或或 所以mn的值可能是9或16或21或24或25,结合选项知mn的值不可能是22. 9.D　令a=n-1,b=n+1,n∈N+, 由f =[f(a)+f(b)], 可得f =, 即2f(n)=f(n-1)+f(n+1)(n∈N+), 所以数列{f(n)}为等差数列, 又f(1)=5,f(3)=9,所以公差为 =2, 所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049. 10.ACD　设等差数列{an}的公差为d. 对于A,(an+1+an+2)-(an+an+1)=(an+1-an)+(an+2-an+1)=2d,所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列; 对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1),因为d(an+an+1)不一定为常数,所以{}不一定为等差数列; 对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}是以0为公差的等差数列(常数列); 对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}是以2d为公差的等差数列. 11.BD　∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0, 且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51, ∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0, ∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0, 故B,D正确,A错误. 设等差数列{an}的公差为d,易知d>0, ∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d, ∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. 12.ACD　对于A,由题意得an=2+8(n-1)=8n-6,故A正确; 对于B,当k=7时,数列{bn}的公差为=1,故B错误; 对于C,当k=3时,数列{bn}的首项为2,公差为=2,此时bn=2+2(n-1)=2n,故b29=58, 令8n-6=58,解得n=8,所以b29是数列{an}中的第8项,故C正确; 对于D,由题意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,……, 所以等差数列{an}中的项在等差数列{bn}中对应的项的序号是以1为首项,k+1为公差的等差数列,即an=b1+(n-1)(k+1), 若b9是数列{an}中的项,则1+(n-1)(k+1)=9,即(n-1)(k+1)=8, 因为n∈N+,k∈N+,所以k+1的可能取值为2,4,8,则k的可能取值为1,3,7,故D正确. 13.D　设该高阶等差数列的第8项为x, 根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项再得到一个新数列,此时便得到了一个等差数列,记x与95的差为y,如图: 由图可得则 解题模板　解数列的新定义问题,关键是准确把握新定义的含义,再依题意利用数列的有关性质求解. 14.D　设取出的3个不同的数分别为a,b,c(a<b<c),则不同的取法共有=120(种), 若这3个数构成等差数列,则有a+c=2b, 故a,c同为奇数或同为偶数,且a与c确定后,b随之而定, 故所求概率为=. 15.答案　 解析　在△ABC中,角A,B,C依次成等差数列,则A+C=2B, 由三角形的内角和定理可得A+B+C=3B=π,所以B=, 则sin C=2sin A=2sin=sin C+cos C,整理可得cos C=0, 因为C∈,所以C=. 16.答案　或 解析　设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N),则这个正实数为x+y. 由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x, 当y=0时,x=0,x+y=0,不符合要求;当y=1时,x=,x+y=;当y=2时,x=,x+y=;当y≥3时,x=≥1,不符合要求. 综上所述,这个正实数是或. 17.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+). 因为=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=(n∈N+). (3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以+3n-2≥λ,即λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立. 令f(n)=(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可. 因为f(n+1)-f(n)=- ==3-, 所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0, 即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(n)min=f(2). 又因为f(2)=,所以λ≤. 所以实数λ的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $