1.1.1 数列的概念 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 1.1.1数列的概念 【一课一练】 知识点1 数列及其相关概念 1.下列说法不正确的是( ) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列中的每一项都与它的序号有关 C.数列2，5，2，5， ，2，5， 是无穷数列 D.若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 答案：D【解析】 根据数列的相关概念，知数列4,7,3,4的第1项就是首项,即4,故A说法正确.因为数列是按一定次序排列的一列数，所以数列中的每一项都与它的序号有关，故B说法正确.由无穷数列的概念,知C说法正确.同一个数在一个数列中可以重复出现,故D说法错误. 2.（多选）下列说法正确的是( ) A.数列的项数是无限的 B.数列通项公式的表达式不是唯一的 C.数列1，3，5，7可表示为，3，5， D.数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 答案：BD【解析】 数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误；数列通项公式的表达式不是唯一的，例如，数列1，，1，， 的通项公式可以是 ，也可以是 ，故B正确；构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误；两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确. 知识点2 数列的通项公式及其应用 3.[2025江西南昌三中月考]已知数列的通项公式为 ，则 的值为( ) A.1 B.2 C.0 D.3 答案：B【解析】 由题得 . 4.已知数列0，，，， ，2,则该数列的项数是( ) A.80 B.90 C.100 D.110 答案：C【解析】 数列0，，，， ，2可化为，， ，， ,，所以 是该数列的第100项,所以该数列的项数是 100. 5.（多选）已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列 的通项公式可能是( ) A. B. C. D. 答案：ABC 6.[2025四川成都期中]数列1,,,,,,,,, ,…的第25项为( ) A. B. C. D. 答案：B【解析】 观察可知数列的构成规律为1个1，2个，3个，4个，5个 ，6个，7个， ，因为 ，，所以数列的第25项为 ，故选B. 7.将大于2的整数中能被3除余2且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则 ( ) A.62 B.47 C.32 D.22 答案：A【解析】 根据题意可知 既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数，可得,，即,所以 . 8.观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有_____个“·”. 答案：111【解析】 如图，可得第10个图形中“·”的个数为 . 9.一题练透·突破思维 根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式. （1），，，， ； 【解析】 所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，（ 分式中需考虑分子、分母的特征.）且分母依次为,,, ，所以原数列的一个通项公式为 . （2），，，， ； 【解析】 所给数列可写成，，， 或常常用来表示正负相间的变化规律. ， , 所以原数列的一个通项公式为 . （3），1，，， ； 【解析】 所给数列可写成，，，， ， 所以原数列的一个通项公式为 . （4）0.8,,, . 【解析】 所给数列可写成,,, , 所以原数列的一个通项公式为 . 知识点3 数列的递推公式 4年1考 10.[2025河南洛阳创新发展联盟联考]设数列满足 ，，则 ( ) A.3 B.9 C. D. 答案：C【解析】 由，，得 ，则，又，所以 . 11.新情境如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具.在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用表示解下 个圆环所需的最少移动次数，数列满足 ,且 ，则解下5个圆环所需的最少移动次数为( ) A.5 B.10 C.21 D.42 答案：C【解析】 由, 得 .故选C. 12.已知数列中，，且，，则数列 的通项公式为 _. 答案： 【解析】 因为，所以 . 当时，，， ， ，以上各式相加得，所以 ，当时，也符合上式，所以数列的通项公式为 . 【归纳总结】 已知形如 的递推公式，可用累加法或迭代法求数列的通项公式.一般先将化为 （其中可求和），然后列出, , ,最后将个式子两边分别相加得 ，即可求出,然后验证，可得数列 的通项公式. 13.在数列中，，,则数列 的通项公式为 __. 答案： 【解析】 因为,,所以 . . 又时，,符合上式，所以 . 【归纳总结】 已知形如 的递推公式，可用累乘法求数列的通项公式.一般先将化为（其中 可求积），然后列出, ,,最后将 个式子两边分别相乘得，即可求出，然后验证 ，可得数列 的通项公式. 14.[2025云南大理调考] （1）已知正项数列满足 ，，求 ； 【解析】 因为 ， 所以当时， ， 两式相减得 ， 所以当时，,即 ， 又，,所以 . （2）在数列中，，当时， ，求数列 的通项公式. 【解析】 当时， . 因为当时， ， 所以当时， ， 两式相减得，即 ， 所以，所以，所以 ， 当时符合上式，时不符合上式，所以 知识点4 周期数列 15.[2025江西六校联考]在数列中，， ，则 ( ) A.4 B. C. D.1 答案：C【解析】 由，，可知， ，， ，所以数列 是以3为周期的周期数列，所以 .故选C. 16.（多选）[2025福建南平期末]在数列中， ，若，则 可以为( ) A.9 B.10 C.29 D.30 答案：BD【解析】 因为， 所以 ， ， ，， ，所以数列 是以4为周期的周期数列，所以, .故选 . 17.[2025吉林松原期末]设的个位上的数字为 ，则 ( ) A.269 B.270 C.279 D.286 答案：C【解析】 因为7，，，，，，，, 的个位上的数字分别为7，9，3，1，7，9，3，1， ,所以数列 是周期为4的周期数列，所以 .故选C. 18.已知数列是斐波那契数列，则 是 中的( ) A.第99项 B.第100项 C.第101项 D.第102项 答案：D【解析】 因为，所以 .故选D. 19.[2025山东淄博十一中质检]下列关于斐波那契数列 的结论正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D【解析】 ，，，，，， ，故A错误； 当时，， ， ，上述三式相加可得 ,所以 ,即 ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确.故选D. 【教材拓展】 斐波那契数列 的简单性质的证明总是运用其递推式的变形或 进行裂项，从而达到相消求和的目的.斐波那契数列 有以下性质： （1）,即 ； （2）,即 ； （3）,即 ； （4）,即 ； （5） ; （6）通项公式为[ . 学科网（北京）股份有限公司 $高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 1.1.1数列的概念 【一课一练】 知识点1 数列及其相关概念 1.下列说法不正确的是( ) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列中的每一项都与它的序号有关 C.数列2，5，2，5， ，2，5， 是无穷数列 D.若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 2.（多选）下列说法正确的是( ) A.数列的项数是无限的 B.数列通项公式的表达式不是唯一的 C.数列1，3，5，7可表示为，3，5， D.数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 知识点2 数列的通项公式及其应用 3.[2025江西南昌三中月考]已知数列的通项公式为 ，则 的值为( ) A.1 B.2 C.0 D.3 4.已知数列0，，，， ，2,则该数列的项数是( ) A.80 B.90 C.100 D.110 5.（多选）已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列 的通项公式可能是( ) A. B. C. D. 6.[2025四川成都期中]数列1,,,,,,,,, ,…的第25项为( ) A. B. C. D. 7.将大于2的整数中能被3除余2且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则 ( ) A.62 B.47 C.32 D.22 8.观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有_____个“·”. 9.一题练透·突破思维 根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式. （1），，，， ； （2），，，， ； （3），1，，， ； （4）0.8,,, . 知识点3 数列的递推公式 4年1考 10.[2025河南洛阳创新发展联盟联考]设数列满足 ，，则 ( ) A.3 B.9 C. D. 11.新情境如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具.在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用表示解下 个圆环所需的最少移动次数，数列满足 ,且 ，则解下5个圆环所需的最少移动次数为( ) A.5 B.10 C.21 D.42 12.已知数列中，，且，，则数列 的通项公式为 _. 13.在数列中，，,则数列 的通项公式为 __. 14.[2025云南大理调考] （1）已知正项数列满足 ，，求 ； （2）在数列中，，当时， ，求数列 的通项公式. 知识点4 周期数列 15.[2025江西六校联考]在数列中，， ，则 ( ) A.4 B. C. D.1 16.（多选）[2025福建南平期末]在数列中， ，若，则 可以为( ) A.9 B.10 C.29 D.30 17.[2025吉林松原期末]设的个位上的数字为 ，则 ( ) A.269 B.270 C.279 D.286 18.已知数列是斐波那契数列，则 是 中的( ) A.第99项 B.第100项 C.第101项 D.第102项 19.[2025山东淄博十一中质检]下列关于斐波那契数列 的结论正确的是( ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $