第1部分 新定义问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

新定义问题 　　新定义题型中所说的“新定义”其实是相对课标、教材而言，在题目中定义了高中数学没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是题型已在往年的高考甚至中考中出现过，某种程度上讲新定义题并不是完全创新的题型，只是对考生的转化化归能力要求较高，在解题中真正的障碍是信息的迁移、理解与运算． 类型一 集合中的新定义 　已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an}⊆N*，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜…＜an，若对任意的x，y∈A(x≠y)，都有|x－y|≥，k∈N*，则称集合A具有性质Mk. (1)若集合A＝{1，2，a}具有性质M3，求a的最小值； (2)已知集合A具有性质M15，求证：－≥.　 【解】　(1)由集合具有性质M3的定义知 所以所以a≥6，又a∈N*，所以a的最小值为6. (2)证明：由题设得|ai－ai＋1|≥(i＝1，2，3，…，n－1)，且a1＜a2＜a3＜…＜an，ai∈N*，所以ai＋1－ai≥，所以－≥(i＝1，2，3，…，n－1)， 所以－＋－＋…＋－＝－≥，原不等式得证． 类型二 函数与导数中的新定义 　设y＝f(x)是定义在区间D上的连续函数，若存在区间[a，b]⊆D，x0∈(a，b)，使得y＝f(x)在[a，x0)上单调递减，在(x0，b]上单调递增，则称y＝f(x)为“含谷函数”，x0为“谷点”，[a，b]称为y＝f(x)的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数是否为含谷函数，若是，请指出谷点，若不是，请说明理由． ①y＝2|x|，②y＝x＋cos x. (2)已知实数m＞0，y＝x2－2x－m ln (x－1)是含谷函数，且[2，4]是它的一个含谷区间，求m的取值范围． 【解】　(1)对于y＝2|x|＝当x∈(－∞，0)时，y＝2|x|单调递减，当x∈[0，＋∞)时，y＝2|x|单调递增，所以y＝2|x|是含谷函数，且谷点为0. 对于y＝x＋cos x，y′＝1－sin x≥0恒成立，则y＝x＋cos x在R上单调递增，不是含谷函数． (2)由题意可知函数y＝x2－2x－m ln (x－1)在区间[2，4]上先减后增，且存在谷点． 令g(x)＝x2－2x－m ln (x－1)，x∈[2，4]，则g′(x)＝2x－2－，令t(x)＝g′(x)＝2x－2－，x∈[2，4]， 则t′(x)＝2＋＞0，所以g′(x)在区间[2，4]上单调递增，所以 解得2＜m＜18，故m的取值范围是(2，18). 类型三 数列中的新定义 　若有穷数列{am}(m＝1，2，3，4，…，n；n＝2，3，4，…)满足条件①i＝0，②ai|＝1，则称数列{am}为n阶“单位数列”． (1)写出两个递增的3阶“单位数列”； (2)若等差数列{an}是一个2k＋1(k∈N*)阶“单位数列”，且是递增数列，求该数列的通项公式(用含k的代数式表示). 【解】　(1)数列1：－，－，. 数列2：－，0，. 以上两个数列均为递增的3阶“单位数列”(答案不唯一，合理即可). (2)设等差数列{an}的公差为d， 因为该数列为递增数列，所以d＞0. 由已知得a1＋a2＋a3＋…＋a2k＋1＝0， 所以(2k＋1)a1＋＝0， 所以a1＋kd＝0，即ak＋1＝0，所以ak＋2＝d， 由递增“单位数列”的定义可得ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＋1＝， 所以kd＋d＝，即d＝. 由ak＋1＝0得a1＋k·＝0， 即a1＝－，所以an＝－＋(n－1)＝－(n≤2k＋1，n，k∈N*). 类型四 解析几何中的新定义 　(2025·海安月考)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与双曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的“等线”． (1)求双曲线E的方程； (2)若直线y＝x是四边形AF1BF2的“等线”，求四边形AF1BF2的面积． 【解】　(1)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，将x＝c代入上式，解得y＝±. 因为当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的“等线”，所以点P在直线y＝1的上方，故有P(c，). 由题意知，－1＝2，e＝＝2，c2＝a2＋b2， 解得a＝1，b＝，c＝2， 所以双曲线E的方程为x2－＝1. (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(x0，y0). 由题意知直线m与双曲线E相切，当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－y0＝k(x－x0)，与x2－＝1联立，得(3－k2)x2＋2k(kx0－y0)x－(k2x＋y－2kx0y0＋3)＝0，k2≠3，故[2k(kx0－y0)]2＋4(3－k2)(k2x＋y－2kx0y0＋3)＝0，整理并化简后，该式可以看作关于k的一元二次方程(x－1)k2－2x0y0k＋y＋3＝0，又x－＝1，所以k＝＝＝，即直线m的方程为x0x－＝1.当直线m的斜率不存在时，x0x－＝1也成立．综上，由直线m与双曲线E相切，可得直线m的方程为x0x－＝1(*).由题意知，双曲线E的渐近线方程为y＝±x，不妨设A在B的上方，将直线m的方程与双曲线E的渐近线方程联立得xA＝，xB＝，故xA＋xB＝＋＝2x0，所以P是线段AB的中点，因为F1，F2到过Ο的直线的距离相等，过O的直线y＝x是四边形AF1BF2的“等线”，所以点A，B到该“等线”的距离相等，且分居“等线”两侧，所以该“等线”必过点P，即直线OP的方程为y＝x. 由解得或 因为点P在双曲线E的右支上，所以P(，). 所以yA＝xA＝＝＝＋3，yB＝－xB＝－＝＝－3，所以|yA－yB|＝6，所以S四边形AF1BF2＝|F1F2|·|yA－yB|＝×4×6＝12. 类型五 概率中的新定义 　19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X－μ|＜ ε做出估计．若随机变量X具有数学期望E(X)＝μ，方差D(X)＝σ2，则切比雪夫不等式可以表示为：对任意正数ε，P(|X－μ|＜ε)≥1－.已知在某通信设备中，信号有“A”和“B”两种，现连续发射信号n次，每次发射一个“A”或一个“B”，记发射信号“A”的次数为X.若每次发射信号“A”或“B”的可能性是相等的． (1)当n＝5时，求P(X≤2)； (2)为了至少有98%的把握使发射信号“A”的频率在0.4与0.6之间(不包含0.4与0.6)，试估计信号发射次数n的最小值． 【解】　(1)由题意得X～B(5，)， 所以P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C()5＋C()5＋C()5＝. (2)由题意得发射信号“A”的次数X服从二项分布B(n，)，则E(X)＝0.5n，D(X)＝n×(1－)＝0.25 n，发射信号总次数为n，要使发射信号“A”的频率在0.4与0.6之间(不包含0.4与0.6)，即0.4＜＜0.6，则0.4n＜X＜0.6n， 所以－0.1n＜X－0.5 n＜0.1 n，由切比雪夫不等式知，对于正数ε＝0.1n，有P(|X－μ|＜ε)＝P(|X－0.5n|＜0.1n)≥1－＝1－≥0.98，又n＞0，所以n≥1 250，所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 【解题技法】　新定义题看似很难，但不要对其存在畏惧心理，只要搞懂了其内在的命题逻辑，掌握一定的解题套路，加强创新思维与逻辑推理能力的培养，破解此类试题便手到擒来，整个解题思维过程可以概括为“过三关”： 第一关：审读题目关．严格按照新定义的要求，解答问题时要避免课本知识或者已有知识对信息的干扰，也就是突破思维定式或固有的已知信息的束缚，按新定义寻求解决问题的方法． 第二关：信息提取与准确转化关．要解决新定义问题，一定要理解题目中定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则等对所求问题进行恰当转化． 第三关：方法选取关．对此类题可以采取特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目中定义的本质并进行推广、运算． 学科网（北京）股份有限公司 $