利用正、余弦定理解三角形的技巧策略 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

利用正、余弦定理解三角形的技巧策略(原题) 一、边角互化中的巧用 例1.已知的内角所对的边分别为，且. (1)求；(2)若,的面积为,求的周长. 二、求边角中最值或取值范围的巧用 例2.已知的内角所对的边分别为,若,且,求边长的最小值. 三、求面积与周长中最值或范围的巧用 例3.已知的内角所对的边分别为,向量,,且,.(1)求面积的最大值；(2)求周长的取值范围. 四、正、余弦定理的联合巧用 例4.已知的内角满足，求的值. 五、求平面图形中几何量的巧用 例5.如图,在四边形中，已知，，，.(1)求的值；(2)求的长. 【跟踪训练题】 1.在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小；(2)若，求的值. 2.在中，角所对的边分别为，且，(1)求角的大小；(2)若，求边长的取值范围. 3.已知分别为三个内角所对的边，，且.求面积的最大值. 4.在中，若，求的值. 5.在中，已知，是边上一点，且，.求边的长. 利用正、余弦定理解三角形的技巧策略 讲义 正弦定理与余弦定理揭示了有关一般三角形中的重要边角关系，它们是求解三角形的两个重要定理.在用正弦、余弦定理解三角形时,常解决的题型主要有以下三类:1.由已知条件求三角形的边与角；2.求三角形的面积与周长；3.求三角形中边、角、面积、周长的最值或取值范围.下面通过实例来展示正、余弦定理在解题中的应用技巧与解题策略，以供同学们借鉴与参考. 一、边角互化中的巧用 例1.已知的内角所对的边分别为，且. (1)求；(2)若,的面积为,求的周长. 【解析】(1)由及正弦定理，得，即 ①.又，且,所以.于是由①得,即,而，故得. (2)由余弦定理，得，即得.又的面积为，得，所以,注意，则得，所以的周长为. 【点评】在利用正、余弦定理解三角形时,通常要考虑实现边角的统一，即把已知条件中的边角关系要么全部转化成边的关系，要么全部转化成角的关系，经过转化以后才能够看清楚合理解决问题的思路和方向.本题主要涉及射影定理，在具体解题操作中,利用正弦定理将边化角,并选择合适的三角恒等式进行变形与化简,使问题轻松获解. 二、求边角中最值或取值范围的巧用 例2.已知的内角所对的边分别为,若,且,求边长的最小值. 【解析】由条件及正弦定理,得,即有,且, 得.由余弦定理及条件,得,由均值不等式,得(当且仅当,即为正三角形时取等号),解得,即. 【点评】先将条件并结合正弦定理进行变形化简,求出角；再由余弦定理得出边 之间关系，把等式按这个整体配方,并利用均值不等式求出边长的最小值. 三、求面积与周长中最值或范围的巧用 例3.已知的内角所对的边分别为,向量,,且,.(1)求面积的最大值；(2)求周长的取值范围. 【解析】(1)由题意,得,即.由余弦定理得,因,得.又 ,即,则.故. (2)法1:由(1)知,即,且,解得.则,故周长的取值范围为. 法2:由(1)及正弦定理得,得,且,得.则 ,注意,且,可得.则,故周长的取值范围为. 【点评】在解三角形问题时，面积公式最常用,由于公式中既有边又有角，一般选择含已知角所对应字母的面积公式能使问题很快获解.求三角形周长通常有两种方法：法1是用余弦定理，并将条件按配方，并结合均值不等式及三角形中“任意两边之和大于第三边”,先求出的范围；法2是用正弦定理，并将表示成含某一个角的三角函数,进而利用辅助角化为一个角的正弦或余弦函数来求解. 四、正、余弦定理的联合巧用 例4.已知的内角满足，求的值. 【解析】由，得；又由正弦定理，得.可设，由余弦定理,得 .又，故得. 【点评】在解三角形问题时，往往要联合运用正、余弦定理才能使所求问题快捷获解；本题应先用正弦定理得出三边的关系，再用余弦定理求出的值，进而求得的值. 五、求平面图形中几何量的巧用 例5.如图,在四边形中，已知，，，.(1)求的值；(2)求的长. 【解析】(1)在中，设；因为,,则,由余弦定理得，化简得，解得，或(舍去).又由及余弦定理，得. (2)依题意，得；在中,由正弦定理，得，解得. 【点评】在计算平面几何图形中的几何量时，通常要根据题意从图形中抽象出一个或几个三角形，然后在三角形中结合正、余弦定理来求解，能达到出奇制胜的效果. 跟踪训练题答案与解析 1.解:(1)由及正弦定理，可得,即.由余弦定理,得,又，故得. (2)由余弦定理,得,故. 2.解:(1)由已知得，即；又因，则，即，而，故得. (2)由余弦定理得,且，又是可得.故边长的取值范围. 3.解:由,及正弦定理得,整理得.又由余弦定理得,,而,得.从而有,即,则.故. 4.解:因为，则由正弦定理得.可设，由余弦定理,得,又，得，所以. 5.解:如图，在中，由条件及余弦定理得，又,则.在中，由正弦定理得，故得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用正、余弦定理解三角形的技巧策略(原题) 一、边角互化中的巧用 例1.已知的内角所对的边分别为，且. (1)求；(2)若,的面积为,求的周长. 二、求边角中最值或取值范围的巧用 例2.已知的内角所对的边分别为,若,且,求边长的最小值. 三、求面积与周长中最值或范围的巧用 例3.已知的内角所对的边分别为,向量,,且,.(1)求面积的最大值；(2)求周长的取值范围. 四、正、余弦定理的联合巧用 例4.已知的内角满足，求的值. 五、求平面图形中几何量的巧用 例5.如图,在四边形中，已知，，，.(1)求的值；(2)求的长. 【跟踪训练题】 1.在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小；(2)若，求的值. 2.在中，角所对的边分别为，且，(1)求角的大小；(2)若，求边长的取值范围. 3.已知分别为三个内角所对的边，，且.求面积的最大值. 4.在中，若，求的值. 5.在中，已知，是边上一点，且，.求边的长. 学科网（北京）股份有限公司 $