精品解析：浙江省杭州第四中学下沙校区2025-2026学年高一上学期期中考数学试题

杭州第四中学2025学年第一学期高一年级期中考试 数学试题卷 命题人：李俊 审核人：王元真 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设命题：，，则命题的否定为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A. 2. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对A，当时，，A错； 对B，例如时，，B错； 对C，例如，满足，但，C错； 对D，若，则，所以，D正确． 故选：D． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 5. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以， 解得. 因为，所以解得. 由此可以看出，“成立”推不出“成立”， 而“成立”能推出“成立”. 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性法则可得答案. 【详解】由是上的单调递增函数， 得：， 解得：，即：. 7. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于和的大小关系利用中间值法即可. 【详解】因为，幂函数在上单调递增， 又，所以， 所以， 又对数函数在上单调递减，所以， 故. 故选：D. 8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，故在上单调递减，并得到在上为偶函数，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，故在上单调递减， 其中定义域为， 又在上为奇函数， 故， 所以在上为偶函数， 当，即时， ， 即，， 故， 又，故， 解得或， 与求交集得到空集； 当即时， ， 即，， 故， 又，故，解得或， 与取交集得. 故选：B 二、多项选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的值域为 B. 的解集为 C. 的图象与的图象关于y轴对称 D. 若，且（a，b均不为0），则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可得 【详解】对A：因为的值域为，所以的值域为．故A正确； 对B：．所以不等式的解集为，故B错误； 对C：与的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为，所以的图象与的图象关于y轴对称(（且）与的图象关于y轴对称）．故C正确； 对D：作出函数，的图象如图所示，由图可知，当，时，；当，时，． 故D错误. 故选：AC 10. 下列选项中正确的有（    ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法可判断A；结合二次函数性质以及零点存在定理可判断B；利用换元法结合二次函数性质可判断C；利用函数的奇偶性求解函数解析式，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，即， 则的定义域为，对于函数，令，可得， 即函数的定义域为，A错误； 对于B，函数在上只有一个零点， 则或， 而无解，解得， 故实数a的范围为，B正确； 对于C，令，则， 那么可转化为，， 当时，y取最大值4，故函数的值域为，C正确； 对于D，是奇函数，当时，， 则时，，则，D正确， 故选：BCD 11. 已知，则下列正确的是（　　） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将已知式化成，再根据各选项的待求式，利用基本不等式，通过消元变形即可逐一求出最值判断选项. 【详解】依题意，由，可得 对于A，由，故A正确； 对于B，由，结合A项， 因，当且仅当时等号成立， 由可得， 即当时，的最小值为，故B错误； 对于C，由A项， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，因，则， 由C项已得当时，取得最小值， 故此时取得最小值为，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用对数的运算性质得，再由指数运算求值. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______． 【答案】 ①. 5 ②. 2025 【解析】 【分析】第一空：由所给定义得到集合B，从而得到；第二空：由集合A中元素确定集合B中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得． 【详解】第一空：因为， 所以，所以， 第二空：因为， 易知集合A中任意两个元素的和最小值是，最大值是， 且对任意，，都存在，，使得， 所以， 由，解得． 故答案为：5；2025． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分） 15. 设全集，集合，. （1）若，求，. （2）若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集，并集，补集的定义计算即可； （2）根据是成立的充分条件得到，根据集合是否为空集分类讨论，列不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由，得，又，， 所以，或， 则. 【小问2详解】 因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数，（）． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可； （2）将问题转化为在上的值域包含于在上的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解. 【小问1详解】 当时，由得， 即，解得或． 所以不等式的解集为或． 【小问2详解】 当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解， ②当，即时， 对任意，． 所以解得， ③当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解， ④当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 17. 某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入. （1）求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式； （2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润. 【答案】（1） （2）12个，120万元 【解析】 【分析】（1）利润等于销售额减去投入成本及固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【小问1详解】 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 【小问2详解】 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为80， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为120， 所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于m的不等式在有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可得答案； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数的性质以及单调性把不等式转化成关于的一元二次不等式能成立问题，分离变量，结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 根据奇函数的性质，对于定义域为的函数， 则必有， 解得：. 当，则函数解析式为， ， ， 故为定义域为的奇函数. 综上：. 【小问2详解】 由(1)知，则函数解析式为， 设为上的任意两个实数，且， ， ， 因为指数函数在上是增函数，且， 所以，即， 又对于任意实数，有，所以，， 因此分母。 综上，，故，即， 根据函数单调性的定义，函数在上是减函数. 【小问3详解】 由， 得：， 因为是奇函数，所以， 代入得：. 由(2)知，在上是减函数， 从而有：， 即， 由于，即， 因此：， 令， 由题意得：， 因为， 所以由基本不等式得： ， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 所以， 所以，即. 因此，实数的取值范围是. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”． （1）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围． （2）记． （i）若是“局部奇函数”，求实数k的取值范围． （ii）记，若对定义域中的任意实数x，恒有，求的最大值． 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】1）转化为有解的问题； （2）（i）通过换元转化为方程有解问题，（ii）通过换元转化为线性规划问题. 【详解】（1）由题知有解，即 有解 即有解，所以 所以实数a的取值范围为. （2） （i）由题知有解 令则 即 即 令，则 方程化为即 若，则方程无解. 故问题转化求在上的值域. 由单调性易知， 所以实数k的取值范围为 （ii）由题知 恒成立即 恒成立，令 则 即，恒成立，令 ，为的一次函数 所以只需即 即 画出可行域即 令，即，当直线过点时， 取得最大值. 所以的最大值为. 【点睛】本题需要正确理解“局部奇函数”的定义，把问题转化为方程有解问题，进而转化为函数值域问题，在第二问中，可以变换主元，转化为一次函数，从而用线性规划的知识解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州第四中学2025学年第一学期高一年级期中考试 数学试题卷 命题人：李俊 审核人：王元真 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设命题：，，则命题的否定为 A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的值域为 B. 的解集为 C. 的图象与的图象关于y轴对称 D. 若，且（a，b均不为0），则 10. 下列选项中正确的有（    ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 11. 已知，则下列正确的是（　　） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则___________． 13. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 14. 已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分） 15. 设全集，集合，. （1）若，求，. （2）若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，（）． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围． 17. 某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入. （1）求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式； （2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于m的不等式在有解，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”． （1）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围． （2）记． （i）若是“局部奇函数”，求实数k的取值范围． （ii）记，若对定义域中的任意实数x，恒有，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $