精品解析：广东广州市2026届高三毕业生一模数学试卷

2026年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式得，则集合，有3个元素， 则集合的子集个数为. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 ，所以最小正周期为 . 5. 已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. 6. 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当 时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在 上递增， 在 上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 7. 已知抛物线： （）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件解出，两点坐标，再由焦半径公式求得. 【详解】由圆：可知，圆心，半径为. 而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，. 由，得. 因为点在圆上，又有，即， 而，则解得，所以.而点又在抛物线上， 则有，所以，则. 所以. 8. 在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，， 所以,所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知 ，，所以，， 则， 所以， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 10. 已知 ，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间 内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项. 【详解】对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误； 对于B：利用和差化积公式：，因为且 ，所以，则对任意的成立，故B正确； 对于C：已知， ，不妨设 ，则， 因为，， 且，所以， 又因为余弦函数在 上单调递减，所以， 两边同乘正数得：， 即，故C正确； 对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得： 当 时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立； 当 时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误. 11. 已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，，问题化为过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设. 【详解】令，，， 等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点， 对于A：如下图，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于B： 如下图，且， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于C：如下图， ，，则， 若与曲线相切且为切点，则，故，此时 令，则 ，即，故，即有与相切于， 如图示，此时不存在一点，使直线平行或重合，不满足， 对于D：如下图，，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【解析】 【详解】显然，故，解得 . 13. 已知函数为奇函数，当 时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当 时，（），对称轴为， 当时， 的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 14. 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在 上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】（1）证明如下： 令，则，于是，结合已知有， 所以 ，即． 因为 ，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及 能成立求参数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则 ， 则 ， 令 ，整理得 ，而在上单调递增， 且， 所以 ，的最大值为 ． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面 与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接 ， 因为点是棱的中点，所以 ， 又因为平面，且平面，所以， 因为 ，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，进而证得； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，求得向量 和平面的法向量 ，利用向量的距离公式，列出方程，求得 ，再由 的一个法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是的中点，可得 ， 因为，所以 ， 又因为平面，且 平面，所以 ， 以为坐标原点，以 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设 ，可得 ， 所以 ， 设平面的法向量为 ，可得， 令 ，可得，所以 ， 因为点到平面的距离为，可得， 则，解得 ，所以 ，所以 ，且 . 又因为平面 与轴所在直线垂直，所以平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面夹角为 ，可得， 所以平面 与平面夹角的余弦值. 17. 甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． （1）若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； （2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若 ，则． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断出甲第2次射击且获胜的情形，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可. （2）分别求出乙先射击，甲、乙获胜的概率，根据题意列出不等式求解即可. 【小问1详解】 甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中. 所以. 【小问2详解】 设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为. 乙获胜的情况为： 乙第1次射击并命中，概率为； 第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为； 第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为； 第轮甲乙均未命中，乙第 次射击并命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 甲获胜的情况为： 第1轮乙未命中，甲命中，概率为； 第2轮乙未命中，甲命中，概率为； 第3轮乙未命中，甲命中，概率为； 第轮乙未命中，甲命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 由题意知，恒成立，即恒成立， 因为，，所以， 所以恒成立，即. 因为，所以，，所以. 所以的最小值为. 18. 已知函数 ． （1）若 ，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得 对任意恒成立，证明： ． 【答案】（1）的单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2） （3）因为 对任意恒成立， 所以 ，即 ， 因此， 要证 ，只需证明 即可， 对函数求导得到 ， 令 ，则 ， 所以在区间 单调递减， 即 在区间 单调递减， 存在唯一极大值点，满足 ，即， 在内 函数单调递增， 内 函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此 ， 令 ，则， 当 时， ， 单调递增， 当时， ， 单调递减， 故 在 时取得最大值 ， 因此 ， 所以 ，所以 ， 故 得证. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值 ，所以 . （3）由 对任意恒成立，得到，则只需证明 即可，利用导数得到最大值为 .因此 ，再令 ，得到 时 取得最大值 ，因此 ，即 ，故 得证. 【小问1详解】 当 时， ，定义域为 ， 求导得到 ， 令 ，则当时 ， 所以在 内单调递减，且 ， 即 在 内单调递减，且 ， 所以当 时， ，函数单调递增； 当 时， ，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 【小问2详解】 因为有且仅有1个零点， 所以方程 有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令 ，则 ， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时， ，即 ，单调递减； 当 时， ，即 ，单调递增； 所以函数在 处取得极小值也是最小值 ， 当时， ， 时， ， 因为有且仅有1个解， 所以 . 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线： （， ）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． （1）求的方程； （2）点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）4；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解； （2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现 为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解. 【小问1详解】 设右焦点，其中一条渐近线方程为 ，即， 由题意得到的距离， 即，因为点在上， 将代入，得，解得 ， 即双曲线. 【小问2详解】 （i）由（1）得渐近线方程为 ，设， 设 ，则有，即， 则， 所以， 即，整理得， 即的轨迹是椭圆，易得其焦点为，长半轴长为2， 所以 是点轨迹的焦点，所以， 则，当且仅当时等号成立. （ⅱ）在中，由正弦定理得， 因为，所以应在轴右侧，即， 且， 所以，设，则， 不妨令，因为在上，且， 所以， 又， 联立，整理得， 而，解得， 设，则， 易得当时，则 在 上单调递增， 所以，即，因为短半轴长为1，因此， 由整理得， 因为，解得， 因为，代入，所以整理得， 令，则，则，代入， 整理得， 设其中， 易得当时单调递增，则单调递减，单调递增，单调递增， 单调递增，单调递增，最终有 在上单调递增， 所以，即. 由于椭圆的对称性，当 时结果一致， 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知抛物线： （）的焦点为，圆 ：与交于 ，两点，若直线与直线 的斜率之积为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 8. 在正三棱柱中，，，点 是平面上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆（）的离心率为，则______． 13. 已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则 的取值范围是______． 14. 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点 ， 在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前 项和小于120，求 的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的菱形，，平面 ，点 是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面 与平面夹角的余弦值． 17. 甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． （1）若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； （2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若 ，则． 18. 已知函数 ． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求 的值； （3）若存在 ，使得 对任意恒成立，证明： ． 19. 已知双曲线： （ ， ）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． （1）求的方程； （2）点 ，分别在的两条渐近线上运动，且，线段 的中点为 ． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点 不在 轴上，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $