20.2 勾股定理的逆定理及其应用 题型专练2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 题型专练 【题型1】判断能否构成直角三角形 【典例】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 【强化训练1】有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1.，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3.4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2.3.4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　） A.3    B.2    C.1    D.0 【强化训练2】下列条件：①△ABC的一个外角与其相邻内角相等；②∠A=∠B=∠C；③AC∶BC∶AB=1∶∶2；④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三角形的条件有 A.4个    B.3个    C.2个    D.1个 【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　 　． 【强化训练4】已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为　    　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【强化训练5】如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=，求证：∠ACE=90°. 【题型2】勾股数 【典例】下列各组数中，属于勾股数的一组是（　　） A.3，4，    B.9，40，41      C.0.9，1.2，1.5    D.，， 【强化训练1】下列是勾股数的一组是 A.3，5，9    B.4，6，8 C.1，，2    D.8，15，17 【强化训练2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 【强化训练3】材料阅读：给定三个数a.b.c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a.b.c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3.4.5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5.12.13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a.b.c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a.b分别为直角的两条邻边．如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8.15.17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7.24.25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【强化训练4】观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【题型3】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为 A.110 mm      B.170 mm C.200 mm      D.240 mm 【强化训练1】如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是 A.南偏东30°    B.北偏东30° C.南偏东60°    D.南偏西60° 【强化训练2】如图，一根电线杆高8 m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面　　　(填“垂直”或“不垂直”). 【强化训练3】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　　.(填“合格”或“不合格”) 【强化训练4】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【强化训练5】如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【题型4】两定理在网格中的综合 【典例】如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是 A.AC= B.∠B=90° C.只有两条边长为无理数 D.AC边上的高为 【强化训练1】如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A.3    B.2    C.1    D.0 【强化训练2】如图，每个小正方形的边长为1． （1）三角形ABC是否是直角三角形？　    　．（填“是”或“否”） （2）AC边上的高为 　   　． 【强化训练3】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB=2；②∠BAC=90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是　　　　　.(填序号) 【强化训练4】在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为，4的线段AB. 【题型5】两定理与其他知识综合求解 【典例】如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A.    B.    C.3    D.4 【强化训练1】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为 A.10    B.18 C.6      D.4 【强化训练2】如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝　     　． 【强化训练3】如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为　　　　. 【强化训练4】如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形． （2）求CE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 题型专练（参考答案） 【题型1】判断能否构成直角三角形 【典例】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 【答案】C 【解析】 解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180， 解得：x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵AB：BC：AC＝3：4：5， 设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形； ④∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180， 解得：∠A＝60°， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC不是直角三角形； ∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个， 故选：C． 【强化训练1】有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1.，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3.4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2.3.4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　） A.3    B.2    C.1    D.0 【答案】B 【解析】 解：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1.，则它的斜边长是2；正确； （2）一个直角三角形的两边长分别是3.4，则它的第三条边长是5或；错误； （3）“一个三角形的三条边长分别是2.3.4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．正确； 其中，正确的个数是2个， 故选：B． 【强化训练2】下列条件：①△ABC的一个外角与其相邻内角相等；②∠A=∠B=∠C；③AC∶BC∶AB=1∶∶2；④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三角形的条件有 A.4个    B.3个    C.2个    D.1个 【答案】A 【解析】 ①三角形的一个外角与相邻内角相等可以推出这两个角都是直角，所以它是直角三角形； ②∠A=∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，可以解出∠C=90°，所以它是直角三角形； ③AC∶BC∶AB=1∶∶2，可推出AC2+BC2=AB2，所以它是直角三角形； ④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1，可推出AC2+BC2=AB2，所以它是直角三角形. 【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　 　． 【答案】 【解析】 解：∵52+122＝132， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∵D为BC的中点， ∴AD＝BC＝． 故答案为：． 【强化训练4】已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为　    　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】 10或2 【解析】 解：当6cm和8cm都是直角边时，第三边长为＝10（cm）， 当8cm为斜边时，第三边长为＝＝2（cm）， 故答案为：10或2． 【强化训练5】如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=，求证：∠ACE=90°. 【答案】 证明　在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2， ∴AC===. 在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6，DE=4， ∴CE===2， ∵AC2=13，CE2=52，AE2=65， ∴AE2=AC2+CE2， ∴△ACE是直角三角形，AE是斜边， ∴∠ACE=90°. 【题型2】勾股数 【典例】下列各组数中，属于勾股数的一组是（　　） A.3，4，    B.9，40，41      C.0.9，1.2，1.5    D.，， 【答案】B 【解析】 解：直角三角形三边a.b.c满足a2+b2＝c2的关系其中c最大． 选项A有根号，不是勾股数，故选项A错误，不符合题意； 选项B中92+402＝412，且9，40，41均为正整数，故选项B正确，符合题意； 选项C中0.92+1.22＝1.52，符合勾股定理，但不是正整数，故选项C错误，不符合题意； 选项D中，不符合勾股数，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【强化训练1】下列是勾股数的一组是 A.3，5，9    B.4，6，8 C.1，，2    D.8，15，17 【答案】D 【强化训练2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 【答案】 19，180，181 【解析】 解：∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1， ②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1， ③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…， ∴第n组勾股数为： a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， ∴第⑨组勾股数为a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181． 故答案为：19，180，181． 【强化训练3】材料阅读：给定三个数a.b.c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a.b.c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3.4.5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5.12.13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a.b.c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a.b分别为直角的两条邻边．如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8.15.17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7.24.25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【答案】 解：（1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8.15.17是为勾股数． （2）∵72+242＝252 ∴该三角形是直角三角形 ∴其面积＝×7×24＝84． （3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24； 当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2． 故其周长为24或14+2． 【强化训练4】观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】 解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2， 得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121． 解得b＝60，c＝b+1＝61； （2）是勾股数． 理由：∵2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441， 又∵212＝441，∴2212﹣2202＝212， ∴21，220，221是勾股数． 【题型3】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为 A.110 mm      B.170 mm C.200 mm      D.240 mm 【答案】B 【解析】 观察题图中的数据，得出AC=120-40=80(mm)，BC=200-50=150(mm)， 在Rt△ABC中，AB===170(mm). 【强化训练1】如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是 A.南偏东30°    B.北偏东30° C.南偏东60°    D.南偏西60° 【答案】C 【解析】 如图，由题意得OA=12×0.5=6(海里)，OB=16×0.5=8(海里)， ∵AB=10海里， ∴OA2+OB2=62+82=100=102=AB2， ∴∠AOB=90°， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°， ∴二号舰航行的方向是南偏东60°. 【强化训练2】如图，一根电线杆高8 m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面　　　(填“垂直”或“不垂直”). 【答案】 不垂直 【解析】 ∵62+82≠10.32，∴电线杆、地面水平距离、拉线，不能构成直角三角形.∴电线杆与地面不垂直. 【强化训练3】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　　.(填“合格”或“不合格”) 【答案】 合格 【解析】 ∵长方形桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m， ∴32=9，1.82=3.24，2.42=5.76，  1.82+2.42=3.24+5.76=9， ∴1.82+2.42=32， ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的. 【强化训练4】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】 解：∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15， ∴AB2+AD2＝BD2， BD2+BC2＝DC2． ∴△ABD、△BDC是直角三角形． ∴∠A＝90°，∠DBC＝90°． 故这个零件符合要求． 【强化训练5】如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】 解　根据题意， PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， QR=30. 因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 【题型4】两定理在网格中的综合 【典例】如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是 A.AC= B.∠B=90° C.只有两条边长为无理数 D.AC边上的高为 【答案】C 【解析】 AC==，A选项说法正确； AB==，BC==2，则三边长均为无理数，C选项说法错误； 则AB2+BC2=+=AC2，即∠B=90°，B选项说法正确； 设AC边上的高为h，则××2=××h，解得h=，D选项说法正确. 【强化训练1】如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A.3    B.2    C.1    D.0 【答案】A 【解析】 解：连接AC.AB.AD.BC.CD.BD，设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5， ∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2， ∴△ABC.△ADC.△ABD是直角三角形，共3个直角三角形． 故选：A． 【强化训练2】如图，每个小正方形的边长为1． （1）三角形ABC是否是直角三角形？　    　．（填“是”或“否”） （2）AC边上的高为 　   　． 【答案】 （1）是 （2）2 【解析】 解：（1）由勾股定理可得：AB＝，BC＝，AC＝， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴三角形ABC是直角三角形， 故答案为：是； （2）∵△ABC的面积＝， ∴AC边上的高h＝， 故答案为：2． 【强化训练3】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB=2；②∠BAC=90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是　　　　　.(填序号) 【答案】 ①②④ 【解析】 ①∵AB2=22+42=20， ∴AB=2，故正确； ②∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=25， ∴AC2+AB2=BC2， ∴∠BAC=90°，故正确； ③S△ABC=4×4-×3×4-×1×2-×2×4=5，故错误； ④设点A到直线BC的距离为h， ∵BC2=32+42=25， ∴BC=5， 则×5·h=5， 解得h=2，即点A到直线BC的距离是2，故正确. 【强化训练4】在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为，4的线段AB. 【答案】 解　如图所示. 【题型5】两定理与其他知识综合求解 【典例】如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A.    B.    C.3    D.4 【答案】A 【解析】 解：∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝32+42＝25＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝2， ∴， 故选：A． 【强化训练1】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为 A.10    B.18 C.6      D.4 【答案】C 【解析】 ∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE=13，∵AC=12，AE=5，∴CE2=AC2+AE2， ∴△AEC是直角三角形，∴BC==6. 【强化训练2】如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝　     　． 【答案】 2 【解析】 解：∵BD＝1，DC＝3，BC＝， 又∵12+32＝（）2， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝4， 又∵E点为AC的中点， ∴DE＝AC＝2． 故答案为：2． 【强化训练3】如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为　　　　. 【答案】 【解析】 过点D作DE⊥AB，垂足为点E，如图. ∵AC2+BC2=42+32=25，AB2=52=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C=90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， ∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC·BC=AC·CD+AB·DE， ∴AC·BC=AC·CD+AB·DE， ∴4×3=4CD+5DE， 解得CD=DE=. 【强化训练4】如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形． （2）求CE的长． 【答案】 （1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解：设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $