20.2 勾股定理的逆定理及其应用 专项突破（6大题型全归纳：基础+培优）2025-2026学年 新人教版数学 八年级下册（含解析）

20.2 勾股定理的逆定理及其应用专项突破（基础+培优） （6大题型全归纳） 【新人教版】 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】............................................................................................................1 【题型2 勾股数问题】............................................................................................................................................3 【题型3 勾股定理及其逆定理综合应用（高频考点）】......................................................................................6 【题型4 直角三角形的存在性问题（动点问题）（高频考点）】........................................................................9 【题型5 在网格中判断直角三角形】....................................................................................................................18 【题型6 勾股定理的逆定理的拓展问题】............................................................................................................21 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 【变式1-1】下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC 是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 【变式1-3】下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【题型2 勾股数问题】 【例2】下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小正整数的平方和与最大整数的平方进行比较． 根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，是勾股数； 综上所述：勾股数有1组． 故选：A． 【变式2-2】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 【详解】解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 【变式2-3】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵，是互质的奇数， ∴A．， ∴当，时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当，时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵，是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当，时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键． 【题型3 勾股定理及其逆定理的综合应用】 【例3】如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 【变式3-1】如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 【变式3-2】一块木板如图所示，已知，，，，∠ABC=90°，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 【变式3-3】如图，在△ABC中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： 在△ABC中，， ， ∴△ABC是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 【题型4 直角三角形的存在性问题】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： ①点P到A、B两点的距离相等； ②点P到的两边距离相等； (2)若点M在y轴上，且是直角三角形，则所有符合条件的点M的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）作的中垂线，作的角平分线，交于点； （2）先求出点P坐标，分类讨论，设，根据两点间距离公式表示三边，再利用勾股定理建立方程． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求：作的中垂线，作的角平分线，交于点，如图； （2）解：点，点，点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为3， 由作图得：， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 则①当，即轴，此时； ②当时， 则，而，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图题，以及涉及的知识点：线段的垂直平分线、角平分线、两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿轴正方向运动，设运动时间为秒，请解答以下问题： (1)求的长； (2)当△AOB为等腰三角形时，求的值； (3)当△AOB为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)5； (2)5或8或； (3)4或． 【分析】本题考查了勾股定理，图形与坐标，等腰三角形的定义，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）分类讨论，分三种，利用勾股定理和等腰三角形的定义即可解答； （3）分类讨论，分，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：根据勾股定理，； （2）解：由题意可得， 轴，点的坐标为， ， ，， 如图，时， ，轴， ， ，即； 如图，时， ，， 根据勾股定理，， ， ， 解得； 如图，当时，， ， 综上，的值为5或8或； （3）解：不等于， 分两种情况， 当时， 点与点重合，； 当时，如图， ， 此时， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 综上，的值为或． 【变式4-3】如图①，在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且． (1)点B的坐标为________． (2)如图②，若点E在边上，且点E坐标为，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若△OME的面积为2，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①或；②能，，或，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，可求出答案； （2）作于，求出，当点在点的左侧时，，可得；当点在点的右侧时，，可得； （3）当点在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当时，点运动到点，不构成三角形，当点在上，即时，当时，当时，作，可求出答案． 【详解】（1）解：点、点， ，， ． ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，作于， 点E坐标为，点，点， 点为边的中点， 在中，点为边的中点， ， ， ， ． 当点在点的左侧时，， ， ； 当点在点的右侧时，， ， ； 综上所述，若△OME的面积为2，的值为或． ②当点在上，即时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点运动到点，△OME不构成三角形， 当点在上，即时， 如图3，当时， ， ， ， ， ； 如图4，当时，作于， ， ， ， ； 综上所述，符合要求时，或，． 【题型5 在网格中判断直角三角形】 【例5】如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式5-1】如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 【变式5-2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【详解】（1）解：、，，， 故答案为：，，； （2）解：△ABC的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴△ABC的形状是直角三角形． 【变式5-3】如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型6 勾股定理的逆定理的拓展问题】 【例6】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）当一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【变式6-1】已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【变式6-2】在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当△ABC为直角三角形时，则的取值为________； 当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________； 当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，△ABC为锐角三角形； 当时，△ABC为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当△ABC为锐角三角形时，， ； 当△ABC为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式6-3】先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2 勾股定理的逆定理及其应用专项突破（基础+培优） （6大题型全归纳） 【新人教版】 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】............................................................................................................1 【题型2 勾股数问题】............................................................................................................................................1 【题型3 勾股定理及其逆定理综合应用（高频考点）】......................................................................................2 【题型4 直角三角形的存在性问题（动点问题）（高频考点）】........................................................................3 【题型5 在网格中判断直角三角形】....................................................................................................................5 【题型6 勾股定理的逆定理的拓展问题】............................................................................................................6 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式1-1】下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【变式1-2】△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC 是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-3】下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是   A． B． C． D． 【题型2 勾股数问题】 【例2】下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【变式2-1】下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式2-2】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ______． 【变式2-3】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【题型3 勾股定理及其逆定理的综合应用】 【例3】如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，四边形中，∠ADC=90°，，，，，求四边形的面积． 【变式3-2】一块木板如图所示，已知，，，，∠ABC=90°，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【变式3-3】如图，在△ABC中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【题型4 直角三角形的存在性问题】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： ①点P到A、B两点的距离相等； ②点P到的两边距离相等； (2) 若点M在y轴上，且是直角三角形，则所有符合条件的点M的坐标为 ． 【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿轴正方向运动，设运动时间为秒，请解答以下问题： (1)求的长； (2)当△AOB为等腰三角形时，求的值； (3)当△AOB为直角三角形时，直接写出的值． 【变式4-3】如图①，在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且． (1)点B的坐标为________． (2)如图②，若点E在边上，且点E坐标为，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若△OME的面积为2，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【题型5 在网格中判断直角三角形】 【例5】如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【变式5-1】如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 【变式5-3】如图，在2×3的正方形网格中，（    ） A． B． C． D． 【题型6 勾股定理的逆定理的拓展问题】 【例6】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）当一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【变式6-1】已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式6-2】在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形； (2)猜想：当________时，△ABC为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当△ABC为直角三角形时，则的取值为________； 当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________； 当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式6-3】先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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