9.1因式分解的概念 课件--2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第九章 因式分解 9.1 因式分解的概念 苏科版初中数学八年级下册 1.7.2013 ‹#› 01 学习任务 概念理解：理解并掌握因式分解的概念，能准确判断一个变形是否为因式分解。 关系辨析：明确因式分解与整式乘法的区别与联系，能利用两者的互逆关系解决问题。 能力提升：能运用因式分解的概念进行简单应用，培养代数变形与逻辑推理能力。 1.7.2013 ‹#› 02 核心素养 数学抽象与逻辑推理 在辨析因式分解概念、区分因式分解与整式乘法的过程中，培养严谨的逻辑思维。 数学运算 在运用互逆关系解题、进行简单应用的过程中，提升运算的准确性与熟练度。 直观想象 结合几何图形理解因式分解的意义，将代数形式与几何直观相结合，发展空间观念。 “ 通过本节课的学习，我们不仅要掌握知识，更要提升数学核心素养。” 1.7.2013 ‹#› 课前自主·知识预习奠基 夯实基础 · 探索新知 · 开启智慧之旅 1.7.2013 ‹#› 情境导入 问题一：数的整除 我们曾经学习过数的整除问题，7 + 7² 能被 8 整除吗？99 + 99² 能被 100 整除吗？ 问题二：一般化验证 若 a 是正整数，a + a² 能被 a + 1 整除吗？ 深度思考 如何把一个和的形式，化成几个数乘积的形式，来解决整除问题？ 1.7.2013 ‹#› 情境导入·问题解决 7 + 7² = 7×(1+7) = 7 × 8 结论：能被8整除 99 + 99² = 99×100 = 99 × 100 结论：能被100整除 a + a² = a(a+1) = a × (a+1) 结论：能被(a+1)整除 核心观察：把和的形式转化为了乘积的形式 1.7.2013 ‹#› 观察思考 观察下列两组等式，说说它们的区别和联系： 第一组：整式乘法 ① m(a+b) = ma + mb ② (x+1)(x+2) = x² + 3x + 2 ③ (a+b)² = a² + 2ab + b² 第二组：待定义的变形 ① ma + mb = m(a+b) ② x² + 3x + 2 = (x+1)(x+2) ③ a² + 2ab + b² = (a+b)² 思考：两组等式的变形方向有什么不同？变形的结果有什么区别？ 1.7.2013 ‹#› 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解（也叫分解因式）。 核心公式：多项式 = 整式 × 整式 × … × 整式 举个例子 x² - 4 = (x + 2)(x - 2)，这个变形就是因式分解： 变形对象：多项式 x² - 4 变形结果：两个整式 (x + 2) 和 (x - 2) 的积 1.7.2013 ‹#› 变形对象 必须是多项式。 注意：单项式（如2xy）的拆分不属于因式分解。 变形结果 必须是几个整式的积。 禁止出现分式或和差形式（如 x(x+3)+2 不是）。 变形本质 必须是恒等变形。 变形前后式子的值不变，仅改变形式。 总结：因式分解是多项式的恒等变形，结果必须是整式的积。 1.7.2013 ‹#› 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是方向相反的互逆变形。 多项式 和差形式 整式乘法 (积化和差) 因式分解 (和差化积) 整式的积 乘积形式 对比维度 因式分解 整式乘法 变形方向 和差化积 积化和差 变形对象 多项式 几个整式的积 变形结果 几个整式的积 多项式 变形本质 恒等变形 整式的乘法运算 1.7.2013 ‹#› 观察图形，从面积角度分析： 大长方形面积 = (x + 3)(x + 2) 面积和 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 结论：x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 几何验证： 上述等式展示了因式分解的几何意义。通过将代数表达式与图形面积对应，我们直观地验证了因式分解变形的合理性与正确性，实现了“数”与“形”的完美结合。 x 2 x 3 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 1 判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？ (1) m(a+2b) = ma+2mb (2) 15xy+25xy² = 5xy(3+5y) (3) (y+3)(y-3) = y²-9 (4) a²+4b²+4ab = (a+2b)² 1.7.2013 ‹#› 参考答案 (1)(3) 是整式乘法； (2)(4) 是因式分解。 核心思路 整式乘法：积化和差 (积 → 和差) 因式分解：和差化积 (和差 → 积) (1) 整式乘法：把整式的积化成多项式，属于积化和差。 (2) 因式分解：把多项式化成几个整式的积，属于和差化积。 (3) 整式乘法：把整式的积化成多项式，属于积化和差。 (4) 因式分解：把多项式化成几个整式的积，属于和差化积。 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 2 判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？并说明理由。 (1) ab + ac + d = a(b + c) + d 分析：右边不是整式的积的形式，而是加法，因此不是因式分解。 (2) a² - 1 = (a + 1)(a - 1) 分析：把一个多项式转化成了几个整式积的形式，符合因式分解的定义。 (3) (a + 1)(a - 1) = a² - 1 分析：这是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解。 (4) x² + x = x²(1 + ) 分析：右边含有分式 ，不是整式，因此不是因式分解。 核心要点：因式分解必须是“多项式”化为“几个整式的积”的形式。 1.7.2013 ‹#› 课堂探究·能力合作提升 1.7.2013 ‹#› 题型一 因式分解的概念 下列变形中，属于因式分解的是（ ） A.6x²y³=2xy·3xy² B.a²-b²=(a+b)(a-b) C.(m+2)(m-3)=m²-m-6 D.x²+4x+1=x(x+4)+1 1.7.2013 ‹#› 题型一 例题1 答案与解析 【答案】B 【解析】 选项A：对象是单项式，非多项式，排除。 选项B：将多项式化为两个整式的积，符合定义，正确。 选项C：属于整式乘法（积化和差），与因式分解相反，排除。 选项D：结果为和的形式，非整式积，排除。 【方法总结】 看对象：是否为多项式 看结果：是否为整式积 看本质：是否恒等变形 1.7.2013 ‹#› 题型一 变式练习 练习：下列关于因式分解的说法正确的是（ ） A.因式分解是把整式的积化成多项式的变形 B.把 x+1 化成 x(1+) 是因式分解 C.因式分解的结果中，每个因式都必须是整式 D.a²+2a=a(a+2) 不是因式分解 1.7.2013 ‹#› 题型一 变式练习 答案与解析 正确答案：C 选项A：因式分解是把多项式化成整式的积，和整式乘法方向相反，说法错误。 选项B：结果中出现了分式，不是整式，不符合因式分解的要求，说法错误。 选项C：因式分解的定义要求结果是几个整式的积，因此每个因式都必须是整式，说法正确。 选项D：把多项式化成了两个整式的积，是因式分解，说法错误。 1.7.2013 ‹#› 题型二 因式分解与整式乘法的互逆关系 例题2：先计算整式乘法，再写出对应的因式分解等式： (1)计算：(x-5)(x+5) =x² - 25 因式分解：x² - 25 =(x-5)(x+5) (2)计算：(a-3)² =a² - 6a + 9 因式分解：a² - 6a + 9 =(a-3)² (3)计算：3x(x+2) =3x² + 6x 因式分解：3x² + 6x =3x(x+2) 思路解析 根据整式乘法的运算法则计算出结果，再根据因式分解与整式乘法的互逆关系，写出对应的因式分解等式。 方法总结 整式乘法与因式分解是互逆变形，因此可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 1.7.2013 ‹#› 题型二 变式练习 练习：下列四个等式中，从左到右的变形，请按要求分类： ①a² - b² = (a+b)(a-b) ②(a+3)(a-3) = a² - 9 ③m² - 16 + 2m = (m+4)(m-4) + 2m ④2m(m-n) = 2m² - 2mn ⑤x² - 8x + 16 = (x-4)² 整式乘法 填序号：________ 因式分解 填序号：________ 两者都不是 填序号：________ 1.7.2013 ‹#› 题型二 变式练习 答案与解析 参考答案 (1)②④|(2)①⑤|(3)③ 详细解析 ②④：是把整式的积化成多项式，属于积化和差，是整式乘法。 ①⑤：是把多项式化成几个整式的积，属于和差化积，是因式分解。 ③：变形的结果是和的形式，不是整式的积，既不是整式乘法，也不是因式分解。 1.7.2013 ‹#› 题型三 利用因式分解的意义求参数的值 已知多项式x² + mx + 6可以分解为(x + 2)(x + n)，求 m、n 的值。 答案：m = 5，n = 3 解析： ∵ 因式分解与整式乘法互逆，将(x+2)(x+n)展开：(x+2)(x+n) = x² + (n+2)x + 2n ∵ 结果与 x² + mx + 6 相等，对应系数相等： ∴2n = 6，解得n = 3； n + 2 = m，解得m = 5。 1.7.2013 ‹#› 题型三 变式练习 练习：若多项式x² - px - 6分解因式的结果是(x - 2)(x + 3)，求p的值。 【答案】p = -1 【解析】 1. 先展开 (x-2)(x+3)：(x-2)(x+3) = x² + 3x - 2x - 6 = x² + x - 6 2. 根据题意，x² - px - 6 = x² + x - 6，对应项系数相等，可得：-p = 1 3. 解得：p = -1。 1.7.2013 ‹#› 课后测评·学业效果巩固 1.7.2013 好了，例题和练习都完成了。接下来，我们进入最后一个模块：课后测评，来检验一下大家今天的学习成果。 ‹#› 课后测评 第1题 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. x2+2x+1=x(x+2)+1 B. (a-b)(a+b)=a2-b2 C. 6x2y=2x(3xy) D. 2x2-8=2(x+2)(x-2) 【答案】D 【解析】 • A：变形的结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，排除。 • B：是把整式的积化成多项式，属于积化和差，是整式乘法，不是因式分解，排除。 • C：变形的对象是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义，排除。 • D：把多项式2x2−8化成了三个整式2、(x+2)、(x−2)的积，符合因式分解的定义，正确。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第2题 若多项式 x²+ax+b 分解因式的结果为 (x+1)(x-2)，则 a、b 的值分别是（ ） A. a=1，b=2 B. a=−1，b=−2 C. a=−1，b=2 D. a=1，b=−2 【答案】B 【解析】 先根据整式乘法展开(x+1)(x−2)：(x+1)(x−2)=x2−2x+x−2=x2−x−2 根据因式分解与整式乘法的互逆性，x2+ax+b=x2−x−2，对应项系数相等，可得：a=−1，b=−2，因此选择B选项。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第3题 【题干】下列变形中，属于因式分解的是（ ） A. x³-x=x(x²-1) B. x²-y²-4=(x+y)(x-y)-4 C. 2a²-4ab+2a=2a(a-2b) D. a²+2a+1=(a+1)² 【答案】D 【解析】 • A：因式分解不彻底，x²-1还可继续分解为(x+1)(x-1)，不属于规范的因式分解。 • B：变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解。 • C：2a(a-2b)展开为2a2-4ab，与等号左边不是恒等变形。 • D：把多项式化成了整式的积的形式，属于因式分解。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第4题 下列说法错误的是（ ） A. 因式分解的对象必须是多项式 B. 因式分解的结果必须是几个整式的积 C. 因式分解和整式乘法是互逆的运算 D. 可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确 【答案】C 【解析】 • A：根据因式分解的定义，变形对象必须是多项式，单项式不能进行因式分解，说法正确。 • B：因式分解的结果必须是几个整式的积，不能出现分式、和差形式，说法正确。 • C：因式分解和整式乘法是互逆的恒等变形，不是互逆运算，说法错误。 • D：二者是互逆变形，因此可以通过整式乘法展开因式分解的结果，看是否与原式相等，以此检验结果是否正确，说法正确。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第5题 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1) 把12x²y分解成3x·4xy是因式分解。（ ） (2) 3a(a+2)=3a²+6a是因式分解。（ ） (3) x²-4y²=(x-2y)(x+2y)的变形是因式分解。（ ） (4) a²+2a+1=a(a+2)+1是因式分解。（ ） 【答案与解析】 (1) ×理由：因式分解对象必须是多项式，12x²y是单项式。 (2) ×理由：此变形是积化和差，属于整式乘法。 (3) √理由：把多项式化成了两个整式的积，符合定义。 (4) ×理由：结果是和的形式，不是整式的积。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第6题 若(x+2)(x-3) = x² + mx + n，则： m = ________ n = ________ 因式分解：x² + mx + n = ________ 答案：-1；-6；(x+2)(x-3) 解析： 展开乘法：(x+2)(x-3) = x² - x - 6 对比系数得：m = -1，n = -6 互逆关系即得因式分解等式。 核心知识点： 本题考查了整式乘法与因式分解的互逆关系。关键在于掌握多项式乘法法则，并能通过系数对应求解参数，同时理解因式分解是整式乘法的逆运算。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第7题 若多项式 x² - 6x + k 可以分解为 (x - 2)(x - 4)，则 k 的值为____。 【答案】8 【解析】 先展开 (x-2)(x-4) (x-2)(x-4) = x² - 4x - 2x + 8 = x² - 6x + 8 根据题意，x² - 6x + k = x² - 6x + 8， 对应项系数相等，可得 k = 8。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第8题 已知多项式 ax²+bx+c 分解因式的结果是 (3x+1)(4x-3)，求 a+b+c 的值。 方法一：展开系数法 1. 展开整式乘法： (3x+1)(4x-3) = 12x² - 9x + 4x - 3 = 12x² - 5x - 3 2. 对应系数相等：a=12, b=-5, c=-3 3. 求和：12 - 5 - 3 =4 方法二：赋值简便法 1. 观察所求：当 x=1 时，ax²+bx+c = a+b+c 2. 代入因式形式： (3×1+1)(4×1-3) = 4 × 1 =4 3. 结论：直接得出 a+b+c = 4 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 核心概念 因式分解： 把一个多项式化成几个整式的积的形式。 核心关系 互逆变形： 多项式 ⇌ 几个整式的积 （上方：整式乘法；下方：因式分解） 核心方法 判断三步法：看对象、看结果、看本质 利用互逆性检验与求参 简便计算与代数式求值 总结：掌握因式分解的概念是基础，理解互逆关系是关键，灵活运用方法是核心。 1.7.2013 ‹#› 拓展思考 四块矩形卡纸的面积之和为ab + a + b + 1，你能把这个多项式写成两个多项式乘积的形式吗？试着结合图形说明你的结论。 提示：尝试利用“拼图”的思想，将四个小矩形拼成一个大矩形。思考：(a+1)(b+1)的几何意义是什么？ 1.7.2013 ‹#› 谢谢观赏 苏科版初中数学八年级下册 1.7.2013 ‹#› $