9.2提公因式法 课件--2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第九章 因式分解 9.2 提公因式法 苏科版初中数学八年级下册 1.7.2013 ‹#› 01 学习任务 概念理解：理解公因式的概念，能熟练、准确地找出多项式各项的公因式。 方法掌握：掌握提公因式法的定义和一般步骤，能熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。 能力提升：体会因式分解中的整体思想，能运用提公因式法解决代数式求值、简便计算等综合问题，培养代数变形与逻辑推理能力。 1.7.2013 ‹#› 02 核心素养 数学抽象与逻辑推理 在探究公因式的定义、归纳提公因式法规则的过程中，培养严谨的逻辑思维与代数抽象能力。 数学运算 在运用提公因式法进行因式分解、处理符号变形、解决综合应用问题的过程中，提升运算的准确性与熟练度。 模型观念与整体思想 在处理多项式公因式、分组分解的过程中，建立整体代换的数学模型，发展代数建模与化归能力。 “ 通过本节课的学习，我们不仅要掌握知识，更要提升数学核心素养。” 1.7.2013 ‹#› 课前自主·知识预习奠基 夯实基础 · 探索新知 · 开启智慧之旅 1.7.2013 ‹#› 情境导入 问题一： 如何简便计算：37×28 + 37×72？你能快速算出结果吗？ 问题二： 如何把多项式ab+ac+ad进行因式分解？结合上节课学习的因式分解定义，思考如何实现“和差化积”。 深度思考 上面两个问题有什么共同的特点？我们可以借助什么方法，把和的形式转化为乘积的形式？ 1.7.2013 ‹#› 情境导入·问题解决 37×28 + 37×72 = 37×(28+72) = 37×100 = 3700 从整式乘法看：a(b+c+d)=ab+ac+ad 从因式分解看：ab+ac+ad=a(b+c+d) 核心：提取多项式各项共有的因式a，实现和差化积。 核心观察：无论是数的简便计算，还是多项式的因式分解，核心都是提取各项共有的因式，把和的形式转化为乘积的形式 1.7.2013 ‹#› 观察思考 观察下列多项式，说说各项有什么共同特点？ 1. a²b+ab² 2. 3x²-6x³ 3. 9abc-6a²b²+12abc² 思考 1.这些多项式的各项，是否都含有相同的数字因数？ 2.这些多项式的各项，是否都含有相同的字母？ 3.相同字母的指数有什么特点？ 1.7.2013 ‹#› 知识点1 公因式的定义 多项式各项都含有的相同因式，称为这个多项式各项的公因式（common factor）。 核心说明：公因式可以是数字、单项式，也可以是多项式 举个例子 1.多项式ab+ac+ad各项的公因式是a； 2.多项式a²b+ab²各项的公因式是ab； 多项式3x(x+y)-2(x+y)各项的公因式是(x+y) 1.7.2013 ‹#› 知识点2 公因式的确定方法 确定多项式的公因式，遵循“三定”原则，一步到位找对公因式。 第一步 定系数 取多项式各项系数的最大公约数；若多项式首项系数为负数，一般把负号一同提取 第二步 定字母 取多项式各项中都含有的相同字母（或多项式因式） 第三步 定指数 取各项相同字母（或多项式因式）的最低次幂 口诀总结：定系数，定字母，定次数，三步找对公因式 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 1 写出下列多项式各项的公因式 (1) 8xy+2yz (2) 4ce-8ef (3) -12pq-4qr (4) 25x²y³-20xy (5) 3x(x+y)-2(x+y) 参考答案 (1) 2y；(2) 4e；(3) -4q； (4) 5xy；(5) (x+y) 核心思路 严格按照“定系数、定字母、定指数”的三定原则，逐项分析确定公因式 1.7.2013 ‹#› (1) 系数最大公约数2，相同字母y，公因式为2y (2) 系数最大公约数4，相同字母e，公因式为4e (3) 首项为负提取负号，系数最大公约数4，相同字母q，公因式为-4q (4) 系数最大公约数5，相同字母x、y，最低次幂均为1次，公因式为5xy (5) 各项都含有多项式因式(x+y)，公因式为(x+y) 1.7.2013 ‹#› 知识点3 提公因式法的定义 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法 核心公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 变形本质 提公因式法是因式分解最基础、最常用的方法，本质是逆用单项式乘多项式的整式乘法法则，实现多项式的“和差化积” 1.7.2013 ‹#› 知识点4 提公因式法的一般步骤 用提公因式法分解因式，分三步完成，步步对应，避免出错 第一步 确定公因式 按照“三定”原则，准确找出多项式各项的公因式 第二步 确定另一个因式 用多项式的每一项分别除以公因式，将所得的商相加，作为括号内的另一个因式 第三步 写成乘积形式 将多项式写成公因式与另一个多项式相乘的形式，完成因式分解 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 2 把下列各式分解因式 (1) 5x³-10x² (2) 4x²-12x (3) -x²y+4xy-5y 参考答案 (1) 5x²(x-2)； (2) 4x(x-3)； (3) -y(x²-4x+5) 详细解析 (1) 确定公因式为5x²， 原式=5x²·x - 5x²·2 = 5x²(x-2) (2) 确定公因式为4x， 原式=4x·x - 4x·3 = 4x(x-3) (3) 首项为负，先提取负号，确定公因式为-y 原式=-y·x² + (-y)·(-4x) + (-y)·5 = -y(x²-4x+5) 1.7.2013 ‹#› 课堂探究·能力合作提升 1.7.2013 ‹#› 题型一 单项式公因式的基础因式分解 把5x³-10x²分解因式 【答案】5x²(x-2) 【解析】 第一步：确定公因式 定系数：5和10的最大公约数是5； 定字母：两项都含有的相同字母是x； 定指数：x的最低次幂是2次； 因此，公因式为5x²。 第二步：确定另一个因式5x³÷5x²=x，-10x²÷5x²=-2，另一个因式为x-2。 第三步：写成乘积形式5x³-10x²=5x²·x - 5x²·2 = 5x²(x-2)。 【方法总结】 1.先定公因式（三定原则） 2.再求剩余因式（逐项除以公因式） 3.最后写成乘积形式，检查恒等性 1.7.2013 ‹#› 题型一 变式练习 把下列各式分解因式 (1) 12ab²c-6ab (2) -8m²+12m 【答案】(1) 6ab(2bc-1)；(2) -4m(2m-3) 【解析】 (1) 确定公因式为6ab 原式=6ab·2bc - 6ab·1 = 6ab(2bc-1) 易错提醒：提取公因式后，原项6ab剩下的“1”不能漏写，否则会导致恒等性错误！ (2) 首项系数为负数，先提取负号，确定公因式为-4m 原式=-4m·2m + (-4m)·(-3) = -4m(2m-3) 易错提醒：提取负号后，括号内的每一项都要改变符号，避免符号错误！ 1.7.2013 ‹#› 题型二 多项式公因式的因式分解 把下列各式分解因式： (1)15x(b+c)-5y(b+c) (2) 5(x-y)³+10(y-x)² 方法总结 1.公因式是多项式时，优先用整体思想处理； 2.处理(x-y)与(y-x)的变形时，牢记“奇次幂变号，偶次幂不变号”。 【答案】(1) 5(b+c)(3x-y)； (2) 5(x-y)²(x-y+2) 【解析】 (1) 把多项式(b+c)看作一个整体，确定公因式为5(b+c) 原式=5(b+c)·3x - 5(b+c)·y = 5(b+c)(3x-y) (2) 先统一底数：注意(y-x)²=(x-y)²，确定公因式为5(x-y)² 原式=5(x-y)³+10(x-y)² =5(x-y)²·(x-y) + 5(x-y)²·2 =5(x-y)²(x-y+2) 1.7.2013 ‹#› 题型二 变式练习 把下列各式分解因式： (1) 6m(m-n)-3(n-m) (2) 2a(x-y)-4b(y-x) 【答案】 (1) 3(m-n)(2m+1)； (2) 2(x-y)(a+2b) 【解析】 (1) 先变形：-(n-m)=m-n，统一底数后确定公因式为3(m-n) 原式=6m(m-n)+3(m-n)=3(m-n)(2m+1) (2) 先变形：-(y-x)=x-y，统一底数后确定公因式为2(x-y) 原式=2a(x-y)+4b(x-y)=2(x-y)(a+2b) 1.7.2013 ‹#› 题型三 分组提公因式法 把多项式ab+a+b+1分解因式。 答案：(a+1)(b+1) 解法1： ab+a+b+1 =(ab+a)+(b+1) （分组，使组内有公因式） =a(b+1)+(b+1) （组内提取公因式） =(b+1)(a+1) （整体提取新的公因式，完成分解） 解法2： ab+a+b+1 =(ab+b)+(a+1) =b(a+1)+(a+1) =(a+1)(b+1) 1.7.2013 ‹#› 题型四 提公因式法的综合应用 已知a+b=3，ab=2，求代数式a²b+ab²+a+b的值。 【答案】9 【解析】 先对代数式进行因式分解变形： a²b+ab²+a+b =(a²b+ab²)+(a+b) （分组，使组内有公因式） =ab(a+b)+(a+b) （组内提取公因式） =(a+b)(ab+1) （整体提取新的公因式，完成变形） 将a+b=3，ab=2整体代入，得：3×(2+1)=3×3=9 1.7.2013 ‹#› 课后测评·学业效果巩固 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第1题 下列从左到右的变形，属于正确的提公因式法因式分解的是（ ） A. 2x²-4xy=x(2x-4y) B. -ab²+2ab-3b=-b(ab+2a-3) C. 6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(6+x) D. 15x³+10x²=5x²(3x+2) 【答案】D 【解析】 • A：公因式提取不彻底，2x-4y还能提取公因式2，正确结果应为2x(x-2y)，错误。 • B：提取负号后，括号内各项未全部变号，正确结果应为-b(ab-2a+3)，错误。 • C：(2-x)=-(x-2)，变形后符号错误，正确结果应为(x-2)(6-x)，错误。 • D：公因式为5x²，提取后原式=5x²·3x + 5x²·2=5x²(3x+2)，分解正确。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第2题 多项式-6ab²+18a²b²-12a³b²c的公因式是（ ） A. -6ab²c B. -ab² C. -6ab² D. -6a³b²c 【答案】C 【解析】 按照“三定”原则确定公因式： 定系数：各项系数-6、18、-12的最大公约数是6，首项为负，提取负号，系数为-6； 定字母：各项都含有的相同字母是a、b； 定指数：a的最低次幂是1次，b的最低次幂是2次； 因此公因式为-6ab²，选择C选项。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第3题 下列因式分解结果正确的是（ ） A. x(x-y)+y(y-x)=(x-y)² B. -a²+ab-a=-a(a+b-1) C. 2(x-y)²-x(y-x)=(x-y)(2x-2y-x) D. a²+3a-4=a(a+3)-4 【答案】A 【解析】 • A：原式=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)²，分解正确。 • B：提取负号后括号内符号错误，正确结果应为-a(a-b+1)，错误。 • C：分解不彻底，括号内还能合并同类项，正确结果应为(x-y)(x-2y)，错误。 • D：变形结果不是整式的积的形式，不属于因式分解，错误。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第4题 若多项式x²+mx+n分解因式的结果为(x+2)(x-3)，则m+n的值为（ ） A. -7 B. -5 C. 1 D. 7 【答案】A 【解析】 先展开整式乘法：(x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6 根据因式分解与整式乘法的互逆性，x²+mx+n=x²-x-6 对应项系数相等，可得m=-1，n=-6 因此m+n=-1+(-6)=-7，选择A选项 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第5题 把下列各式分解因式： (1) -4a³+16a²-18a (2) 6(x-2)+x(2-x) (3) 利用因式分解简便计算：2026×15 - 2026×5 + 2026×90 【答案】(1) -2a(2a²-8a+9)；(2) (x-2)(6-x)；(3) 202600 【解析】 (1) 首项为负，提取公因式-2a，原式=-2a·2a² + (-2a)·(-8a) + (-2a)·9 = -2a(2a²-8a+9)； (2) 先统一底数：x(2-x)=-x(x-2)，提取公因式(x-2)，原式=6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x)； (3) 提取公因式2026，原式=2026×(15-5+90)=2026×100=202600 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第6题 已知x-y=4，xy=-6，求代数式xy²-x²y的值。 【答案】24 【解析】 先对代数式进行因式分解： xy²-x²y=xy(y-x)=-xy(x-y) 将x-y=4，xy=-6整体代入，得： 原式=-(-6)×4=6×4=24。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第7题 先分解因式，再求值：3a²(x+5)-5a(5+x)+2a(x+5)，其中a=1，x=-3。 【答案】分解结果：a(x+5)(3a-3)；求值结果：0 【解析】 第一步：确定公因式为a(x+5)，对多项式进行因式分解： 原式=3a²(x+5)-5a(x+5)+2a(x+5)=a(x+5)(3a - 5 + 2)=a(x+5)(3a-3) 第二步：代入a=1，x=-3求值： 原式=1×(-3+5)×(3×1-3)=1×2×0=0。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第8题 已知2x-y=，xy=2，求代数式2x⁴y³ - x³y⁴的值。 【答案】 【解析】 先对代数式进行因式分解，提取公因式x³y³： 2x⁴y³ - x³y⁴ = x³y³(2x - y) = (xy)³·(2x-y) 将2x-y=，xy=2整体代入，得： 原式=2³ × = 8 × = 。 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 核心概念 公因式： 多项式各项都含有的相同因式，可分为数字、单项式、多项式三类。 提公因式法： 把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式，是因式分解最基础的方法。 核心思想 互逆思想： 提公因式法逆用了单项式乘多项式的整式乘法法则，是因式分解与整式乘法互逆关系的直接应用 整体思想： 将多项式因式看作一个整体，进行提取和变形，是处理多项式公因式的核心思路 三个高频易错点 1. 提取公因式后，漏写常数项“1”； 2. 首项为负时，提取负号后括号内各项未变号； 3. 处理(x-y)与(y-x)变形时，奇次幂的符号处理错误 1.7.2013 ‹#› 谢谢观赏 1.7.2013 ‹#› $