9.1　因式分解的概念 课件2025-2026学年苏科版数学八年级下册

该初中数学课件系统梳理了因式分解的概念、与整式乘法的关系及应用，通过问题情境引入、对比辨析、图形剪拼等方式，串联定义、识别方法、系数求解等内容，构建完整知识网络。 其亮点在于以“情境探究-概念辨析-应用拓展”为主线，通过数的整除问题培养抽象能力，图形剪拼活动发展几何直观，例题中待定系数法训练推理意识。分层练习涵盖基础巩固与能力提升，帮助学生夯实基础，教师可精准实施分层教学。

因式分解的概念 第9章　因式分解 9.1 1 探究与应用 活动1　探索因式分解的概念 问题情境 我们曾经学习过数的整除问题,7+72能被8整除吗?99+992能被100 整除吗? 解决上述问题的关键是把7+72,99+992分解成了几个因数乘积的形式.一般情况下,是否可以把多项式a+a2分解成几个整式乘积的形式? 由乘法分配律可知,a(1+a)=a+a2,所以多项式a+a2=a(　　　　+1),即多项式a+a2可以分解成两个整式a,　　　　+1的乘积形式. a　 a 7　 8　 99　 100　 2 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积, 那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式. 在解决问题时,我们常需要把一个多项式表示成因式的乘积. 例如,对于多项式ma+mb,x2+3x+2, 由m(a+b)=ma+mb,(x+1)(x+2)=x2+3x+2, 可知ma+mb=　　　　,x2+3x+2=　　 　　.  上述两组等式表达了不同的意义:第一组等式表示两个整式的 　　 　　;  第二组等式是把一个多项式表示成两个整式的　 　　　.  m(a+b)　 (x+1)(x+2)　 乘法运算　 乘积形式 3 因式分解的概念:把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为分解因式. 概括新知 4 判断下列从左到右的变形中,哪些是整式乘法,哪些是多项式的因式分解. (1)m(a+2b) =ma+2mb; (2) 15xy+25xy2=5xy(3+5y); (3)(y+3)(y-3)=y2-9; (4)a2+4b2+4ab=(a+2b)2. 解:(1)(3)是整式乘法,(2)(4)是多项式的因式分解. 讨论探究 5 识别因式分解的方法 一看“形式”:等式左边是不是多项式,等式右边是不是乘积的形式,且积中每一个因式是不是整式; 二看“实质”:看左右两边是否相等. 学 方法 6 检验下列因式分解是否正确. (1)x3+x2=x2(x+); 　　　(2)y2+6y+6=(y+3)2; (3)4n2-m2=(2n+m)(2n-m); 　　　(4)x2-x-6=(x+2)(x-3). 解:略 例 1 7 活动2　体会因式分解与整式乘法的关系 活动探究 观察下面图形的剪拼过程,写出相应 的等式.谈谈因式分解与整式乘法有 什么联系.请举例说明. 解:从左到右可得等式(x+2)(x+3)=x2+5x+6,是整式乘法; 从右到左可得等式x2+5x+6=(x+2)(x+3),是因式分解. 联系:如果一个整式是某些整式的乘积,那么这个整式就可以分解因式. 例如:(a+1)(a-3)=a2-2a-3,那么a2-2a-3可以进行因式分解,分解为(a+1)(a-3). 图9-1-1 8 (1)整式的乘法与因式分解一个是积化和差,一个是和差化积,是两种互逆的变形. (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性. 记 要点 9 (教材补充例题)解答下列问题: (1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),求a的值; (2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),求b的值; 例 2 解:(1)∵(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6, ∴a-2=-5, 解得a=-3. (2)∵(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5, ∴b=9. 10 (3)已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值; (3)设另一个因式为x+n, 则x2-4x+m=(x+3)(x+n), ∴x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, ∴n+3=-4,3n=m, 解得n=-7,m=-21. ∴另一个因式为x-7,m的值为-21. 11 (4)已知二次三项式2x2-5x+k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值. (4)设另一个因式为x+n,则2x2-5x+k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n, 则2n-3=-5,k=-3n, 解得n=-1,k=3. 故另一个因式为x-1,k的值为3. 12 写出两个整式A与B,使得A=B(a+3).满足条件的整式A,B可以写出多少个? 问题探究 解:(答案不唯一)若B=a+5,则A=(a+5)(a+3)=a2+8a+15. 满足条件的整式A,B可以写出无数个. 13 | 总结 | 课堂总结与反思 14 | 反思 | 把一个单项式转化为几个单项式的积,是不是因式分解? 解:不是,因式分解是针对多项式而言的. 知识技能巩固练 1.(2025泰州高港区月考)关于等式①2a-4=2(a-2)和②3x2+3xy= 3x(x+y)从左到右的变形,下列说法中正确的是 (　　) A.①和②都是因式分解 B.①和②都不是因式分解 C.①是因式分解,②不是因式分解 D.①不是因式分解,②是因式分解 A 16 2.下列从左边到右边的变形,其中是因式分解的是(　　) A.(2+x)(2-x)=4-x2 B.2x-6=2(x-3) C.x2-3x+4=x(x-3)+4 D.30x2y=2x·3x·5y B 17 3.(2025徐州泉山区月考)若x2+kx-15能分解为(x+5)(x-3),则k的值是 (　　) A.-2 B.2 C.-8 D.8 B 18 4.在(x+y)(x-y)=x2-y2中,从左到右的变形是　　 　　,从右到左的变形是　　　 　.  整式乘法　 因式分解 19 5.下列由左边到右边的变形,是因式分解的有　　　　.(填序号)  ①a(x+y)=ax+ay; ②10x2-5x=5x(2x-1); ③y2-4y+4=(y-2)2; ④t2-16+3t=(t-4)(t+4)+3t. ②③ 20 6.(教材习题T3变式)把x2+5x+c分解因式,得(x+2)(x+3),则c= 　　　　.  6 21 7.下列从左到右的变形是不是因式分解?如果不是,请说明理由. (1)a2-2a+1=a(a-2)+1; (2)(x-1)(x+6)=x2+5x-6; 解:(1)不是因式分解. 理由:从左到右的变形不是化成整式的积的形式,故不是因式分解. (2)不是因式分解. 理由:从左到右的变形属于整式乘法,故不是因式分解. 22 (3)x3-x=x(x+1)(x-1); (4)m+4=m(1+). (3)从左到右的变形符合因式分解的定义,是因式分解. (4)不是因式分解. 理由:等式右边不是整式的形式,故不是因式分解. 23 能力提升综合练 8.(2025无锡梁溪区模拟)若x2+mx-21=(x-3)(x+n),则m,n的值分别是 (　　) A.4,-3 B.-7,4 C.-5,18 D.4,7 D 24 9.如果多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2,那么k= 　　　　.  1 25 10.将多项式x2-3x+2分解因式为x2-3x+2=(x-2)(x-1),说明多项式x2-3x+2有一个因式为x-1,还可知:当x-1=0时x2-3x+2=0. 利用上述阅读材料解答以下两个问题: (1)若多项式x2+kx-8有一个因式为x-2,求k的值; 解:(1)由题意知x-2=0时,x2+kx-8=0,即当x=2时,4+2k-8=0,解得k=2. 26 (2)若x+2,x-1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式,求a,b的值. (2)令x=-2,则-16+4a-14+b=0①, 令x=1,则2+a+7+b=0②, 由①②得a=13,b=-22. 27 $