精品解析：浙江省杭州师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

杭师大附中教育集团2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 本试题满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全集，则 2. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由题. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式代值计算可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：D. 4. 已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为函数定义域为，若为奇函数，则， 若，满足，但函数为偶函数，不是奇函数， 所以是为奇函数的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知，则函数有（ ） A. 最大值1 B. 最小值9 C. 最小值1 D. 最大值9 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值，则可得函数有最小值9. 【详解】因为，所以，根据基本不等式可知：， 当且仅当，即取等号，故. 即函数有最小值9. 故选：B. 6. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点求解判断. 【详解】函数，函数的最小正周期为， 由，得，则， 又函数在上存在零点，且当时，， 因此，解得，所以的最小值为4. 8 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定函数并确定在上的单调性，进而比较大小. 【详解】函数定义域为R，， 当时，令，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 又，，， ，因此， 所以，即. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 函数定义域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为终边上一点的坐标为，则，所以A正确. 对于B：若角为锐角，所以，则，可能为锐角或直角或钝角，故B错误. 对于C：若圆心角为的扇形的弧长为，则半径为，所以该扇形的面积，故C正确. 对于D：根据定义，函数定义域为，故D正确. 10. 在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】连接，为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线，， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若函数，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 函数的所有零点之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，代入数值即可判断；对于B，利用抽象函数的定义域即可求出的定义域；对于C，求出各段函数的值域，取并集即可求出的值域；对于D，求出上的零点，再利用即可求出所有零点，即可进行判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，即的定义域为，故B正确； 对于C，当时，， 当时，， 因为时，， 所以当时，， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，令，解得， 由可知在上的零点有， 所以函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数，则是__________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为函数为幂函数， 所以. 13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数定点得到，将待求式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 14. 已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，函数和函数在上单调性相同，由和单调性相反，可得在上恒成立，进而求出取值范围． 【详解】因为函数与的图象关于y轴对称， 所以, 因为为函数的“不动区间”， 所以函数和函数在区间上的单调性相同, 又因为和的单调性相反， 所以在上恒成立， 而在时，， 所以在上恒成立，所以， 故答案为：. 【点睛】已知函数单调性求参数的范围的常用方法， (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且为第二象限角． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据为第二象限角，运用同角三角函数的基本关系直接计算可得； （2）利用诱导公式化简，然后代入函数值计算即可. 【小问1详解】 因为，且为第二象限角， 所以， 【小问2详解】 原式. 16. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表. 0 x ① ② 0 3 0 ③ 0 （1）将表中数据补充完整，并直接写出的解析式. （2）将图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （ⅰ）求在上的最值； （ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）①，②，③，. （2）（ⅰ）最大值为，最小值为，（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）从表中可得，由得到，由得到，通过解方程组求出的值，由得到，解出的值，由求出和的值，从而得解. （2）由将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，（ⅰ）由的范围求出的范围，在的范围内求出的单调递增和单调递减区间，从而利用单调性得到的最大值和最小值，从而得到在上的最值；（ⅱ）由求出，由在上单调递增，得到，计算得到的取值范围. 【小问1详解】 从表中可得，当时，，即， 当时，，即，解得， 当时，即，解得， 此时，即，解得， 当时，即，解得，此时， ，，， 故①为，②为③为，. 【小问2详解】 将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数， ， （ⅰ），， 时为单调递增函数，时为单调递减函数， 当时，即时，取最大值， 且最大值为， 当时，即时，取最小值， 且最小值为， 在上的最大值为，最小值为； （ⅱ），，， 在上单调递增，，， 的取值范围为. 17. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【小问1详解】 由整理得，又， 代入得，解得， 则； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为， 又，所以. 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. （1）设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）； （2）3040； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）（i）根据双界函数的定义进行验证即可；（ii）根据双界函数的定义，使得当时，恒成立，即可得解； （2）由题可得，故研究上的函数图象，即可利用函数图象平移的知识画出在上的大致图象，并通过数形结合总结规律，最终确定在上的最小值为，运用递推公式即可求出； （3）先通过 “区间拆分” 验证双界的递推关系，再通过 “范围叠加” 锁定唯一等式，最后推广到任意的递推式即可. 【小问1详解】 （1）（i）证明：当，即时，则，即， 又因为，所以，所以当时，是到的双界函数. （ii）解：若是到的双界函数，则当，即时，恒成立， 即，即恒成立， 因为，故，， 由恒成立，可得；由恒成立，可得， 故，即的取值范围为. 【小问2详解】 依题意得，当时，， 所以，所以. 易知函数在上单调递增，可画出其在上的大致函数图象， 由可知，函数在的图象，即把在上的图象先向右平移个单位，再往上平移个单位， 当趋于且时，函数值趋于，注意到，结合此画出函数在以及时的大致图象. 结合图象，易总结得在上单调递增，在该区间上的， 则当时，；当时，，， 又因为， 故在上的最小值为， ， 由，得，即在上的最小值为3040. 【小问3详解】 证明：根据题意得，当时，. 令，，则①， 令，，则②， ①②可得，，即. 令，，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，所以是到的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭师大附中教育集团2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 本试题满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. （    ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（ ）． A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则函数有（ ） A. 最大值1 B. 最小值9 C. 最小值1 D. 最大值9 6. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 已知函数，设，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 函数定义域为 10. 在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若函数，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 函数的所有零点之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数，则__________． 13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 14. 已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且为第二象限角． （1）求，的值； （2）求的值． 16. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表. 0 x ① ② 0 3 0 ③ 0 （1）将表中数据补充完整，并直接写出的解析式. （2）将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （ⅰ）求在上的最值； （ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围. 17. 已知平面向量，且. （1）求值； （2）求向量与夹角的余弦值. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. （1）设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $