精品解析：浙江杭州第四中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

杭州第四中学2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试题卷 命题人：王元真 审核人：庞仕林、耿丽丽 2026年1月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在闭区间上图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题，；命题，，则（ ） A. p和q都真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 若，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 已知函数在R上单调递增，则a取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若tan（）＝2，则sin2α＝（　 　） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数满足，函数是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数a满足且，则函数的图象过定点______． 13. 已知角，，，，则________． 14. 如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分） 15. （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 17. 设函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （2）令函数，，求函数的值域． 18. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧的弧长(单位：)； （2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 19. 定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州第四中学2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试题卷 命题人：王元真 审核人：庞仕林、耿丽丽 2026年1月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据集合的交集可求. 【详解】集合，可得, 故选：A 2. 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线， 由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点， 充分性成立； 而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立， 如函数，在开区间内有零点，但， 必要性不成立. 则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知命题，；命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式判断的真假，由正弦函数的性质判断的真假，进而确定它们的否定的真假，即可得. 【详解】由，则，当且仅当时取等号，即，， 由，即不存在，， 所以为真命题，为假命题，故为假命题，为真命题， 故选：C 4. 若，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次不等式的解法即得. 【详解】因，则, 又,可得， 所以不等式的解集为, 故选：B. 5. 若为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故 故选：B 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 若tan（）＝2，则sin2α＝（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正切得tan，化sin2α为tan的齐次式求解 【详解】tan（）＝2，则 则sin2α＝ 故选：B 【点睛】本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式及齐次式求值，意在考查公式的灵活运用，是基础题 8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C 【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断各项的正误. 【详解】由，， 由，， 所以与有不相同的零点，而它们的最大值、最小正周期相同，分别为2、， 由，， 故它们的图象对称轴不同. 故选：BC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】应用特例，由及不等式的性质、指数函数的单调性判断A、B，应用作差法及对数函数的性质判断C、D. 【详解】若，则，，A、B错， 由，则 ， 所以，C对， 由 ， 由，则，故，即， 所以，D对. 故选：CD 11. 已知定义在R上的函数满足，函数是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设得，函数关于对称，且、在上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可. 【详解】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得关于对称，则是图象的对称轴，故D正确； 由，则，所以， 所以，函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 任意的，，当时有，所以在上单调递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称，所以函数在上单调递增，故C正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数a满足且，则函数的图象过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数过定点性质得出结论. 【详解】因指数函数过定点, 令,则，即过定点. 故答案为：. 13. 已知角，，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由和角正切公式求得，结合求其正弦值. 【详解】由， 由，，则，故， 所以. 故答案为： 14. 如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】根据两点之间的距离以及对应图象的单调性可得出，再将代入可求得的值. 【详解】令，结合两点处的单调性可得， 又，所以，又， 可得，因此， 又，且在处函数图象单调递增， 因此，解得， 又，所以. 故答案为：4；； 四、解答题（本大题共5小题，满分77分） 15. （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）由题设，，； （2）由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果. （2）由，且，得出，代入即可得到结果. 【小问1详解】 ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ， ， . 17. 设函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （2）令函数，，求函数的值域． 【答案】（1）单调递增，证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用单调性的定义，令，作差法比较大小即可证； （2）由题设，应用分类讨论，结合的性质求的值域. 【小问1详解】 函数在区间上的单调递增，证明如下： 由解析式知，函数的定义域为R，令， 所以， 由，，，故， 所以，故函数在区间上的单调递增； 【小问2详解】 由题设，则， 当，则，而在上单调递减，则，此时； 当，则； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以时取得最小值2，故在上，此时， 综上，. 18. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧的弧长(单位：)； （2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 【答案】（1）；（2），其中；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式. （3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱， 故每个座舱与中心连线所成扇形的圆心角为， 故. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设， 由题意知，，所以， 又由，所以， 当时，可得，所以， 故关于时间的函数解析式为，其中. （3）令，即， 令，解得， 因为甲乙两人相差， 又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题； 3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 19. 定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义可求得函数解析式. （2）讨论定义域和二次函数对称轴的关系，根据函数的最大值和最小值建立等量关系，计算的值. （3）分“”和“”两种情况分析，结合函数的单调性建立等量关系即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 所以 所以的解析式为. 【小问2详解】 当时，，所以. ①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意. ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，即，，即，符合题意； ③当时，在单调递减，则，解得，不合题意. 综上得，. 【小问3详解】 由得，，由得，得，故同号. ①当时，由于时，，故，则， 所以在区间上单调递减， 所以， 即为方程的根， 由得，即，从而解出. ②同理时，由于时，，故，则 故在区间上单调递减， 所以，解得. 综上可得，或. 【点睛】思路点睛：本题考查函数值域和单调性综合问题，具体思路如下： （1）设，求得的表达式，利用奇函数的定义可得出的表达式，综合可得出函数的解析式. （2）根据题目条件分、、三种情况讨论，结合函数单调性找到定义域和值域的对应关系，即可得到结果. （3）根据题目条件得到，分和两种情况讨论，确定函数在区间上的单调性，结合函数的单调性建立等量关系即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $