18.1勾股定理 教案 共2课时教学设计 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第1课时 一、教学目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容. 2.会初步运用勾股定理进行简单的计算. 3.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法 4. 感受数学文化，激发学生的学习热情，体验合作学习成功的喜悦，增强民族自豪感，感受数学对社会发展的推动作用. 二、教学重难点 重点：会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 难点：会用勾股定理进行简单的计算． 三、教学过程设计 环节一：情境导入 在小学，我们已经认识了三角形，现在请同学们来谈谈你对三角形的了解． 思考：我们都知道直角三角形是一类特殊的三角形．它的三边在满足“任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”以外，是否还具有特殊性呢？ 这就是这节课我们要研究的内容. 设计意图：通过问题引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望. 环节二：探究新知 思考：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积. 1.观察图(1)，并填写： S1=____个单位面积；S2=____个单位面积；S3=____个单位面积. 答案：9；9；18. 2.观察图(2)，并填写： S1=____个单位面积；S2=____个单位面积；S3=____个单位面积. 答案：9；16；25. 3.图(1)，(2)中，三个正方形面积具有怎样的关系呢？用它们的边长表示 . 分析：面积之间的关系：图(1)中，S1=9 S2=9 S3=18 ，即9+9=18 → S1+S2=S3. 图(2)中，S1=9 S2=16 S3=25 ，即9+16=25 → S1+S2=S3. 用它们的边长表示：S1=a² S2=b² S3=c² → a²+b²=c² 设计意图：通过互动探究，让学生深入了解勾股定理的发现过程，加强对于勾股定理的理解. 猜想： 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：a²+b²=c². 证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH. 从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c. ∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°， 而∠A1B1E=∠D1A1H， 因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°. 同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90° 所以四边形A1B1C1D1 是一个边长为c 的正方形. 则 归纳：这样我们就证明了上述结论成立，即得定理. 定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 我国古代把直角三角形中较短的边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a²+ b²= c² 强调： ①成立条件：在直角三角形中； ②公式变形：a²= c²b² ；b²= c²a² ③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长. 设计意图：通过归纳让学生熟悉勾股定理，并了解勾股定理的相关背景知识. 练一练：下面请同学们在你们的方格纸上再画出几个不同的直角三角形，看一下这个关系“a²+b²=c²”是否依然成立. 得出结论：依然成立 动画验证 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼证明刚刚的猜想. 设计意图：通过操作练习，进一步验证勾股定理. 环节三：应用新知 例1：求出图中字母所代表的正方形的面积. 解：(1) SA22514481； (2) SA802456；SB245680. 例2：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a＝5，b＝12，求c； (2) 已知a＝6，c＝0，求b. 分析：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答. 解：(1)根据勾股定理得，c² = a² + b²即c² = 5² + 12²=169，所以c= 13； (2)根据勾股定理得，b² = c²-a² 即b² =10² - 6²=64，所以b= 8. 例3：已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5，BC = 12. (1)求AB的长；(2)求斜边上的高CD的长. 分析：(1)根据勾股定理，可求斜边AB的长；(2)根据等面积法可求斜边上的高CD. 解：（1）在Rt △ABC中，AB²=AC²+BC²=5²+12²=169 解得AB=13. （2）∵ . 设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对勾股定理的认识和理解，培养学生的应用意识. 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. (1) a6，b=8，求c； (2) a8，c=17，求b. 2.直角三角形两边长分别是3，4，求第三边长. 3.在行距和列距都是1的网格中，求格点三角形ABC的周长和面积. 答案： 1.解：(1)在Rt △ABC中，∠C=90°， c² = a² + b²即c² = 6² + 8²=100，所以c= 10； (2)在Rt △ABC中，∠C=90°， b² = c²-a² 即b² =17² - 8²=225，所以b= 15. 2.解：当3和4都是直角边时，第三边长的平方=3²+4²=25， 所以第三边长为5； 当4是斜边时，第三边长的平方=4²-3²=7， 所以第三边长为. 注意：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中较长边可能是直角边，也可能是斜边. 3.解：由题意可知，AB²=2²+2²=8， AC²=2²+3²=13，BC²=1²+4²=17. 所以AB= ，AC=，BC= ， 三角形ABC的周长=++； 三角形ABC的面积 =3×4−×2×2−×2×3 −×1×4 =12−2−3−2=5. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时 一、教学目标 1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题； 2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力； 3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用； 4.体会数学与实际生活的紧密联系，并在学习过程中感受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣. 二、教学重难点 重点：会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题. 难点：勾股定理的灵活应用. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 教师活动：教师引导学生回顾勾股定理的内容，并通过简单的练习巩固如何利用勾股定理求直角三角形的边长，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容. 勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a5，b12，则c ； (2) 已知a6，c10，求b . 答案：(1) 13；(2) 8. 设计意图：通过复习回顾上节课学习的勾股定理，为本节课要学习的内容作准备. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？ 提问：你能用已学的知识解决上面的问题吗？ 设计意图：通过情境引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望. 环节二：探究新知 教师活动：教师引导学生译出上一页出示的问题，然后提出问题让学生先思考，并分组作答，最后用课件展示解答过程. 译：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 思考：(1)水的深度与芦苇的长度有什么关系？ (2)水的深度、半个水池长与芦苇的长度有什么关系？ 预设答案：(1) 水池的深度1尺芦苇的长度 (2) 构成一个直角三角形 解：设水深ABx尺，则芦苇长AC(x1)尺， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x252(x1)2 . 解得：x12，则AB12尺，AC13尺. 所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 设计意图：通过探究让学生从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力. 归纳：利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： ❶从实际问题中抽象出几何图形； ❷确定所求线段所在的直角三角形； ❸找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； ❹求得结果，解决实际问题. 思路： 设计意图：通过归纳让学生熟悉利用勾股定理解决实际问题的一般步骤和常见思路并培养学生的归纳概括能力. 环节三：应用新知 例1：现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图.已知消防车高3m，将云梯伸长到10m，在成功救出位于9m高处的受困人后，还要救援位于12m高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m) 分析：如图，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点.过点A的水平线与楼房ED的交点为O，则OB=9-3=6(m)，OD =12 -3 =9(m). 根据勾股定理，得AO2=AB2-OB2=102-62=64，解得AO=8(m). 设AC=x，则OC=8-x，于是根据勾股定理，得 OC2+OD2=CD2即(8-x)2+92=102. 从而可以解出x. 解：∵OE=3m，BE=9m,∴OB=93=6(m)， OD=123=9(m).∵OB=6m，AB=10m， 在Rt△ABO中，AO²=AB²OB²=10²6²=64.解得AO=8(m). 设AC=x，则OC=8x， 在Rt△DOC中，OC²+OD²=CD²，(8x) ²+9²=10²， 解得x1≈12.4(不合题意，舍去)，x2≈3.77， 答：消防车要靠近约3.7米. 设计意图： 让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，培养学生的应用意识. 环节四：课堂练习 1.如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是(　　) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，ACAB=10，BC3，求AC的长．若设AC=x，则可列方程为_______________． 3.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D，经测量∠ABD=135°，BD=800米，则应在直线l上距离点D多远的C处开挖？(≈1.414，结果精确到1米) 答案： 1.A； 2.x232(10x)2； 3.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°. ∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°， ∴∠BDC=45°，∴BC=CD. 在Rt△DCB中，根据勾股定理， CD2BC2=BD2，即2CD2=8002， 又∵CD的长为正值， ∴CD=400≈566(米)． 答：应在直线l上距离点D约566米的C处开挖． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $