精品解析：浙江宁波市镇海中学2025学年第二学期期初考试高一年级数学试卷

镇海中学2025学年第二学期期初考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象一定过定点（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，其中，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值是 D. 的最小值是1 11. 在中，所对的边分别为，已知，则（ ） A. 若，则外接圆半径为 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______ 13. 已知函数，其中，若当时，取得最小值，则____________________． 14. 在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若且，求的取值范围． 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的值及函数的解析式； （2）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间． 18. 在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． （1）求角； （2）若，且满足，求的取值范围． 19. 已知双曲余弦函数，双曲正弦函数．记函数． （1）计算的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）记的两个零点为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第二学期期初考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“”的否定为“”. 2. 函数的图象一定过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 3. 在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知复数， 其对应点的坐标为，因此， 解得，即的取值范围是. 4. 已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可判断终边位置，然后判断三角函数值的符号. 【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误； 对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误； 对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误； 对于D，由B分析，一定为正值，故D正确. 故选：D 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式确定函数性质，利用排除法去掉不符合的选项即可. 【详解】定义域为， 因为， 所以是奇函数，排除C，D． 当时，，则，，所以，排除B． 故选：A． 6. 在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，设，据此可得各点坐标，然后由平面向量坐标运算可得答案. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设. 则，. 从而，设，其中， 则，又， 则，从而，因， 则. 7. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，转化为，令，转化为的解集中有且只有2个整数，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即， 令， 当时，可得；当时，可得， 可得， 要使得关于的不等式的解集中有且只有2个整数， 只需不等式的解集中有且只有2个整数， 画出函数的图像，如图所示，结合图像，则满足， 即实数的取值范围为. 8. 函数的部分图象如图所示，其中，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的图象过可得，再由过可得，再结合在上有2个零点可得. 【详解】因为函数的图象过， 所以，， 所以，即，取，得. 又由且，解得，所以. 所以，令，当. 所以函数在上恰有2个零点，得， 即，所以实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确； 选项B，因为，所以共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确； 选项C，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 选项D，是零向量，与任何向量都共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确. 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值是 D. 的最小值是1 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由，则，即，故A正确； 对于B， ，因为，，即，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由，则，故， 当时，取得最小值，故D错误. 11. 在中，所对的边分别为，已知，则（ ） A. 若，则外接圆半径为 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定三角形形状并求出外接圆半径判断A；利用余弦定理求出的范围选项B；建立不等式组求出范围判断C；利用余弦定理及三角形面积公式列式，结合二次函数求出最大值判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可知， 设，则，即为直角三角形， 结合，得，则， 外接圆半径为，A正确； 对于B，若，则由，可得， 则，而，即，仅当时取等号， 故，结合，得，B正确； 对于C，，， 为锐角三角形，则，且， 即，解得，即，C错误； 对于D，由，得， 由于，故，即； 而, 而，故 ， 由于时，取最大值， 故的最大值为，即面积的最大值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 13. 已知函数，其中，若当时，取得最小值，则____________________． 【答案】2 【解析】 【分析】令，判断其单调性，由此可判断的大小关系，即可得的解析式，结合其单调性，即可求得答案. 【详解】令， 由于在上均单调递减，故在上单调递减， 又，故当时，，即， 当时，，即， 故， 则时，为减函数，此时， 时，增函数，此时， 由此可得时，取得最小值，则. 14. 在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】建立向量基底并用基底表示目标向量，计算并化简，再利用基本不等式求最大值． 【详解】设， ，， ， ， 即，故， ， ， 由基本不等式得， ，故，当且仅当时取等号， ，故的最大值为． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用并集的概念和运算法则计算求出，先求出，再利用交集的运算法则计算； （2）利用已知条件得出，，进而列不等式求解． 【小问1详解】 当时，集合， 已知集合， ， 或， ． 【小问2详解】 已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的值及函数的解析式； （2）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得； （2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得. 【小问1详解】 因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意， 所以，. 【小问2详解】 因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，解得. 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间． 【答案】（1），对称轴 （2）増区间 【解析】 【小问1详解】 ， 令，，则， 所以对称轴为. 【小问2详解】 依题意得，， 令， 解得， 所以的单调递增区间为. 18. 在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． （1）求角； （2）若，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用向量垂直的坐标公式计算，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，则，即， 结合正弦定理可得： ，则， 因为、，则，所以， 可得，故； 【小问2详解】 因为，所以， 是锐角三角形，则， 又，故，    在中，，， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 19. 已知双曲余弦函数，双曲正弦函数．记函数． （1）计算的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）记的两个零点为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数，直接计算即得. （2）等价变形不等式，令，利用单调性求出的范围，再换元并分离参数，利用单调性求出范围. （3）由（2）及已知可得方程有两个不等的正实根，令，利用根的判别式及韦达定理，结合一元二次不等式及函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 不等式， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，由，， 得，，而，函数在上递增， 则当时，，因此， 所以实数 的取值范围是. 【小问3详解】 由，得，由（2）得， 由的两个零点，函数在上单调递增，得方程有两个不等实根， 则，，当时，， 显然同号，若，则，与矛盾， 因此，，令，则， 由，得，则，由， 得，则，又 ，而， 解得，即，则，而， 因此，， 而，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $