第一章 整式的乘除 ——平方差公式与完全平方式讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

平方差公式与完全平方式 1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 【扩展】常见平方差公式的变形 1 位置变化：如 2 系数变化：如 3 指数变化：如 4 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a） 5 增项变化：如 6 增因式变化：如 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。 2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】 扩展一(公式变化)： 扩展二： 扩展三： 【补充】：   【题型一】运用平方差公式进行计算 【典题1】（1）（﹣2﹣y2）（2﹣y2）． （2）计算：（2x+3y）（2x﹣3y）． （3）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4） 变式 1. 运用乘法公式计算： （1）（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x） （2）（a+2b）（a﹣2b）+（2b）2 （3）（2x+3y）2（2x﹣3y）2； （4）（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）． 2. 列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2） C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a） D．（﹣x＋y）（x﹣y） 3. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A．（2a＋b）（a－2b） B．（a－2b）（a－2b） C．（a＋2b）（－2b＋a） D．（2a－b）（－2a＋b） 4. 若，，则（ ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 5. 若，则表示的式子为______． 6. 的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【题型二】利用平方差公式简便运算 【典例2】用平方差公式计算： （1）30.8×29.2； （2）20192﹣2018×2020． 变式 1. 用简便方法计算： （1）73×67； （2）2020+20202﹣20212． 2. 简便计算：． 3. 简便方法计算：． 4. 利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5. 用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型三】利用平方差解决几何面积 【典题3】1．（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；      （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 变式 1. 如图①，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，如图②． （1）图②中，梯形的高为　 　；（用含a、b的代数式表示） （2）请结合图①、图②，写出一个关于a、b的乘法公式，并通过计算图①、图②阴影部分的面积加以验证． 2. 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 3. （1）如图1，在边长为a的正方形中，画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是 　（写成两数平方差的形式）． （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它面积是 　 　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 　 　（用式子表达）； （4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7． 4. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【题型四】构造平方差进行巧算 【典例4】1.计算： 2.计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12． 变式 1. 计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）+． 2. 计算： 3. 计算 4. 计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+492﹣502 5. 计算下列各题： （1）填空：（x﹣1）（x+1）＝　 　．（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　．（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　．… （2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝　 　． （3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299． 【题型五】运用完全平方公式计算 【典例5】计算：（1）﹣（﹣2+x）2． （2）（2x﹣3y）2 （3） 变式 1. 运用完全平方公式计算： （1）（﹣4x﹣）2． （2）（x﹣2y）2 （3） （a+2b﹣1）2 2. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3. 计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）2． 4. 运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 5. 用简便方法计算： (1) (2) （3）20202-4040×2019+20192 【题型六】通过对完全平方式变形求解 【典题6】已知，，则代数式的值为（    ） A．8 B．18 C．19 D．25 变式1．已知，那么x2+y2的值为（　　） A．13 B．7 C．6 D．5 2．已知，则的值是（　） A． B． C． D． 3．若a2﹣ab＝7﹣m，b2﹣ab＝9+m，则a﹣b的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 4．已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　） A．10 B．6 C．5 D．3 5．已知，． （1）求的值． （2）求的值． 6．已知，．求下列各式的值． （1）； （2）． 【题型七】换元法构完全平方 【典例7】（1）已知：，求：的值。 （2）已知：，求：的值。 变式1.已知：，求：的值。 2.已知：，求：的值。 3.已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝10，则（x﹣2023）2的值为 　 　． 4.已知（x﹣2025）2+（x﹣2027）2＝34，则（x﹣2026）2的值是 　 　． 5.已知x﹣y＝6，xy＝﹣8， （1）求x2+y2的值； （2）求（x﹣y﹣2021）2+（2021﹣xy）（x2+y2﹣2021）的值． 6.已知：，求: 的值。 【题型八】完全平方公式的几何背景 【典例8】乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　 　， 方法2：　 　； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　 　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 变式1．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．又∵ab＝1，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若m+n＝7，m2+n2＝40，求mn的值； （2）若m﹣n＝8，mn＝9，求m2+n2 的值； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图摆放，面积和为34，BG＝8，求图中阴影部分面积． 2．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值； （3）已知（5+2x）2+（2x+3）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值． 3．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　 　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　 　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 【题型九】求完全平方公式字母系数 【典题9】若是一个完全平方式，则常数k的值为　　 A．6 B． C． D．无法确定 变式1、是关于字母x的一个完全平方式，则 m为_______． 2、已知多项式x2﹣2kx+16是完全平方式则k的值为_______． 3、如果是一个完全平方式，那么的值是_______． 4、若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k＝_______． 5、已知是一个有理数的平方，则不能为（ ） A． B． C． D． 6．若x2﹣12x+（k﹣1）2是完全平方式，则k的值是（　　） A．﹣1或﹣3 B．7或﹣3 C．﹣5或﹣1 D．7或﹣5 7．已知9y2﹣my+4是完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 8．若x2+mxy+25y2是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．±10 B．﹣5 C．5 D．±5 8．若9x2+kx+4是一个关于x的完全平方式，那么k值是（　　） A．±6 B．6 C．±12 D．12 9．若x2+（m﹣2）x+16是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．﹣6或10 D．10或﹣10 10．若x2﹣mx+16是完全平方式，则m的值等于（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．8或﹣8 11．已知y2+my+9是完全平方式，则m＝（　　） A．±6 B．6 C．±3 D．3 12．如果多项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 13．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．±6 D．3 14．如果多项式是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（    ） A．6 B． C．10或 D．6或 15．若是完全平方式，且，则（    ） A． B．或27 C．27或 D．或 【题型十】降次法 【典例10】 变式 1.已知a是方程x2-5x+1= 0的解，则的值为多少？ 2.已知a﹣＝5，则a2+的值是（　　） A．27 B．25 C．23 D．7 3.已知，则的值为 　 　． 4．若x2﹣4x+1＝0，则＝　 　． 5．已知a2﹣3a+1＝0，则＝　 　． 【典例11】先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 变式 1. 若，则 。 2. 若，则 。 3. 若，则 。 4. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5. 先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，则代数式的值为______； （3）已知，则代数式的值为______． 6. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将关于x的二次多项式表示为x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知，则的值为________． 7. 将关于的一元二次方程变形为，就可将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是___． 8. 将关于的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是__________． 9. 先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 10. 先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 11. 先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解： ， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 【题型十一】配方法求最值问题 【典例12】王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　 　时，x2+6x﹣15有最小值是 　 　 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 　 　（填“大”或“小”）值，该值为 　 　 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 变式 1. 多项式的最小值为____________ 2. 多项式的最大值为____________ 3. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±2xy+y2＝（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 　 　； 又如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式＝2（x2+6x﹣2）＝2（x2+6x+9﹣9﹣2）＝2[（x+3）2﹣11]＝2（x+3）2﹣22，因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，此时x＝﹣3，进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22＝﹣22，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求 （2）多项式3x2﹣6x+15的最小值是多少，并写出对应的x的取值． （3）多项式﹣x2﹣2x+6的最大值是多少，并写出对应的x的取值． 4. 阅读材料：在求多项式x2+4x+8的最小值时，小明的解法如下：x2+4x+8＝x2+4x+4+4＝（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2+4≥4，1即x2+4x+8的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： （1）求多项式2x2+16x+20的最小值； （2）猜想多项式﹣x2+12x﹣25有最大值还是最小值，并求出这个最值． 5. 阅读材料：本册数学学习中，我们认识了“完全平方公式”，即（a±b）2＝a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式． 把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3； ②选取二次项和常数项配方：x2﹣2x+4＝（x+2）2﹣6x， 或x2﹣2x+4＝（x﹣2）2+2x； ③选取一次项和常数项配方：x2﹣2x+4＝（x﹣2）2+x2． 根据上述材料，解决下面问题： （1）写出x2+4x+9的两种不同形式的配方； （2）已知4x2+y2﹣4x+6y+10＝0，求xy的值； （3）试求当x为何值时，﹣x2+4x+5有最大值，最大值是多少？ 6. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1． ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 　 　； （2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？ （3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x＝　 　（用含x，y的代数式表示），请求出y+x的最小值． 7. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 通过对实数的学习，我们知道x2≥0，根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+8x﹣3的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式＝2（x2+4x）﹣3 ＝2（x2+2x•2+22﹣22）﹣3 ＝2（x+2）2﹣11 ∵2（x+2）2≥0 ∴2（x+2）2﹣11≥0﹣11，且x＝﹣2时，2（x+2）2﹣11的值最小，为﹣11 请根据上面的解题思路，解答下列问题： （1）求多项式3x2﹣6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值； （2）多项式4﹣x2+2x的最大值； （3）求多项式x2+2x+y2﹣4y+9的最小值． 8. 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8． 可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：x2+　 　+36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2　 　； （2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27（注意：用其它方法不给分）； （3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值． 9. 已知,求x,y的值。 10. 先阅读下面的内容，再解决问题。 例题：若求m和n的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴m+n=0,n-3=0, ∴m=-3,n=3. 问题： （1） 若，求的值； （2） 已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：，求△ABC的周长。 11. ，则3x-2y的值为多少？ 12. 若，求的值； 13. 已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值． 14. 求代数式的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $