1.3 乘法公式 第1课时平方差公式的认识　课件　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点） 学习目标 多项式与多项式是如何相乘的？ (x＋3)(x＋5) =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习巩固 温故知新 计算：（1）(2a+3)(b+5) （2）(x+2)(x-2) （3）(1+3a)(1-3a) （4）(2y+z)(2y-z) 看看谁算的又快又准 2ab+10a+3b+15 x2-4 1-9a2 4y2-z2 计算下列多项式的积 (x+2)(x-2)= x2 - 2x + 2x -4 = , (1+3a)(1-3a)= 12 - 3a + 3a - (3a)2= , x2-4 1-9a2 4y2-z2 (2y+z)(2y-z)= (2y)2 -2yz+ 2yz -z2= , 合作探究 思考：1.左边的算式结构有什么共同的特点？ 2.计算结果后，你发现了什么规律？ 3.再举两例验证你的发现。 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. (a+b)(a-b)= 你能证明上式是正确的吗？ (a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2 猜想 a2-b2 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a)(1–3a) （3）(x+5y)(1–5y) （4）(2y+z)(2y–z) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项抵消了 两数_____的___ 和 差 差 平方 你发现了什么? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). = 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。 = x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。 （1）(3m + 1)(3m - 1) （2）(x2 + y)(x2 - y) 你能用字母表示你发现的规律吗? 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。 相反项 相同项 注意用谁减谁 相同项2-相反项2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 注意：字母a、b可以是数字，也可是单项式或多项式。 要点归纳 平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 判断下列式子能否用平方差公式计算，如果不能请说明理由： (1)（-a+b)(-a-b); (2) (a+b)(-a-b); （3）（-b+a)(-a-b); (4)（-b+a)(a+b）; 火眼金睛 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a - b)(a + b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 填一填 解：(1) (5＋6x)(5－6x) 相同看作 a 相反看作 b ＝52－(6x)2 ＝25－36x2. 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (ab+8)(ab-8)； (3) (－m＋n)(－m－n); (4) 典例讲解 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 归纳总结 例1 运用平方差公式计算： 52 解：原式= -(6x)2 =25-36x2 (1) ( 5 +6x )(5 -6x ) (2) ( x -2y )( x +2y ) 解：原式= x2 -(2y)2 = x2- 4y2 典例精讲 (3) (－m＋n)(－m－n). 解：原式＝(－m)2－n2 ＝m2－n2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 例1 运用平方差公式计算： 52 解：原式= -(6x)2 =25-36x2 (1) ( 5 +6x )(5 -6x ) (2) ( x -2y )( x +2y ) 解：原式= x2 -(2y)2 = x2- 4y2 典例精讲 (3) (－m＋n)(－m－n). 解：原式＝(－m)2－n2 ＝m2－n2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 例2 运用平方差公式计算： (1) ； (2) (ab + 8)(ab－8). 典例精讲 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64. 比比看，哪组答对的最多 抢答题 (3) (2b+1)(1-2b) (2) (a-b)(a+b) (1) (m+2)(m-2) (4) (1+3a)(-1+3a) 抢答题 答案： (2)如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的? (a – b)(– a – b) = (– b+a ) ( –b – a) = (– b)2– a2 = b2 – a2 尝试·思考 注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。 (1)计算(a + b)(b– a ) ? （1）(3– 4k )(– 4k – 3) ； （2）(5m2–3n)(– 3n– 5m2)。 计算： 随堂练习 1. 下列式子能用平方差公式计算吗? ① (– 3x + 2)(3x – 2) ② (b + 2a)(2a – b) ③ (– x + 2y)(– x – 2y) ④ (– x + y)(x – y) 不能 不能 能，4a2 – b2 能，x2 – 4y2 例2：利用平方差公式计算： （1）（-m+n)(-m-n) (3)(ab+8)(ab-8) 如何计算（a-b）（-a-b）？你是怎样做的？ 尝试·思考 巩固练习 1、计算： 课本19页“随堂练习”1（3）（4） （3）（-x-1)(1-x) (4)(-4k+3)(-4k-3) 2.利用平方差公式计算 (2)（5m-n）（-5m-n） (4)（a+b）（a-b）（a2+b2） (1)(0.3x+2y)(0.3x-2y) （3）（a+b+c）（a+b-c） 应用平方差公式的注意事项： （1）字母a、b可以是数，也可以是整式 （2）注意计算过程中的符号和括号 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2-b2 文字叙述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 公式的结构特点： 左边是两数和与这两数的差的积； 右边是两数的平方差. 课堂小结 如何计算（a-b）（-a-b）？ $$