精品解析：河南安阳市内黄县2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题

2025—2026学年第一学期九年级期末考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值． 【详解】，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键． 3. 如图，这是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，据此得出结论． 【详解】解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故C符合题意． 4. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角可知，根据三角形内角和定理可以求出，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 在中，， ， ， . 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵，∴该方程有两个不相等的实数根． 6. 已知抛物线经过三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据抛物线顶点式得到开口方向和对称轴，利用开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较大小. 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： ，，， ∵，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越大，对应的值越小， ∴. 7. 在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题用列举法计算概率，先求出所有等可能的选择结果，再找出两人选择相同文化标识的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记龙门石窟、少林寺、殷墟三项标识分别为A、B、C， ∵两人各自独立选择， ∴所有等可能的结果为，共9种， 其中两人选择相同文化标识的结果共3种， ∴两人所选择的文化标识相同的概率为． 8. 如图，在中，点在边上，，与相交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，先将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，再将绕点顺时针旋转，得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，推导出， 是等边三角形，求出，， ，进而证明，，则点的坐标为，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在反比例函数的图象上，且与轴交于点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标确定，过点A作轴于点E，过点B作于点F，利用相似三角形的判定得出，设，，结合相似三角形的性质得出，确定点，得出，过点C作轴，利用全等三角形的判定得出，再由其性质结合图象即可求解． 【详解】解：∵矩形的顶点A､B在双曲线上，点A的坐标为， ∴， 解得， ∴， 过点A作轴于点E，过点B作于点F，如图所示： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点． ∴， 过点C作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C在第四象限， ∴点的坐标为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个反比例函数解析式，使其满足当时，随的增大而减小：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意，当时，随的增大而减小，可得， 取，可得反比例函数解析式为． 12. 在一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，它们除颜色外，其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】根据摸到红球的频率稳定在附近，得到摸到红球的概率为，设红球有个，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设红球有个，则总球数为个． 由题意：摸到红球的概率为， ∴． 解得：． 检验：为原分式方程的解， 故口袋中红球可能有8个． 13. 如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________落地． s 0 2 3 4 … m 0 2 … 【答案】 【解析】 【分析】先根据表格中的数据，运用待定系数法求出足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的函数关系式，再根据函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由题意，可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ，解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得：或， 则被踢出的足球在第落地． 14. 如图，在扇形中，，半径，是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】求得，再证明四边形为矩形，可得，则可得阴影部分的面积为扇形的面积． 【详解】解：是的中点， ， ， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ． 15. 如图，在中，，分别在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若与相似，则的长是________． 【答案】12或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①如图1，当时，连接，设交于点，利用相似三角形的性质和折叠的性质求解即可；②如图2，当∽时，连接，设交于点，利用相似三角形的性质和折叠的性质推出，．再结合同角的余角相等以及等角对等边，得出，，最后再利用角的正切值求解即可． 【详解】解： ①如图1，当时，连接，设交于点， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴，，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当∽时，连接，设交于点， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴，，，，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：（1）， ∵，， ∴方程有两个不相等的实数根，， ∴． （2）原式． 17. 某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】（1）在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 （2）预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【解析】 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 18. 如图，是正方形的边上的一点，将逆时针旋转至的位置． （1）旋转中心是点 ，旋转角的度数为 ． （2）若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义填写即可； （2）先判定三点共线，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，旋转中心是点，旋转角的度数为； 【小问2详解】 解：∵逆时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴， ∴，即三点共线． ∵正方形的边长为3， ∴， ∴． 在中，． 19. 嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间．某数学兴趣小组想测量该塔的高度，并制定了测量方案，在实地测量后，撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量嵩岳寺塔的高度 测量工具 测角仪 活动形式 以小组单位 测量示意图 测量步骤及结果 步骤如下： ①先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角（）为； ②然后操控无人机飞到点正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． …… 已知四点在同一个平面内，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为37米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则四边形是矩形，可得米，设米，则米，米，再根据解直角三角形列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∴米． 由题意可知，， ∴， 设米，则米，米． 在中，， 解得． 经检验，是原方程的解， ∴米． 答：嵩岳寺塔的高度约为37米． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）画出该反比例函数在第二象限内的图象． （3）将矩形向下平移，当点落在该反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2）见解析 （3）平移的距离为个单位长度 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式即可； （2）分别找出，，，即可画出函数图象； （3）由，将 代入得，即可得到平移距离． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，反比例函数图象即为所求． 【小问3详解】 解：由题意可知，点， 当时，， ∴， ∴将矩形向下平移，当点落在该反比例函数的图象上时，平移的距离为个单位长度． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，延长，交直线于点． （1）尺规作图：过点作于点（保留作图痕迹，不要求写出具体作法）． （2）在（1）的条件下，求证：平分． （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，即可； （2）连接，根据切线的性质可得，根据作图可得，得出，可得，根据半径相等得出，等量代换可得，即可得证； （3）设的半径为，根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合题意得出，进而求得的长． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． 【小问2详解】 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 设的半径为，则． ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． 22. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点的坐标．（用含的式子表示） （2）若点均在抛物线上，求线段的长． （3）若该抛物线经过点，且，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）点和点纵坐标相等，点与关于对称轴对称，根据点到对称轴的距离是，即可得到答案； （3）根据题意抛物线开口向下，抛物线的对称轴是直线，点关于对称轴的对称点的横坐标是，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称． 抛物线的对称轴为直线, 点到对称轴的距离是， 点到对称轴的距离也是1， ； 【小问3详解】 解：， 抛物线开口向下， 点的坐标为， 点关于对称轴的对称点的横坐标是， ， ，解得， 的取值范围为． 23. 综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图1，在正方形中，点分别在边上，且．若，则的长为 ． ②如图2，在矩形中，，点分别在边上，且．若，则的长为 ． （2）迁移探究 如图3，在中，，点分别在边上，且．求证：． （3）拓展应用 如图4，在矩形中，，平分，交于点为上的一点，，且交于点，交矩形的边于点，当为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①2；②6 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）①如下图，作于点N，作于点M，设交于点O，证明即可求出结论；②如下图，作于点N，作于点M，设交于点O，证明即可求出结论； （2）过点作，交的延长线于点，证明，再证明，即可证明结论； （3）先求出，再分两种情况：当时，点在上时；或当时，点在上时，分别通过相似三角形的判定与性质得出结论． 【小问1详解】 解：①如下图，作于点N，作于点M，设交于点O， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如下图，作于点N，作于点M，设交于点O， 在矩形中，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ； 【小问2详解】 证明：如图1，过点作，交的延长线于点． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵在矩形中，平分，， ∴， ∴． 当为的三等分点时，分以下两种情况讨论： i．如图2，当时，点在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ii．如图3，当时，点在上， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级期末考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 已知抛物线经过三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在边上，，与相交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，先将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，再将绕点顺时针旋转，得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在反比例函数的图象上，且与轴交于点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个反比例函数解析式，使其满足当时，随的增大而减小：_________． 12. 在一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，它们除颜色外，其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有________个． 13. 如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________落地． s 0 2 3 4 … m 0 2 … 14. 如图，在扇形中，，半径，是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 15. 如图，在中，，分别在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若与相似，则的长是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 17. 某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 18. 如图，是正方形的边上的一点，将逆时针旋转至的位置． （1）旋转中心是点 ，旋转角的度数为 ． （2）若正方形的边长为3，，求的长． 19. 嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间．某数学兴趣小组想测量该塔的高度，并制定了测量方案，在实地测量后，撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量嵩岳寺塔的高度 测量工具 测角仪 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 步骤如下： ①先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角（）为； ②然后操控无人机飞到点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． …… 已知四点在同一个平面内，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，） 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）画出该反比例函数在第二象限内的图象． （3）将矩形向下平移，当点落在该反比例函数图象上时，求平移的距离． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，延长，交直线于点． （1）尺规作图：过点作于点（保留作图痕迹，不要求写出具体作法）． （2）在（1）的条件下，求证：平分． （3）若，求的长． 22. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点的坐标．（用含的式子表示） （2）若点均在抛物线上，求线段的长． （3）若该抛物线经过点，且，求的取值范围． 23. 综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图1，在正方形中，点分别在边上，且．若，则长为 ． ②如图2，在矩形中，，点分别在边上，且．若，则的长为 ． （2）迁移探究 如图3，在中，，点分别在边上，且．求证：． （3）拓展应用 如图4，在矩形中，，平分，交于点为上的一点，，且交于点，交矩形的边于点，当为的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $